九年級等腰梯形、三角形中位線、梯形中位線數(shù)學(xué)華東師大版

1、九年級等腰梯形、三角形中位線、梯形中位線九年級等腰梯形、三角形中位線、梯形中位線數(shù)學(xué)華東師大版數(shù)學(xué)華東師大版【同步教育信息同步教育信息】一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 等腰梯形、三角形中位線、梯形中位線 1. 等腰梯形： 性質(zhì)：等腰梯形的同一底邊上的兩個內(nèi)角相等。 等腰梯形的兩條對角線相等。 判定：同一條底邊上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形，兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。 2. 三角形的中位線 定義：我們把連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。 3. 梯形的中位線 定義：連結(jié)梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。 定理：梯形的中位線平行于兩

2、底邊，并且等于兩底和的一半?！镜湫屠}典型例題】 例 1. 已知等腰梯形 ABCD 中，AB=CD，求它的腰長。 分析：分析：要求腰長，也就是求 AB 的長，通過作輔助線將已知條件集中到一個三角形中，過 A 作 AE/CD 交 BC 于 E，得到一個平行四邊形 AECD 和ABE，易知ABE 是等邊三角形，由 BE=BCAD，這樣問題就解決了。 解：解：過 A 作 AE/DC 交 BC 于 E 四邊形 ABCD 是等腰梯形 又AD/BC，AE/DC 四邊形 AECD 是平行四邊形。 ABE 是等邊三角形。 例 2. 已知：如圖所示，在等腰梯形 ABCD 中，對角線 AC=BC+AD，求的度數(shù)。

3、 分析：分析：由等腰梯形的性質(zhì)得 AC=BD，又題設(shè)與對角線有關(guān)，考慮平移對角線 BD 到AE 的位置，則，需求，猜想ACE 是等邊三角形。 解：解：過 A 作 AE/BD 交 CB 的延長線于 E，則四邊形 AEBD 是平行四邊形。 梯形 ABCD 是等腰梯形。 ACBD 是等邊三角形6060EDBCEACECEACAE 歸納：歸納：對于與對角線有關(guān)的等腰梯形問題，可過梯形頂點作對角線的平行線，把兩條對角線和上、下底之和集中在一個三角形中，構(gòu)造等腰三角形應(yīng)用有關(guān)定理解題。 例 3. 等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，翻折梯形 ABCD，使點 B 重合于 D，折痕分別交邊 AB、BC 于點

4、F、E，若 AD=2，BC=8。求： （1）BE 的長； （2）的正切值。 分析：分析：本題運用軸對稱及等腰梯形的性質(zhì)可解決。 解：解：（1）由題意得 （2）由（1）得 DE=BE=5，在DEC 中， 例 4. 等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AD=3cm，BC=7cm，P為下底 BC 上一點（不與B、C 重合），連結(jié) AP，過 P 點作 PE 交 DC 于 E，使得。 （1）求證： （2）求等腰梯形的腰 AB 的長。 證明：證明：（1）由的外角，得 BAPEPCAPEB又 （2）過 A 作易求得 在 RtABF 中， 例 5. 梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=14cm，AD=18c

5、m，BC=21cm，點 P 從點 A 開始沿 AD 邊向點 D 以 1cm/s 的速度移動，點 Q 從點 C 開始沿 CB 邊向點 B 以 2cm/s 的速度移動，如果 P、Q 分別從 A、C 同時出發(fā)，設(shè)移動時間為 t/s，求 t/s 為何值時，梯形 PQCD 是等腰梯形？ 分析：分析：設(shè) P、Q 運動到如圖所示位置時，梯形 PQCD 是等腰梯形分別過 D、P 作于M，于 N，則依等腰梯形的性質(zhì)可知 QN=MC，分別計算 QN 和 MC 的長，即可求 t 的值。 解：解：四邊形 ABMD 是矩形 由 QN=MC，得 解得 即時，梯形 PQCD 是等腰梯形。 例 6. 已知：如圖所示，RtAB

6、C 中，分別為 AB、BC 的中點，點 F 在 AC 的延長線上，。 （1）求證：CF=DE； （2）若 AC=6，AB=10，求四邊形 DCFE 的面積。 分析：分析：由題設(shè)知 DE 為ABC 中位線，所以有 DE/AC，且，可證 DC/EF，四邊形DCFE 為平行四邊形，易求出面積。 （1）證明：證明：D、E 分別為 AB、BC 的中點 DCEFBCDFECBFECBCDB/ 四邊形 DCFE 是平行四邊形。 CF=DE。 （2）解：解： 由勾股定理，得 例 7. 四邊形 ABCD 對角線 AC、BD 相交于點 P，且 AC=BD，E、F 分別是 AB、CD 的中點，EF 交 BD 于 M

7、，交 AC 于 N，求證：PM=PN。 分析：分析：欲證 PM=PN，即證，不妨從兩個中點著眼考慮，取 AD 的中點 H，則易知HE/BD，HF/AC， 由中位線性質(zhì)可得，命題得證明。 證明：證明：取 AD 中點 H，連結(jié) HE、HF HE 是ABD 的中位線 同理 HF 是ACD 中位線， 例 8. 已知，E、F、G 分別是 AB、BC、CA 的中點，于 D。求證：四邊形 EFDG 是等腰梯形。 分析：分析：要證四邊形 EFDG 是等腰梯形，需先證它是梯形，再證這個梯形的兩腰相等或同一底上的兩個角相等。 證明：證明：在ABC 中，E、G 分別是 AB、AC 的中點 EG/BC，即 FD/EG

8、 EF 是ABC 的中位線 EF/AC，即 GC/EF 經(jīng)過點 G 與 GF 平行的直線只有一條 GD 與 EF 不平行 四邊形 EFDG 是梯形 EF 是ABC 的中線 DG 是 RtADC 斜邊上的中線 EF=DG 四邊形 EFDG 是等腰梯形。 歸納：歸納：運用中位線證明一組對邊平行，聯(lián)合直角三角形斜邊中線性質(zhì)得兩腰相等，易錯點是證明一個四邊形是梯形時，容易出現(xiàn)只證出一組對邊平行，就斷定這個四邊形是梯形的錯誤。 例 9. 已知：如圖所示，E、F 分別為四邊形 ABCD 的對角線 AC、BD 的中點。 求證： 分析：分析：不等關(guān)系的證明常在一個三角形中，由三角形兩邊之和大于第三邊作依據(jù)，所

9、以先構(gòu)造兩條線段分別等于和，且和 EF 在一個三角形中，故取 BC 邊中點（或 AD 邊中點）。 解：解：取 BC 中點 G，連結(jié) EG、FG 在ABC 中，E、G 分別為 AC、BC 的中點 在BCD 中，F(xiàn)、G 分別為 BD、BC 的中點 在EFG 中， 例 10. 在梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=DC，且 BD 平分，若梯形的周長為 20cm，求此梯形的中位線長。 分析：分析：要求中位線長，由梯形中位線定理，可求出兩底 AD、BC 的長，于是根據(jù)梯形周長列方程求出中位線長。 解：解：在梯形 ABCD 中，AB=DC 設(shè)，則 例 11. 梯形 ABCD 中，AD/BC，E、F 分別

10、為 AB、CD 的中點，EF 分別交 BD、AC 于點 G、H。求證： （1）EG=HF； （2） 分析：分析：由題意知 EF 為梯形中位線，所以 EF/AD/BC，則 G、H 也分別為 BD、AC 中點，故可應(yīng)用三角形、梯形中位線定理解決問題。 證明：證明：（1）E、F 為梯形的兩腰 AB、CD 的中點 G、H 分別為 BD、AC 的中點 （2） 【模擬試題模擬試題】 1. 已知：如圖所示，等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，AD=3，AB=4，BC=7，求的度數(shù)。 A D B C 2. 已知：如圖所示，在梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=DC，對角線且AD=3cm，BC=7cm，求 B

11、D 的長。 A D B C 3. 在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC，點 B 到 CD 的距離等于 8，E 是 BC 的中點，求： （1）E 到兩腰距離之和。 （2）當(dāng) E 在 BC 上移動時，設(shè) EF=m，EG=n，則 x 的值是否會發(fā)生變化？ A D F G B E C 4. 已知：如圖所示，在ABC 中，于 D，M 是 BC 的中點，求證：AB=2MD。 A B D C 5. 如圖所示，在四邊形 ABCD 中，已知 E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點。 （1）請判斷四邊形 EFGH 是什么四邊形？試說明理由。 （2）如果四邊形 EFGH 是菱形，那么對角線 AC、B

12、D 滿足什么條件？ （3）當(dāng)對角線 AC 與 BD 互相垂直時，四邊形 EFGH 是什么四邊形？ （4）根據(jù)上面的結(jié)論，你悟出了些什么？ A H D E G B F C 6. 在梯形 ABCD 中，AB/DC，中位線 EF=7cm，對角線，求梯形的高 AH。 B A E F C H D 7. 在等腰ABC 中，是 BC 上的任意一點，過 D 作 BC 的垂線交 AC 于 M，交 BA 的延長線于 N。 求證： N A M B H D C 【試題答案試題答案】 1. 解：解：如圖所示，過 A 點作 AE/CD，有平行四邊形 AECD，則ABE 為等邊三角形。 答案：答案： 2. 簡解：簡解：作

13、DE/AC 交 BC 的延長線于 E，則 CE=AD BDE 是等腰直角三角形 由勾股定理求得 3. 解：解：（1）過 B 作于 H，過 E 作于 M，則四邊形 EGHM 是矩形。 EG=MH 四邊形 ABCD 是等腰梯形 所以 E 到兩腰距離之和等于 8。 （2）當(dāng) E 在 BC 上移動時，若 EF=m，EG=n，類比可得結(jié)論 EF+EG=BH，即x=m+n。 4. 取 AB 中點或 AC 中點，運用三角形中位線性質(zhì)和直角三角形斜邊中線等于斜邊一半聯(lián)合證明。 證法一：證法一：取 AC 的中點 E，連結(jié) ME、DE M、E 分別為 BC、AC 的中點 證法二：證法二：取 AB 的中點 N，連結(jié) DN、MN。 即 5. 證明：證明：（1）連結(jié) BD E、F、G、H 分別是 AB、BC、CD、DA 的中點 四邊形 EFGH 是平行四邊形。 （2）連結(jié) AC 交 BD 于 O，則有 若 四邊形 EFGH 是菱形時，對角線滿足條件是 AC=BD。 （3）若，由得 四邊形 EFGH 是矩形。 （4）我發(fā)現(xiàn)下面的結(jié)論： 順次連結(jié)任意四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形； 順次連結(jié)四邊形的各邊中點，得怎樣的平行四邊形，取決于原四邊形對角線的特征： 當(dāng)對角線相等時，得菱形； 當(dāng)對角線互相垂直時，得矩形； 當(dāng)對