山東省各市2012年中考數(shù)學(xué)分類解析 專題10 四邊形

1、山東各市2012年中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編專題10：四邊形1、 選擇題1. （2012山東濱州3分）菱形的周長(zhǎng)為8cm，高為1cm，則該菱形兩鄰角度數(shù)比為【 】A3：1B4：1C5：1D6：1【答案】 C。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形的性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D所示，根據(jù)已知可得到菱形的邊長(zhǎng)為2cm，從而可得到高所對(duì)的角為30°，相鄰的角為150°，則該菱形兩鄰角度數(shù)比為5：1。故選C。2. （2012山東濟(jì)南3分）下列命題是真命題的是【 】A對(duì)角線相等的四邊形是矩形B一組鄰邊相等的四邊形是菱形 C四個(gè)角是直角的四邊形是正方形D對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形 【答案】D。

2、【考點(diǎn)】命題與定理，矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)矩形、菱形、正方形和等腰梯形的判定方法以及定義即可作出判斷：A、對(duì)角線相等的平形四邊形才是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、一組鄰邊相等的平形四邊形才是菱形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、四個(gè)角是直角的四邊形是矩形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、正確。故選D。3. （2012山東萊蕪3分）如圖，在梯形ABCD中，ADBC，BCD90º，BC2AD，F(xiàn)、E分別是BA、BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是【 】AABC是等腰三角形 B四邊形EFAM是菱形CSBEFSACD DDE平分CDF【答案】D?！究键c(diǎn)】梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，菱

3、形的判定，三角形中位線定理?！痉治觥咳鐖D，連接AE，由ADBC，BCD90º，BC2AD，可得四邊形AECD是矩形，AC=DE。 F、E分別是BA、BC的中點(diǎn)，ADBE。四邊形ABED是平行四邊形。AB=DE。 AB= AC，即ABC是等腰三角形。故結(jié)論A正確。 F、E分別是BA、BC的中點(diǎn)，EFAC，EF=AC=AB=AF。 四邊形ABED是平行四邊形，AFME。四邊形EFAM是菱形。故結(jié)論B正確。 BEF和ACD的底BE=AD，BEF的BE邊上高=ACD的AD邊上高的一半， SBEFSACD。故結(jié)論C正確。 以例說(shuō)明DE平分CDF不正確。如圖，若B=450， 則易得ADE=CDE

4、=450。而FDEADE=CDE。DE平分CDF不正確（只有在B=600時(shí)才成立）。故結(jié)論D不正確。故選D。4. （2012山東聊城3分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E在邊BC上，如果點(diǎn)F是邊AD上的點(diǎn)，那么CDF與ABE不一定全等的條件是【 】ADF=BEBAF=CECCF=AEDCFAE【答案】C?！究键c(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定。【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定方法逐項(xiàng)分析即可：A、當(dāng)DF=BE時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可得：AB=CD，B=D，利用SAS可判定CDFABE；B、當(dāng)AF=CE時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可得：BE=DF，AB=CD，B=D，利用SAS

5、可判定CDFABE；C、當(dāng)CF=AE時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可得：AB=CD，B=D，利用SSA不能可判定CDFABE；D、當(dāng)CFAE時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)可得：AB=CD，B=D，AEB=CFD，利用AAS可判定CDFABE。故選C。5. （2012山東臨沂3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線ACBD相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論不一定正確的是【 】AAC=BDBOB=OCCBCD=BDCDABD=ACD【答案】C?！究键c(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形邊角關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理?！痉治觥緼四邊形ABCD是等腰梯形，AC=BD，故本選項(xiàng)正確。B四邊形ABC

6、D是等腰梯形，AB=DC，ABC=DCB，在ABC和DCB中，AB=DC，ABC=DCB，BC=CB，ABCDCB（SAS）。ACB=DBC。OB=OC。故本選項(xiàng)正確。CBC和BD不一定相等，BCD與BDC不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。DABC=DCB，ACB=DBC，ABD=ACD。故本選項(xiàng)正確。故選C。6. （2012山東日照3分）在菱形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F， 若EC=2BE，則 的值是【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】B?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥咳鐖D，在菱形ABCD中，ADBC，且AD=BC，BEFDAF，。又EC=2BE

7、，BC=3BE，即AD=3BE。故選B。7. （2012山東泰安3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C的直線CEAB，垂足為E，若EAD=53°，則BCE的度數(shù)為【 】A53°B37°C47°D123°【答案】B?！究键c(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)項(xiàng)角的性質(zhì)，平行的性質(zhì)?！痉治觥吭O(shè)CE與AD相交于點(diǎn)F。在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C的直線CEAB，E=90°，EAD=53°，EFA=90°53°=37°。DFC=37四邊形ABCD是平行四邊形， ADBC。BCE=DFC=37°。故選B。

8、8. （2012山東泰安3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O，連接CE，則CE的長(zhǎng)為【 】A3B3.5C2.5D2.8【答案】C?！究键c(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥縀O是AC的垂直平分線，AE=CE。設(shè)CE=x，則ED=ADAE=4x。，在RtCDE中，CE2=CD2+ED2，即x 2=22+（4x）2 ，解得x=2.5，即CE的長(zhǎng)為2.5。故選C。9. （2012山東威海3分）如圖，在ABCD中，AE，CF分別是BAD和BCD的平分線。添加一個(gè)條件，仍無(wú)法判斷四邊形AECF為菱形的是【 】A.AE=AF

9、B.EFAC C.B=600 D.AC是EAF的平分線10. （2012山東煙臺(tái)3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，等腰梯形ABCD的下底在x軸上，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），則AC長(zhǎng)為【 】A4B5C6D不能確定【答案】B。【考點(diǎn)】等腰梯形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，連接BD，由題意得，OB=4，OD=3，根據(jù)勾股定理，得BD=5。又ABCD是等腰梯形，AC=BD=5。故選B。二、填空題1. （2012山東德州4分）在四邊形ABCD中，AB=CD，要使四邊形ABCD是中心對(duì)稱圖形，只需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是 （只要填寫一種情況）【答案】AD=BC（答案不

10、唯一）?！究键c(diǎn)】中心對(duì)稱圖形，平行四邊形的判定?！痉治觥扛鶕?jù)平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，可以針對(duì)平行四邊形的各種判定方法，給出相應(yīng)的條件，得出此四邊形是中心對(duì)稱圖形：AB=CD，當(dāng)AD=BC時(shí)，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。當(dāng)ABCD時(shí)，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 當(dāng)B+C=180°或A+D=180°時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形。故此時(shí)是中心對(duì)稱圖形。故答案為：AD=BC或ABCD或B+C=180°或A+D=180°等（答案不唯一）。2. （2012山東臨沂3分）如圖，CD與BE互相垂直平分，ADDB，BDE=70°

11、;，則CAD= °【答案】70。【考點(diǎn)】菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)?！痉治觥緾D與BE互相垂直平分，四邊形BDEC是菱形。DB=DE。BDE=70°，ABD=55°。ADDB，BAD=90°55°=35°。根據(jù)軸對(duì)稱性，四邊形ACBD關(guān)于直線AB成軸對(duì)稱，BAC=BAD=35°。CAD=BAC+BAD=35°+35°=70°。三解答題1. （2012山東濱州9分）我們知道“連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線”，“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且

12、等于第三邊的一半”類似的，我們把連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線如圖，在梯形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，那么EF就是梯形ABCD的中位線通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想EF和AD、BC有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論【答案】解：結(jié)論為：EFADBC，EF=（AD+BC）。理由如下：連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。ADBC，ADF=GCF。在ADF和GCF中，ADF=GCF，DF=CF，DFA=CFG，ADFGCF（ASA）。AF=FG，AD=CG。又AE=EB，EFBG，EF=BG。EFADBC，EF=（AD+BC）【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形中位線定理

13、?！痉治觥窟B接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，則ADFGCF，可以證得EF是ABG的中位線，利用三角形的中位線定理即可證得。2. （2012山東東營(yíng)10分）（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DFBE求證：CECF；（2）如圖2，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，G是AD上一點(diǎn)，如果GCE45°，請(qǐng)你利用（1）的結(jié)論證明：GEBEGD（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90°，ABBC，E是AB上一點(diǎn)，且DCE45°，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD

14、的面積【答案】解：（1）證明：在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDF（SAS）。CECF。（2）證明： 如圖，延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE連接CF。 由（1）知CBECDF，BCEDCF。BCEECDDCFECD，即ECFBCD90°。又GCE45°，GCFGCE45°。CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG（SAS）。GEGF，GEDFGDBEGD。（3）如圖，過(guò)C作CGAD，交AD延長(zhǎng)線于G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB90°。又CGA90°，ABBC，四邊形ABCD 為正方形。 AGBC。已知DCE45

15、°，根據(jù)（1）（2）可知，EDBEDG。10=4+DG，即DG=6。設(shè)ABx，則AEx4，ADx6，在RtAED中，DE2=AD2AE2，即102=（x6）2（x4）2。解這個(gè)方程，得：x=12或x=2（舍去）。AB=12。梯形ABCD的面積為108?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角梯形?！痉治觥浚?）由四邊形是ABCD正方形，易證得CBECDF（SAS），即可得CE=CF。（2）延長(zhǎng)AD至F，使DF=BE，連接CF，由（1）知CBECDF，易證得ECF=BCD=90°，又由GCE=45°，可得GCF=GCE=45°，即可證得

16、ECGFCG，從而可得GE=BE+GD。（3）過(guò)C作CGAD，交AD延長(zhǎng)線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的長(zhǎng)，設(shè)AB=x，在RtAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的長(zhǎng)，從而求得直角梯形ABCD的面積。3. （2012山東濟(jì)南7分）（1）如圖1，在ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，AE=CF求證：DE=BF（2）如圖2，在ABC中，AB=AC，A=40°，BD是ABC的平分線，求BDC的度數(shù)【答案】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC，A=C， 在ADE和CBF中，AD=C

17、B ，A=C ，AE=CF，ADECBF（SAS）。DE=BF；（2）解：AB=AC，A=40°，ABC=C=（180°40°）=70°，又BD是ABC的平分線，DBC=ABC=35°。BDC=180°DBCC=75°?！究键c(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，角形的內(nèi)角和定理?！痉治觥浚?）根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到一對(duì)邊和一對(duì)角的對(duì)應(yīng)相等，在加上已知的一對(duì)邊的相等，由“SAS”，證得ADECBF，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證。（2）根據(jù)AB

18、=AC，利用等角對(duì)等邊和已知的A的度數(shù)求出ABC和C的度數(shù)，再根據(jù)已知的BD是ABC的平分線，利用角平分線的定義求出DBC的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出BDC的度數(shù)。4. （2012山東萊蕪10分）)如圖，在菱形ABCD中，AB2，A60º，以點(diǎn)D為圓心的D與邊AB相切于點(diǎn)E(1)求證：D與邊BC也相切；(2)設(shè)D與BD相交于點(diǎn)H，與邊CD相交于點(diǎn)F，連接HF，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留)；(3)D上一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半周，當(dāng)SHDFSMDF時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)(結(jié)果保留)【答案】解：（1）證明：連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DNBC，垂足為點(diǎn)N。 四邊形AB

19、CD是菱形，BD平分ABC。 D與邊AB相切于點(diǎn)E，DEAB。DN=DE。 D與邊BC也相切。（2）四邊形ABCD是菱形，AB2，ADAB2。又A60º，DEADsin6003，即D的半徑是3。又HDFHADC60º，DHDF，HDF是等邊三角形。過(guò)點(diǎn)H作HGDF，垂足為點(diǎn)G，則HG3sin600。（3）假設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M1時(shí)，滿足SHDFSMDF，過(guò)點(diǎn)M1作M1PDF，垂足為點(diǎn)P，則，解得。 。M1DF30º。此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為：。過(guò)點(diǎn)M1作M1M2DF交D于點(diǎn)M2，則滿足，此時(shí)M2DF150º，動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為：。綜上所述，當(dāng)SHDFSMDF時(shí)

20、，動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為或?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積和弧長(zhǎng)公式?！痉治觥浚?）連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DNBC，垂足為點(diǎn)N，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD平分ABC，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)可得DN=DE，即BC垂直于過(guò)D上點(diǎn)N的半徑，從而得到D與邊BC也相切的結(jié)論。（2）求出HDF和扇形HDF即可求得陰影部分的面積。（3）根據(jù)SHDFSMDF求出圓心角即可求動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)。注意有兩點(diǎn)。5. （2012山東萊蕪10分）)如圖，在菱形ABCD中，AB2，A60º，以點(diǎn)D為圓心的D與

21、邊AB相切于點(diǎn)E(1)求證：D與邊BC也相切；(2)設(shè)D與BD相交于點(diǎn)H，與邊CD相交于點(diǎn)F，連接HF，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留)；(3)D上一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)F出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)半周，當(dāng)SHDFSMDF時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)(結(jié)果保留)【答案】解：（1）證明：連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DNBC，垂足為點(diǎn)N。 四邊形ABCD是菱形，BD平分ABC。 D與邊AB相切于點(diǎn)E，DEAB。DN=DE。 D與邊BC也相切。（2）四邊形ABCD是菱形，AB2，ADAB2。又A60º，DEADsin6003，即D的半徑是3。又HDFHADC60º，DHDF，HDF是等邊三角形。過(guò)點(diǎn)H作HGD

22、F，垂足為點(diǎn)G，則HG3sin600。（3）假設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M1時(shí)，滿足SHDFSMDF，過(guò)點(diǎn)M1作M1PDF，垂足為點(diǎn)P，則，解得。 。M1DF30º。此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為：。過(guò)點(diǎn)M1作M1M2DF交D于點(diǎn)M2，則滿足，此時(shí)M2DF150º，動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為：。綜上所述，當(dāng)SHDFSMDF時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為或。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，等邊三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積和弧長(zhǎng)公式?！痉治觥浚?）連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DNBC，垂足為點(diǎn)N，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BD平分ABC，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距

23、離相等的性質(zhì)可得DN=DE，即BC垂直于過(guò)D上點(diǎn)N的半徑，從而得到D與邊BC也相切的結(jié)論。（2）求出HDF和扇形HDF即可求得陰影部分的面積。（3）根據(jù)SHDFSMDF求出圓心角即可求動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)。注意有兩點(diǎn)。6. （2012山東聊城7分）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DEAC，CEBD求證：四邊形OCED是菱形【答案】證明：DEAC，CEBD，四邊形OCED是平行四邊形。 四邊形ABCD是矩形，OC=OD。四邊形OCED是菱形。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥渴紫雀鶕?jù)兩對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形OCED是平行四邊形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=OD，即可利用

24、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結(jié)論。7. （2012山東臨沂7分）如圖，點(diǎn)AF、CD在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE，A=D，AF=DC（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形，（2）若ABC=90°，AB=4，BC=3，當(dāng)AF為何值時(shí)，四邊形BCEF是菱形【答案】（1）證明：AF=DC，AF+FC=DC+FC，即AC=DF。在ABC和DEF中，AC=DF，A=D，AB=DE，ABCDEF（SAS）。BC=EF，ACB=DFE，BCEF。四邊形BCEF是平行四邊形（2）解：連接BE，交CF與點(diǎn)G，四邊形BCEF是平行四邊形，當(dāng)BECF時(shí)，四邊形BCEF是

25、菱形。ABC=90°，AB=4，BC=3，AC=。BGC=ABC=90°，ACB=BCG，ABCBGC。，即。FG=CG，F(xiàn)C=2CG=，AF=ACFC=5。當(dāng)AF=時(shí)，四邊形BCEF是菱形【考點(diǎn)】平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行的判定，菱形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由AB=DE，A=D，AF=DC，根據(jù)SAS得ABCDEF，即可得BC=EF，且BCEF，即可判定四邊形BCEF是平行四邊形。（2）由四邊形BCEF是平行四邊形，可得當(dāng)BECF時(shí)，四邊形BCEF是菱形，所以連接BE，交CF與點(diǎn)G，證得ABCBGC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊

26、成比例，即可求得AF的值。8. （2012山東青島8分）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，BEAC于E，DFAC于F，點(diǎn)O既是AC的中點(diǎn)，又是EF的中點(diǎn)(1)求證：BOEDOF；(2)若OABD，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】解：（1）證明：BEACDFAC，BEO=DFO=90°。點(diǎn)O是EF的中點(diǎn)，OE=OF。又DOF=BOE，BOEDOF（ASA）。（2）四邊形ABCD是矩形。理由如下：BOEDOF，OB=OD。又OA=OC，四邊形ABCD是平行四邊形。OA=BD，OA=AC，BD=AC。平行四邊形ABCD是矩形。【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)

27、，矩形的判定?！痉治觥浚?）根據(jù)垂直可得BEO=DFO=90°，再由點(diǎn)O是EF的中點(diǎn)可得OE=OF，再加上對(duì)頂角DOF=BOE，可利用ASA證明BOEDOF。（2）根據(jù)BOEDOF可得DO=BO，再加上條件AO=CO可得四邊形ABCD是平行四邊形，再證明DB=AC，可根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形證出結(jié)論。9. （2012山東日照9分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn),連結(jié)AE，作BFAE，垂足為H,交CD于F,作CGAE,交BF于G.求證：（1） CG=BH；（2）FC2=BF·GF；（3）.10. （2012山東泰安10分）如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一

28、點(diǎn)，EFAE，EF分別交AC，CD于點(diǎn)M，F(xiàn)，BGAC，垂足為C，BG交AE于點(diǎn)H（1）求證：ABEECF；（2）找出與ABH相似的三角形，并證明；（3）若E是BC中點(diǎn)，BC=2AB，AB=2，求EM的長(zhǎng)【答案】解：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ABE=ECF=90°AEEF，AEB+FEC=90°，AEB+BEA=90°。BAE=CEF。ABEECF。（2）ABHECM。證明如下：BGAC，ABG+BAG=90°。ABH=ECM。由（1）知，BAH=CEM，ABHECM。（3）作MRBC，垂足為R，AB=BE=EC=2，AB：BC=MR：RC=2，

29、AEB=45°。MER=45°，CR=2MR。MR=ER=。EM=?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，可得ABE=ECF=90°，又由EFAE，利用同角的余角相等，可得BAE=CEF，然后利用有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可證得：ABEECF。（2）由BGAC，易證得ABH=ECM，又由（1）中BAH=CEM，即可證得ABHECM。（3）首先作MRBC，垂足為R，由AB：BC=MR：RC=2，AEB=45°，即可求得MR的長(zhǎng)，又由EM= 即可求得答案。1

30、1. （2012山東威海10分）（1）如圖，ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O。直線EF過(guò)點(diǎn)O，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F 求證：AE=CF。（2）如圖，將ABCD（紙片）沿過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O的直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處。設(shè)FB1交CD于點(diǎn)G，A1B1分別交CD、DE于點(diǎn)H、I。 求證：EI=FG?！敬鸢浮孔C明：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC。EAO=FCO，AEO=CFO。 又四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OC。 AOECOF（AAS）。AE=CF。 （2）由（1）得，AE=CF。 由折疊性質(zhì)，得AE=A1E，A1E=CF。 A1=A=C，B1=B=D， E

31、IA1=DIH=1800DDHI=1800B1B1HG=B1GH=FGC。 在EIA1和FGC中，A1=C，EIA1 =FGC，A1E=CF， EIA1FGC（AAS）。EI=FG?！究键c(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)， 三角形內(nèi)角和定理，對(duì)頂角的性質(zhì)?！痉治觥浚?）要證AE=CF，只要AOE和COF全等即可。一方面由平行四邊形對(duì)邊平行的性質(zhì)和平行線內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，可得EAO=FCO，AEO=CFO；另一方面由平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，可得OA=OC。從而根據(jù)AAS可證。 （2）要證EI=FG，只要EIA1和FGC全等即可。一方面由（1）可得AE=C

32、F；另一方面由折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等的性質(zhì)，可得A1=C，EIA1 =FGC。從而根據(jù)AAS可證。12. （2012山東濰坊10分）如圖，已知平行四邊形ABCD，過(guò)A作AMBC于M，交BD于E，過(guò)C作CNAD于N，交BD于F，連結(jié)AF、CE (1)求證：四邊形AECF為平行四邊形； (2)當(dāng)AECF為菱形，M點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，求AB：AE的值【答案】（1）證明四邊形ABCD是平行四邊形（已知），BCAD（平行四邊形的對(duì)邊相互平行）。又AM丄BC（已知），AMAD。CN丄AD（已知），AMCN。AECF。又由平行得ADE=CBD，又AD=BC（平行四邊形的對(duì)邊相等）。在ADE和CBF中， DAE=BCF=90 ，AD=CB，ADE=FBC，ADECBF（ASA），AE=