一個(gè)整數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和的計(jì)算方法（Word）

1、 一個(gè)整數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和的計(jì)算方法,兩數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之間的關(guān)系,分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù).涉及一個(gè)整數(shù)的約數(shù),以及若干整數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的問題,其中質(zhì)因數(shù)分解發(fā)揮著重要作用1.數(shù)360的約數(shù)有多少個(gè)?這些約數(shù)的和是多少? 【分析與解】 360分解質(zhì)因數(shù):360=2×2×2×3×3×5=23×32×5； 360的約數(shù)可以且只能是2a×3b×5c,(其中a,b,c均是整數(shù),且a為03,6為02,c為01)因?yàn)閍、b、c的取值是相互獨(dú)立的,由計(jì)數(shù)問題的乘法原理知,約數(shù)的個(gè)數(shù)為(3+1)×

2、;(2+1)×(1+1)=24 我們先只改動(dòng)關(guān)于質(zhì)因數(shù)3的約數(shù),可以是l,3,32,它們的和為(1+3+32),所以所有360約數(shù)的和為(1+3+32)×2y×5w； 我們?cè)賮泶_定關(guān)于質(zhì)因數(shù)2的約數(shù),可以是l,2,22,23,它們的和為(1+2+22+23)，所以所有360約數(shù)的和為(1+3+32)×(1+2+22+23)×5w； 最后確定關(guān)于質(zhì)因數(shù)5的約數(shù),可以是1,5,它們的和為(1+5),所以所有360的約數(shù)的和為(1+3+32)×(1+2+22+23)×(1+5) 于是,我們計(jì)算出值:13×15×

3、6=1170 所以,360所有約數(shù)的和為1170 評(píng)注:我們?cè)诒绢}中分析了約數(shù)個(gè)數(shù)、約數(shù)和的求法.下面我們給出一般結(jié)論： I.一個(gè)合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后,將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積.如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后為23×52×7,所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個(gè).(包括1和它自身).約數(shù)的和是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后,將M的每個(gè)質(zhì)因數(shù)最高次冪的所有約數(shù)的和相乘所得到的積如：21000=23×3×53×7,所以21000所有約數(shù)的和為(1+2+22

4、+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=748802.一個(gè)數(shù)是5個(gè)2,3個(gè)3,6個(gè)5,1個(gè)7的連乘積.這個(gè)數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù),那么在這些兩位數(shù)的約數(shù)中,最大的是多少?【分析與解】 設(shè)這個(gè)數(shù)為A,有A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97均不是A的約數(shù),而96=25×3為A的約數(shù),所以96為其最大的兩位數(shù)約數(shù)1 / 73.寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù) 【分析與解】 一個(gè)合數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后,將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的

5、指數(shù)(次數(shù))加1后所得的乘積.如:1400嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后為23×52×7,所以它的約數(shù)有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個(gè).(包括1和它自身) 如果某個(gè)自然數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù),那么這個(gè)數(shù)的所有質(zhì)因子的個(gè)數(shù)均為偶數(shù)個(gè).這樣它們加1后均是奇數(shù),所得的乘積才能是奇數(shù).而所有質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)均是偶數(shù)個(gè)的數(shù)為完全平方數(shù).即完全平方數(shù)(除0外)有奇數(shù)個(gè)約數(shù),反過來,有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)一定是完全平方數(shù) 由以上分析知,我們所求的為360630之間有多少個(gè)完全平方數(shù)? 18×18=324,19×19=361,25

6、5;25=625,26×26=676,所以在360630之間的完全平方數(shù)為192,202,212,222,232,242,252即360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的數(shù)為361,400,441,484,529,576,6254.今有語文課本42冊(cè),數(shù)學(xué)課本112冊(cè),自然課本70冊(cè),平均分成若干堆,每堆中這3種課本的數(shù)量分別相等.那么最多可分多少堆? 【分析與解】 顯然堆數(shù)是42的約數(shù),是112的約數(shù),是70的約數(shù).即為42,112,70的公約數(shù),有(42,112,70)=14所以,最多可以分成14堆5.加工某種機(jī)器零件,要經(jīng)過三道工序,第一道工序每名工人每小時(shí)可完成6個(gè)零件,第二道

7、工序每名工人每小時(shí)可完成10個(gè)零件,第三道工序每名工人每小時(shí)可完成15個(gè)零件.要使加工生產(chǎn)均衡,三道工序最少共需要多少名工人? 【分析與解】 為了使生產(chǎn)均衡,則每道工序每小時(shí)生產(chǎn)的零件個(gè)數(shù)應(yīng)相等,設(shè)第一、二、三道工序上分別有A、B、C個(gè)工人,有6A=10B=15C=k,那么k的最小值為6,10,15的最小公倍數(shù),即6,10,15=30所以A=5,B=3,C=2,則三道工序最少共需要5+3+2=10名工人6.有甲、乙、丙3人,甲每分鐘行走120米,乙每分鐘行走100米,丙每分鐘行走70米.如果3個(gè)人同時(shí)同向,從同地出發(fā),沿周長是300米的圓形跑道行走,那么多少分鐘之后,3人又可以相聚? 【分析與

8、解】 設(shè)在x分鐘后3人再次相聚,甲走了120x米,乙走了lOOx米,丙走了70x米,他們3人之間的路程差均是跑道長度的整數(shù)倍 即120x-100x,120x-70x,lOOx-70x均是300的倍數(shù),那么300就是20x,50x,30x的公約數(shù) 有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以x=30 即在30分鐘后,3人又可以相聚7.3條圓形跑道,圓心都在操場(chǎng)中的旗桿處,甲、乙、內(nèi)3人分別在里圈、中圈、外圈沿同樣的方向跑步.開始時(shí),3人都在旗桿的正東方向,里圈跑道長千米,中圈跑道長千米,外圈跑道長千米.甲每小時(shí)跑3千米,乙每小時(shí)跑4千米

9、,丙每小時(shí)跑5千米.問他們同時(shí)出發(fā),幾小時(shí)后,3人第一次同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)? 【分析與解】 甲跑完一圈需小時(shí),乙跑一圈需小時(shí),丙跑一圈需則他們同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)都跑了整數(shù)圈,所以經(jīng)歷的時(shí)間為,的倍數(shù),即它們的公倍數(shù)而.所以,6小時(shí)后,3人第一次同時(shí)回到出發(fā)點(diǎn).評(píng)注:求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù),先將這些分?jǐn)?shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),將分子的最小公倍數(shù)作為新分?jǐn)?shù)的分子,將分母的最大公約數(shù)作為新分?jǐn)?shù)的分母,這樣得到的新分?jǐn)?shù)即為所求的最小公倍數(shù)；求一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù),先將這些分?jǐn)?shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),將分子的最大公約數(shù)作為新分?jǐn)?shù)的分子,將分母的最小公倍數(shù)作為新分?jǐn)?shù)的分母,這樣得到的新分?jǐn)?shù)即為所求的最大公約數(shù).8.甲數(shù)和乙數(shù)的最大

10、公約數(shù)是6最小公倍數(shù)是90.如果甲數(shù)是18,那么乙數(shù)是多少？ 【分析與解】 有兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩數(shù)的乘積.有它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積為6×90=540，則乙數(shù)為540÷18=309.A,B兩數(shù)都僅含有質(zhì)因數(shù)3和5,它們的最大公約數(shù)是75.已知數(shù)A有12個(gè)約數(shù)，數(shù)B有10個(gè)約數(shù)，那么A,B兩數(shù)的和等于多少? 【分析與解】 方法一:由題意知A可以寫成3×52×a，B可以寫成3×52×6,其中a、b為整數(shù)且只含質(zhì)因子3、5. 即A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中x、Y

11、、m、n均為自然數(shù)(可以為0) 由A有12個(gè)約數(shù),所以(1+x)+1× (2+y)+1=(2+x)×(3+y)=12，所以.對(duì)應(yīng)A為31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或31+0×52+4=46875； 由B有10個(gè)約數(shù),所以(1+m)+1×(2+n)+l=(2+m)×(3+n):10,所以.對(duì)應(yīng)B為31+0×52+2=1875只有(675,1875)=75,所以A=675,B=1875那么A,B兩數(shù)的和為675+1875=2550方法二:由題中條件知A、B中有一個(gè)數(shù)質(zhì)因數(shù)中出現(xiàn)了兩次5,多于一次

12、3,那么,先假設(shè)它出現(xiàn)了N次3,則約數(shù)有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)個(gè) 12與10其中只有12是3的倍數(shù),所以3(N+1)=12,易知N=3,這個(gè)數(shù)是A，即A=33×52=675 那么B的質(zhì)數(shù)中出現(xiàn)了一次3,多于兩次5,則出現(xiàn)了M次5,則有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×54=1875那么A,B兩數(shù)的和為675+1875=2550 10.有兩個(gè)自然數(shù),它們的和等于297,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和等于693.這兩個(gè)自然數(shù)的差等于多少? 【分析與解】 設(shè)這兩數(shù)為a,b,記a=(a,b)q1,b=(a

13、,b)q2 它們的和為:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297 它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為： a,b+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693， 且(q1,q2)=1. 綜合、知(a,b)是297,693的公約數(shù),而(297，693)=99,所以(a,b)可以是99,33,1l,9,3,1 :(a,b)=99,則(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即qlq2=6=2×3,無滿足條件的ql,q2； :(a,b)=33,則(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即q1q2=20=22×5,

14、則ql=5,q2=4時(shí)滿足,a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,則a-b=165-132=33； :(a,b)=11,則(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即qq2=62=2×31,無滿足條件的q1,q2； 一一驗(yàn)證第四種情況，第五種情況，第六種情況沒有滿足條件的q1q2所以,這個(gè)兩個(gè)自然數(shù)的差為33 11.兩個(gè)不同自然數(shù)的和是60，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和也是60.問這樣的自然數(shù)共有多少組? 【分析與解】 設(shè)這兩數(shù)為a,b,記a=(a,b)q1,b=(a,b)q2 它們的和為:a+b=(a,b)q1+(a

15、,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60 它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和為： a,b+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60， 且(q1,q2)=1 聯(lián)立、有(ql+q2)=(q1q2+1),即ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以ql=1或q2=1 即說明一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù),不妨記a=kb(k為非零整數(shù))， 有,即確定，則k確定，則kb即a確定 60的約數(shù)有2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60這11個(gè)，b可以等于2，3，4，5，6，1012，15，20，30這10個(gè)數(shù)，除了60，因?yàn)槿绻?=60，則(k+1

16、)=1，而k為非零整數(shù) 對(duì)應(yīng)的a、b有10組可能的值，即這樣的自然數(shù)有10組 進(jìn)一步，列出有(a,b)為(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30) 評(píng)注:如果兩個(gè)自然數(shù)的和等于這兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和，那么這兩個(gè)數(shù)存在倍數(shù)關(guān)系12.3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的最小公倍數(shù)是9828,那么這3個(gè)自然數(shù)的和等于多少? 【分析與解】 若三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中存在兩個(gè)偶數(shù),那么它們的最小公倍數(shù)為三個(gè)數(shù)乘積的一半； 若三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中只存在一個(gè)偶數(shù),那么它們的最小公倍數(shù)為三個(gè)數(shù)的乘積 則當(dāng)a,a+1,a

17、+2中有2個(gè)偶數(shù)時(shí),a(a+1)(a+2)=9828×2， 當(dāng)a,a+1,a+2中有1個(gè)偶數(shù)時(shí),a(a+1)(a+2)=9828 對(duì)9828分解質(zhì)因數(shù):9828=2×2×3×3×3×7×13,我們注意,13是其最大的質(zhì)因數(shù),驗(yàn)證不存在3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的積為9828則這三個(gè)自然數(shù)的積只能是9828×2,此時(shí)這三個(gè)數(shù)中存在兩個(gè)偶數(shù),有9828×2=2×2×2×3×3×3×7×13 13×2=26,有26,27,28三個(gè)數(shù)的積為98

18、28×2,所以這三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為26,27,28,其中有兩個(gè)偶數(shù),滿足題意 所以,這三個(gè)數(shù)的和為26+27+28=81 評(píng)注:我們知道兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)互質(zhì),而兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的公倍數(shù)等于它們的積,即0,b=a×b 記這3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為a,a+1,a+2 有a,a+1,a+2=a,a+1,a+1,a+2=a,a+1,a+1,a+2=a×(a+1)，(a+1)×(a+2)=(a+1)×a,a+2 因?yàn)閍,a+2同奇同偶， 當(dāng)a,a+2均是偶數(shù)時(shí),a,a+2的最大公約數(shù)為2,則它們的最小公倍數(shù)為； 當(dāng)a,a+2均是奇數(shù)時(shí),a,a+2互質(zhì),則它們的最小

19、公倍數(shù)為a×(a+2) 所以(a+1)×a,a+2=. 即a,a+1,a+2為a(a+1)(a+2)或若三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中存在兩個(gè)偶數(shù),那么它們的最小公倍數(shù)為三個(gè)數(shù)乘積的一半；若三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中只存在一個(gè)偶數(shù)，那么它們的最小公倍數(shù)為三個(gè)數(shù)的乘積13.甲、乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是90，乙、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是105，甲、丙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是126，那么甲數(shù)是多少? 【分析與解】 對(duì)90分解質(zhì)因數(shù):90=2×3×3×5. 因?yàn)?126,所以5甲,即甲中不含因數(shù)5,于是乙必含因數(shù)5 因?yàn)?105,所以2乙,即乙中不含因數(shù)2,于是甲必含2×2

20、因?yàn)?105,所以9乙,即乙最多含有一個(gè)因數(shù)3 :當(dāng)乙只含一個(gè)因數(shù)3時(shí),乙=3×5=15,由甲,乙=90=2×32×5,則甲=2×32=18； :當(dāng)乙不含因數(shù)3時(shí),乙=5,由甲,乙=90=2×32×5,則甲=2×32=18，綜上所需,甲為18 評(píng)注:兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)含有兩數(shù)的所有質(zhì)因子,并且這些質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)為兩數(shù)中此質(zhì)因數(shù)的最大值如a=2×33×52×7,b=23×32×5×7×11,則A、B的最小公倍數(shù)含有質(zhì)因子2,3,5,7,11,并且它們的個(gè)數(shù)為a、b中含有此質(zhì)因子較多的那個(gè)數(shù)的個(gè)數(shù).即依次含有3個(gè),3個(gè),2個(gè),1個(gè),1個(gè),即a,b=23×33×52×7×1114.a&