【黃岡中考】備戰(zhàn)2012年中考數(shù)學(xué) 矩形、菱形與正方形的押軸題解析匯編一 人教新課標(biāo)版

1、【黃岡中考】備戰(zhàn)2012年中考數(shù)學(xué)矩形、菱形與正方形的押軸題解析匯編一 矩形、菱形與正方形一、選擇題1. （2011江蘇泰州，8，3分）如圖，直角三角形紙片ABC的C為90°，將三角形紙片沿著圖示的中位線DE剪開，然后把剪開的兩部分重新拼接成不重疊的圖形，下列選項中不能拼出的圖形是A平行四邊形 B矩形 C等腰梯形 D直角梯形【解題思路】把ADE圍繞D點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)180°可以拼成平行四邊形，把ADE圍繞E點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)180°可以拼成矩形，把ADE沿AD翻折再向下平移可拼成等腰梯形，不可能拼成直角梯形。【答案】D【點(diǎn)評】本題是一個操作性問題，主要考查中位線的性質(zhì)，圖形

2、的變換等知識，學(xué)生可以動手操作，也可以利用圖形的性質(zhì)，借助于畫圖加以解決。另外，本題并不陌生，在學(xué)習(xí)中位線的性質(zhì)時，就有這樣的類似的操作，所以本題還是重在基礎(chǔ)和平時的積累。難度較小.2011（江蘇省淮安市，5， 3分）在菱形ABCD中，AB=5cm，則此菱形的周長為 A5cm B15cm C20cm D25cm【解題思路】由菱形的四邊都相等，知其周長為4×5=20cm，故選項C正確?！敬鸢浮緾?！军c(diǎn)評】本例考查的是菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的相關(guān)性質(zhì)，難度較小。（2011江蘇揚(yáng)州，7，3分）已知下列命題：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；等腰梯形的對角線相等；對角線互相

3、垂直的四邊形是菱形；內(nèi)錯角相等，其中假命題有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個【解題思路】都是真命題，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故是假命題，內(nèi)錯角不一定相等，只有兩平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角才相等，故也是假命題【答案】B【點(diǎn)評】本題通過判斷真假命題的形式考查學(xué)生對于特殊四邊形性質(zhì)及判定的掌握難度中等（2011江蘇無錫，5,3分）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是 ( ) A對角線互相垂直 B對角線相等 C對角線互相平分 D對角互補(bǔ)【解題思路】針對菱形和矩形的各自的性質(zhì)進(jìn)行比較，對角線互相平分是他們都具有的性質(zhì)；對角線相等，矩形具有而菱形不一定具有；對角互補(bǔ)，矩形具有但菱形不一定具有

4、；只有對角線互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有.故選A【答案】A【點(diǎn)評】本題主要考查菱形和矩形的性質(zhì)，在對角線互相平分的基礎(chǔ)上，對角線相等，是矩形的性質(zhì)；對角線互相垂直，是菱形的性質(zhì)；至于對角互補(bǔ)僅矩形具有，菱形不一定具有.綜合以上可得，菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是對角線互相垂直.1（2011湖南省益陽，7，4）如圖2，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是A矩形B菱形C正方形D等腰梯形BACD圖2圖3【解題思路】在作垂直平分線的過程中，滿足了對角線互相平分且垂

5、直，符合菱形的判定方法?！敬鸢浮緽【點(diǎn)評】本題主要考查尺規(guī)作圖及特殊四邊形的判定以及在作圖中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，體現(xiàn)了中考基本作圖的重視。7 （2011四川綿陽7，3）下列關(guān)于矩形的說法中正確的是（ ）A對角線相等的四邊形是矩形B對角線互相平分的四邊形是矩形C矩形的對角線互相垂直且平分D矩形的對角線相等且互相平分【解題思路】平行四邊形的對角線互相平分，矩形是特殊的平行四邊形，所以矩形的對角線互相平分根據(jù)矩形的性質(zhì)，又知矩形的對角線相等，所以矩形的對角線相等且互相平分【答案】D【點(diǎn)評】本題考查了特殊四邊形的性質(zhì)和判定，按照規(guī)律把矩形的性質(zhì)和判定記熟8（2011遼寧大連，8，3分）如圖2，

6、矩形ABCD中，AB4，BC5，AF平分DAE，EFAE，圖2F則CF等于AB1CD2【解題思路】可以證明,得到AD=AE=5，在直角三角形ABE中，AB=4，可計算出BE=3，所以EC=2，容易看出相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得,即，則CF=【答案】C【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)多，如三角形全等、勾股定理、三角形相似等知識，也有能力的提升，難度較大。也可以在中，利用勾股定理列方程，求出CF的長。10（2011年內(nèi)蒙古呼和浩特，10，3）下列判斷正確的有( )順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形的各邊中點(diǎn)一定構(gòu)成正方形中心投影的投影線彼此平行在周長為定值的扇形中,當(dāng)半徑為時扇形的面積最大

7、相等的角是對頂角的逆命題是真命題A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【解題思路】先利用對角線互相垂直與三角形的中位線性質(zhì),得到中點(diǎn)四邊形為矩形,再利用對角線相等與中位線性質(zhì),說明這個矩形為正方形；區(qū)別中心投影與平行投影的不同點(diǎn)；設(shè)出扇形的半徑為,用代數(shù)式表示扇形的弧長,結(jié)合扇形面積公式,轉(zhuǎn)化到一元二次方程去求解；先整理出原命題的逆命題,再判斷這個逆命題的真假.【答案】B【點(diǎn)評】本題是用四個小題組合而成的,此題型考查內(nèi)容豐富.試題對四個不同章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行了考查,考查了正方形的判定、中心投影的概念、扇形的面積公式、命題、對頂角性質(zhì)等知識點(diǎn),只要有一個小題無法做出正誤判斷,都將影響本題的答案,因此

8、此題對學(xué)生的要求較高,難度較大.10（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，10，3分）如圖，已知矩形ABCD ，一條直線將該矩形 ABCD 分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內(nèi)角和分別為 M 和 N ，則 M + N 不可能是（ ）A360 B540 C720 D630ACBD第10題圖【解題思路】本題主要對這條直線的位置進(jìn)行討論： 過對角線將矩形分成兩三角形則A可能，過一頂點(diǎn)但分成一三角形和一四邊形則B可能，不過頂點(diǎn)而分成兩四邊形則C可能，故選D. 【答案】D【點(diǎn)評】本題主要考查分類討論思想和多邊形的內(nèi)角和公式，解決本題的關(guān)鍵是思考直線所在位置，難度中等. 4. （2011湖北襄陽，10，3分）若順次連

9、接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形，則四邊形ABCD一定是（ ）A菱形B對角線互相垂直的四邊形C矩形D對角線相等的四邊形【解題思路】若四邊形ABCD是菱形，則得到矩形；若四邊形ABCD是對角線互相垂直的四邊形，則得到矩形；若四邊形ABCD是矩形，則得到菱形；若四邊形ABCD是對角線相等的四邊形，則得到菱形A，B不合要求，C具有局限性，唯有D全面、準(zhǔn)確【答案】D【點(diǎn)評】本題考查特殊的平行四邊形若把順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形稱為中點(diǎn)四邊形，可知任意四邊形的中點(diǎn)四邊形的形狀只與原四邊形的對角線之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系有關(guān)，而與原四邊形的邊、角無關(guān)解答這類問題一定要抓住這一本質(zhì)

10、特征，如此例就不要以偏概全而錯選C難度中等5. （2011廣東清遠(yuǎn)，10，3分）如圖，若要使平行四邊形ABCD成為菱形，則需要添加的條件是（ ）A. B. C. D. 【解題思路】“A”、“B”選項的內(nèi)容為平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容，不合題意。根據(jù)菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，可得“C”正確?！癉”為矩形的判定方法【答案】C【點(diǎn)評】本題考查了菱形中根據(jù)定義來判定的方法。難度中等。6（2011四川眉山，6，3分）下列命題中，假命題是A矩形的對角線相等B有兩個角相等的梯形是等腰梯形C對角線互相垂直的矩形是正方形D菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半【解題思路】分別根據(jù)矩形的性質(zhì)、等腰梯形的判

11、定定理、正方形的判定及菱形的性質(zhì)對各選項進(jìn)行逐一判斷即可A對角線相等是矩形的性質(zhì)，故本選項正確；B直角梯形中有兩個角相等但不是等腰梯形，故本選項錯誤；C符合正方形的判定定理，故本選項正確；D符合菱形的性質(zhì)，故本選項正確【答案】B【點(diǎn)評】本題考查的是命題與定理，熟知矩形的性質(zhì)、等腰梯形的判定定理、正方形的判定及菱形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵難度較小1. （2011臺北31）如圖(十三)，將長方形ABCD分割成1個灰色長方形與148個面積相等的小正方形。根據(jù)右圖，若灰色長方形之長與寬的比為5：3，則：？(A) 5：3 (B) 7：5(C) 23：14 (D) 47：29【分析】：長方形ABCD周圍共有

12、148個面積相等的小正方形，所以先去掉四個頂點(diǎn)處的小正方形，還剩余144個?；疑L方形之長與寬的比為5：3，設(shè)灰色長方形之長邊上有5x個小正方形、寬邊上有3x個小正方形，2（5x+3?。?144，得x=9 , AD邊有正方形 ，AB邊有正方形【答案】：D 【點(diǎn)評】：由于小正方形的面積相等，將AD:AB就轉(zhuǎn)化為邊上正方形的個數(shù)比。難度較大2. （2011年湖北省武漢市3分）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF.連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H.下列結(jié)論：ABCDEFGH第12題圖  AEDDFB；  

13、;S四邊形 BCDG=  CG2；若AF=2DF，則BG=6GF.其中正確的結(jié)論只有. B.只有.C.只有. D. 分析：菱形的性質(zhì).答案：D點(diǎn)評：本題屬于中度題。主要考察菱形的性質(zhì)和三角形全等的性質(zhì)7（2011四川廣安，7，3分）下列命題中，正確的是（ ） A過一點(diǎn)作已知直線的平行線有一條且只有一條 B對角線相等的四邊形是矩形 C兩條邊及一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 D位似圖形一定是相似圖形【解題思路】選項A，分點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外兩種情況，故錯誤，選項B,對角線相等的四邊形不一定是矩形，如等腰梯形等。選項C，指代不明，無法判斷。選項D正確。位似圖

14、形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形?！敬鸢浮緿【點(diǎn)評】本題主要考察概念的區(qū)別，應(yīng)用公理的前提條件。中等題。二、填空題1.（2011湖南長沙，16，3分）菱形的兩條對角線的長分別是6cm和8cm，則菱形的周長是_ cm.【解題思路】只要求出菱形的邊長，可以求出周長.根據(jù)菱形對角線互相垂直平分，分出的四個全等直角三角形的斜邊就是菱形的邊長.即由勾股定理得=5（cm）.【答案】20 【點(diǎn)評】本題考查了特殊四邊形-菱形性質(zhì)應(yīng)用，同時也考查了勾股定理運(yùn)用.矩形、菱形、正方形是中考必考內(nèi)容.本題難度較小.ABCD 第5題圖3. （2011湖北鄂州，5，3分）如圖：矩形ABCD的對角線A

15、C=10，BC=8，則圖中五個小矩形的周長之和為_【解題思路】由矩形性質(zhì)可知B=90°，對角線AC=10，BC=8可運(yùn)用勾股定理得AC=6；再利用平移的知識將每個小矩形的邊分別上、下、左、右平移即可發(fā)現(xiàn)5個小矩形的周長之和是矩形ABCD的周長=（6+8）×2=28?！敬鸢浮?8【點(diǎn)評】本題考查勾股定理和平移的知識，體現(xiàn)圖形變換的數(shù)學(xué)問題，涉及操作與知識相結(jié)合。學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)，從而求解。難度較小1. （2011甘肅蘭州，20，4分）如圖，依次連結(jié)第一個矩形各邊的中點(diǎn)得到一個菱形，再依次連結(jié)菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個矩形，按照此方法繼續(xù)下去，已知第一個矩形的面積為1，則第n個矩

16、形的面積為 .【解題思路】已知第一個矩形的面積為1；第二個矩形的面積為原來的=；第三個矩形的面積是=；故第n個矩形的面積為：【答案】.【點(diǎn)評】本題是一道找規(guī)律的題目，主要考查的知識點(diǎn)矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的難度中等.2.2. （2011湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊CDE，則AED的度數(shù)是_.【解題思路】由于沒有畫圖，要注意多解性.即當(dāng)點(diǎn)E在正方形外和在其內(nèi). 當(dāng)點(diǎn)E在正方形外,易知ADE是等腰三角形,且ADE =90°+60°=150°,故AED=15°. 當(dāng)點(diǎn)

17、E在正方形內(nèi),易知ADE是等腰三角形,且ADE =90°-60°=30°,故AED=75°. 【答案】15°或75°.【點(diǎn)評】主要考查正方形，等邊三角形，等腰三角形中有關(guān)角之間的關(guān)系.考試時由于時間緊,情緒緊張,可能出現(xiàn)掉一種情況的現(xiàn)象.難度中等2011江蘇省淮安市， 17， 3分）在四邊形ABCD中，AB=DC，AD=BC，請再添加一個條件，使四邊形ABCD是矩形，你添加的條件是 (寫出一種即可)【解題思路】由四邊形ABCD的兩組對邊AB=DC，AD=BC知：四邊形ABCD是平行四邊形，而“有一個角是直角或?qū)蔷€相等”的平行四邊形的

18、矩形，故可填的條件是：四邊形ABCD內(nèi)有一個直角或AC=BD?！敬鸢浮看鸢覆晃ㄒ?，如A=90°或AC=BD，等。【點(diǎn)評】本例考查平行四邊形和矩形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形和矩形的判定方法，及其相互關(guān)系。難度的較小。（2011江蘇南京，2分）如圖，菱形ABCD的連長是2，E是AB中點(diǎn)，且DEAB，則菱形ABCD的面積為_2(第12題)BADCE【解題思路】此題無圖，無法解析?！敬鸢浮俊军c(diǎn)評】17（2011四川綿陽17，4）如圖，將長8cm，寬4cm的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與C重合，則折痕EF的長為_cm【解題思路】方法一：如圖，作FGAB于G由折疊的性質(zhì)知，CEAE，

19、DFDF，CDCB4，AEFCEF，又CDAB，CFEAEFCFECEFCFCE在RtCDF中，設(shè)DFDFx，則CF8x，DF2+DC2CF2，即x2+42(8x)2，x3，8x5，即DFDF3cm，CFCEAE5cmFGAB，四邊形ADFG是矩形AGDF3cm，F(xiàn)GAD4cm在RtEGF中，GE2+FG2EF2，EFcm方法二：連接AC，交EF于O由折疊知，ACEF，AOCO在RtABC中，AB8cm，BC4cm，AB2+BC2AC2，AC，AOOC由折疊的性質(zhì)知，CEAE，DFDF，CDCB4，AEFCEF，又CDAB，CFEAEFCFECEFCFCE在RtCDF中，設(shè)DFDFx，則CF8

20、x，DF2+DC2CF2，即x2+42(8x)2，x3，8x5，即DFDF3cm，CFCEAE5cmSCEFCF×BCEF×OC，即EF×4×5，EFcm【答案】【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的有關(guān)計算，矩形的折疊，得到直角三角形和等腰三角形，然后由勾股定理構(gòu)造方程，即可求解1 （2011四川內(nèi)江，16，3分）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA中點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD至少滿足_條件時，四邊形EFGH是菱形.【思路分析】EF是三角形ABD的中位線，所以EF平行且等于AB的一半，同理HG平行且等于AB的一半，所以EF、HG平行且

21、相等，故四邊形EHGH是平行四邊形因為EF=AB，F(xiàn)G=CD，所以EF =FG，所以四邊形EFGH是菱形. 【答案】AB=CD【點(diǎn)評】條件開放題解題思路往往是從題目的結(jié)論出發(fā)，結(jié)合條件綜合分析推理而獲得結(jié)果平行四邊形再添加條件鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即菱形根據(jù)本題條件只能添加前者.4 （2011四川內(nèi)江，加4，6分）在直角坐標(biāo)中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、AnBnCnCn-1按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)A1、A2、A3、An均在一次函數(shù)y=kx+b上，點(diǎn)C 1、C2、C 3、Cn均在x軸上.若點(diǎn),B1的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（3,2），則點(diǎn)An的坐標(biāo)

22、為.y=kx+bOA1A2A3B3B2B1C1C2C3xy【思路分析】解：由B1的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（3,2），知A1（0,1）， A2（1,2），設(shè)直線解析式y(tǒng)=kx+b,把A1（0,1）， A2（1,2）代入上式得，k=1,b=2,yx1點(diǎn)B2的坐標(biāo)為（3,2），C2的坐標(biāo)為（3,0），把x=3代入yx1得y=4,A3的坐標(biāo)為（3,4），同理得A4的坐標(biāo)為（7,8），A5的坐標(biāo)為（15,16）An的坐標(biāo)為(2n11, 2n1) 【答案】(2n11, 2n1) 【點(diǎn)評】解答這類問題首先根據(jù)點(diǎn)在圖像上求出前幾個點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)所出現(xiàn)的規(guī)律找到相應(yīng)的公式，然后對公式進(jìn)行驗證1.

23、（2011貴州畢節(jié),24,13分) 已知梯形ABCD中，ADBC，ABAD(如圖所示)，BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E，連結(jié)DE.(1) 在下圖中，用尺規(guī)作BAD的平分線AE(保留作圖痕跡不寫作法)，并證明四邊形ABED是菱形。(7分)(2) 若ABC，EC2BE.BDCAEF求證：EDDC (6分)(第24題圖)【解題思路】(1)由作圖知,已知ADBC，得出,又已知ABAD，得,再得四邊形ABED是平行四邊形，又AB=AD,進(jìn)一步得到四邊形ABED是菱形。（2）過D作DFAE,由ABC，得是等邊三角形，又ADBC，得四邊形是平行四邊形。,又已知EC2BE，故得出可證是直角三角形。即EDDC。

24、【答案】如圖，證明：連結(jié)ED,BAD的平分線AE交BC于點(diǎn)E ，ADBC，ABAD，四邊形ABED是平行四邊形，AB=AD,，四邊形ABED是菱形。過D作DFAE交EC于F,ABC,是等邊三角形,ADBC，DFAE四邊形是平行四邊形,AE=DF=BE,EC2BE,DF=EF=FC,是直角三角形,EDDC.【點(diǎn)評】本題考查學(xué)生的尺規(guī)作圖的動手能力和平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及菱形的判定等知識點(diǎn)，第（2）小題考查利用矩形的特殊性質(zhì)判斷三角形是直角三角形。解決此類題目的是利用平行四邊形的性質(zhì)添加輔助線，再運(yùn)用特殊四邊形的性質(zhì)解答。難度中等。2. （2011甘肅蘭州，27，12分）已知：如圖所示的一張

25、矩形紙片ABCD(ADAB)，將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連結(jié)AF和CE.（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面積為24，求ABF的周長；（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，請說明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由.ABCDEFO【解題思路】（1）由折疊的性質(zhì)知：EF垂直平分AC，然后可通過證AOECOF來得到AO=OC，從而根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形來得到所求的結(jié)論（2）由（1）的結(jié)論易求得AE=AF=10cm，因此只需求得AB+BF即可求得ABF的周長，可設(shè)AB=a、BF

26、=b，在RtABF中，根據(jù)勾股定理和ABF的面積即可求得a+b的值，由此得解（3）過E作EPAD交AC于P，則P就是所求的點(diǎn)，首先證明四邊形AFCE是菱形，然后根據(jù)題干條件證明AOEAEP，列出關(guān)系式【答案】：（1）連接EF交AC與O，當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，OA=OC，AOE=COF=90°；在平行四邊形ABCD中，ADBC，EAO=COF，EAOCOF，OE=OF，四邊形AFCE是菱形四邊形AECF是菱形,AFAE10cm.設(shè)AB，BF，ABF的面積為24cm2ab100，ab48 (ab）19614或14（不合題意，舍去）ABF的周長為1024cm.

27、（3）存在，過點(diǎn)E作AD的垂線，交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是符合條件的點(diǎn)證明：過E作EPAD交AC于P，則P就是所求的點(diǎn)當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，OA=OC，AOE=COF=90°，在平行四邊形ABCD中，ADBC，EAO=FCO，AOECOF，OE=OF四邊形AFCE是菱形AOE=90°，又EAO=EAP，由作法得AEP=90°，AOEAEP， ，則AE2=A0AP，四邊形AFCE是菱形， ，AE2= ACAP，2AE2=ACAP【點(diǎn)評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定以及勾股定理、翻折變換的折疊問題等知識的綜合應(yīng)用，還涉及

28、到的知識點(diǎn)有全等三角形的判定與性質(zhì)（2）題在求三角形周長時，要注意整體思想的運(yùn)用難度較大.2. （2011貴州安順，25，10分）如圖，在ABC中，ACB=90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，且AF=CE=AE說明四邊形ACEF是平行四邊形；當(dāng)B滿足什么條件時，四邊形ACEF是菱形，并說明理由【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，（1）要證四邊形ACEF是平行四邊形，已知AF=CE，只需證明AFCE或EF = CA即可，易證AECEAF，ACEF是平行四邊形即可得證。（2）若四邊形ACEF是菱形，則AC=CE，已知AE=EC，所以AEC是等邊三角形，CAB=60

29、°則B=30°?！敬鸢浮浚?）證明：由題意知FDC =DCA = 90°EFCA AEF =EACAF = CE = AE F =AEF =EAC =ECA 又AE = EAAECEAF，EF = CA，四邊形ACEF是平行四邊形 （2）當(dāng)B=30°時，四邊形ACEF是菱形 理由是：B=30°，ACB=90°，AC=，DE垂直平分BC， BE=CE又AE=CE，CE=，AC=CE，四邊形ACEF是菱形【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的判定，涉及平行四邊形、菱形、等邊三角形等知識，此題關(guān)鍵在于對判定方法的靈活應(yīng)用。難度較小。3. (201

30、1江蘇鎮(zhèn)江，23，7分)已知：如圖，在梯形ABCD中，ABCD，BCCD，ADBD，E為AB的中點(diǎn)求證：四邊形BCDE是菱形EDCBA【解題思路】由直角三角形的性質(zhì)可知DEBE，接下來可先證四邊形BCDE是平行四邊形，然后再證它是菱形，也可用三角形全等證四邊形BCDE的四邊相等【答案】證明：ADBD，ADB90°又E為AB中點(diǎn)，DEAE，BEAB，DEBEDBEEDB又ABCD，BDCEDBBCCD，DBCBDCDBCEDBBCDEEBCD，四邊形BCDE是平行四邊形BCCD，四邊形BCDE是菱形【點(diǎn)評】此題考查直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、菱形的判定等知識，難度中等5 （2010

31、四川內(nèi)江，加5，12分）閱讀理解：同學(xué)們，我們曾經(jīng)研究過n×n正方形網(wǎng)格，得到網(wǎng)格中正方形總個數(shù)的表達(dá)式為12+22+32+n2，但n=100時如何計算正方形總個數(shù)呢？下面我們就一起來探索并解決這個問題首先通過探究我們知道0×1+1×2+2×3+.+(n-1)×n=,我們可以這樣做：（1）觀察并猜想：12+22=（1+0）×1+（1+1）×2=1+0×1+2+1×2=（1+2）+(0×1+1×2)12+22+32=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×

32、;3=1+0×1+2+1×2+3+2×3=（1+2+3）+(0×1+1×2+2×3)12+22+32+42=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+_=1+0×1+2+1×2+3+2×3+_=（）+_.（2）歸納結(jié)論12+22+32+n2=（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+.+1+(n-1) n =1+0×1+2+1×2+3+2×3+n+(n-1) n =( )+_ =_+_ =×_（

33、3）實踐應(yīng)用通過以上探究過程，我們可以算出當(dāng)n=100時，正方形網(wǎng)格中正方形總個數(shù)是_.【思路分析】通過提供材料求12+22+32+n2值的方法是首先將其轉(zhuǎn)化為（1+0）×1+（1+1）×2+(1+2)×3+.+1+(n-1) n，再分解結(jié)合為（1+2+3+4+.+n）+0×1+1×2+2×3+3×4+(n-1)n，最后根據(jù)已有知識及提供公式0×1+1×2+2×3+.+(n-1)×n=合并為×【答案】解：（1）觀察并猜想：（1+3）×4 （0×1+1

34、15;2+2×3+3×4） （2）歸納結(jié)論（1+2+3+4+.+n）+0×1+1×2+2×3+3×4+(n-1)n、(1+n)n+、×（3）338350.【點(diǎn)評】規(guī)律性探究問題通常指根據(jù)給出的材料，觀察其中的規(guī)律，再運(yùn)用這種規(guī)律解決問題的一類題型. 觀察的三種主要途徑：（1）、式與數(shù)的特征觀察；（2）、式與數(shù)的分解過程觀察；（3）、轉(zhuǎn)化合并推廣到一般情況三、解答題25（2011四川眉山，25，9分）如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，連接CP并延長，交AD于E，交BA的延長線于F（1）求證：DCP=DAP；（2）若A

35、B=2，DP：PB=1：2，且PABF，求對角線BD的長【解題思路】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得CD=AD，CDP=ADP，證明CDPADP即可；（2）由菱形的性質(zhì)得CDBA，可證CPDFPB，利用相似比，結(jié)合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可證A為BF的中點(diǎn)，又PABF，從而得出PB=PF，已證PA=CP，把問題轉(zhuǎn)化到RtPAB中，由勾股定理，列方程求解【答案】（1）證明：四邊形ABCD為菱形，CD=AD，CDP=ADP，CDPADP，DCP=DAP； （2）解：四邊形ABCD為菱形，CDBA，CD=BA，CPDFPB，CD= BF，CP= PF，A為BF的中點(diǎn)，又PABF，PB=PF，由（1

36、）可知，PA=CP，PA= PB，在RtPAB中，PB2=22+（PB）2，解得PB=，則PD=，BD=PB+PD=【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用關(guān)鍵是運(yùn)用方程的思想，利用相似和勾股定理，列出關(guān)于PB的方程難度較大22（2011年河南，22，10分）如圖，在RtABC中，B90°，BC5，C30°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動的時間是t秒（t0）過點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F

37、，連接DE、EF（1）求證：AEDF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.（3）當(dāng)t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由.【解題思路】（1）在DFC中，DFC=90°，C=30°，由已知條件可以證明；（2）先證明四邊形AEFD是平行四邊形，再證明一組鄰邊相等即可，可令A(yù)DAE；（3）DEF為直角三角形，則共有三種情況，即DEF90°，EDF90°和DFE90°【解】（1）在DFC中，DFC90°，C30°，DC2t，DFt.又AEt，AEDF（2）能.理由如下：ABBC，DFB

38、C，AEDF.又AEDF，四邊形AEFD為平行四邊形.ABBC·tan30°ADACDC102t若使AEFD為菱形，則需AEAD，t102t，即t即當(dāng)時，四邊形AEFD為菱形（3）EDF90°時，四邊形EBFD為矩形. 在RtAED中，ADEC30°，AD2AE.即102t2t，.DEF90°時，由（2）知EFAD，ADEDEF90°.A90°C60°，ADAE·cos60°.即EFD90°時，此種情況不存在.綜上所述，當(dāng)或4時，DEF為直角三角形【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定定理

39、、菱形的判定定理，以及矩形的判定定理分類討論是解題的關(guān)鍵 20（2011年內(nèi)蒙古呼和浩特，20，7）如圖，四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)且AEF=90°,EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F,取邊AB的中點(diǎn)G,連接EG.(1)求證:EG=CF；(2)將ECF繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90°,請在圖中直接畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形,并指出旋轉(zhuǎn)后CF與EG的位置關(guān)系.ABCDEFG【解題思路】(1)要證兩線段相等,可以去尋找兩線段所在的兩個三角形全等,即AGEECF.(2)畫旋轉(zhuǎn)后的圖形,關(guān)鍵看旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)邊與對應(yīng)頂點(diǎn)的位置,要注意旋轉(zhuǎn)的方向與角度.【答案】(1)證明:正方形ABCD點(diǎn)G

40、,E為邊AB、BC中點(diǎn)AG=EC (1分)又CF為正方形外角平分線且AEF=90°,BG=BEAGE=E(2分) GAE=FEC (3分)AGEECF (4分)EG=CF (5分)(2)如圖所示 (6分) 旋轉(zhuǎn)后CF與EG平行 (7分)BCDEFGCA(F )【點(diǎn)評】本題來源于課本,是教材的改編題,背景公平,學(xué)生不陌生,能讓學(xué)生正常發(fā)揮自己的水平.試題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)、兩直線平行的判定等知識.利用兩三角形全等后的對應(yīng)邊相等與對應(yīng)角相等,是解決本題的關(guān)鍵.難度中等.23 （2011四川廣安，23，8分）如圖5所示，在菱形ABCD中，ABC= 60°，DEAC交BC的延長線于點(diǎn)E求證：DE=BE圖5【解題思路】本題先利用菱形定義證明相等的線