疊加定理與齊次定理

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯疊加定理與齊次定理 一.疊加定理 我們以圖1（a）所示電路為例來說明線性疊加定理。 圖1 疊加定理 該電路的網(wǎng)孔KVL方程為： 聯(lián)解得：i1=us/(R1+R2)+R2is/(R1+R2)=Gus+is(1)其中 G=1/（R1+R2），=R2/（R1+R2），為兩個比例常數(shù)，其值完全由電路的結(jié)構(gòu)與參數(shù)打算。 由式（1）可見，響應(yīng)電流i1為激勵us與is的線性組合函數(shù)，它由兩個重量組成，一個重量Gus只與us有關(guān)，另一個重量is只與is有關(guān)。當(dāng)is=0（就是將電流源is開路）時，電路中只有us單獨作用。如圖1(b)所示。此時得： i1'=us/(R1

2、+R2)=Gus當(dāng)us=0（就是將電壓源us短路）時，電路中只有is單獨作用，如圖1（c）所示。此時得 i1''=isR2/(R2+R1)=is由以上三式得： i1=i1'+i1''=Gus+is 此結(jié)果說，兩個獨立電源us與is同時作用時在電路中產(chǎn)生的響應(yīng)i1，是等于每個獨立電源單獨作用時在電路中所產(chǎn)生響應(yīng)i1'與i2''的代數(shù)和。將此結(jié)論推廣即得疊加定理：線性電路中全部獨立電源同時作用時在美意個支路中所產(chǎn)生的響應(yīng)電流或電壓，是等于各個獨立電源單獨作用時在該支路中所產(chǎn)生響應(yīng)電流或電壓的代數(shù)和。疊加定理也稱疊加性。它說明白線性電路

3、中獨立電源作用的獨立性。 應(yīng)用疊加定理時應(yīng)強調(diào)留意以下幾點：（1）.當(dāng)一個獨立電源單獨作用時，其它的獨立電源應(yīng)為零值，即獨立電壓源用短路代替，獨立電流源用開路代替。（2）.疊加時必需留意各個響應(yīng)重量是代數(shù)和，因此要考慮總響應(yīng)與各個分響應(yīng)的參考方向或參考極性。當(dāng)分響應(yīng)的參考方向或參考極性與總響應(yīng)的參考方向或參考極性全都時，疊加時取"+"號，反之取"-"號。（3）.疊加定理不能用于計算電路的功率，由于功率是電流或電壓的二次方函數(shù)。例1 圖2電路，已知當(dāng)us=1V,is=1A時，u2=0;當(dāng)us=10V,is=0時,u2=1V.求us=0,is=10A時的u2

4、值。 圖2 例1的電路 解：依據(jù)疊加定理，u2應(yīng)是us和is的線性組合函數(shù)，即： u2=us+is (2)其中和為比例常數(shù)。將前兩組已知數(shù)據(jù)帶入上式有： ×1+×1=0 ×10+×0=1聯(lián)解得=0.1,=-0.1。再帶入式（4-1-2）有：u2=0.1,us=0.1is再將第三組已知數(shù)據(jù)帶入上式得：u2=0.1×0-0.1×10=-1V二用疊加定理分析含受控源電路 用疊加定理分析含受控源電路，當(dāng)某一獨立源單獨作用時，其余的獨立源均為零，但全部的受控源均應(yīng)保留，由于受控源不是激勵，且具有電阻性。 例2 用疊加定理求圖3（a）電路中的u,

5、i. 圖3 例2的電路 解：10V獨立電壓源單獨作用時的電路如圖3（b）所示，于是可求得u'=6V,i'=2A. 3A獨立電流源單獨作用時的電路如圖3（c）所示，于是可求得u''=1.2V,i''=-0.6A.故得： u=u'+u''=7.2Vi=i'+i''=1.4A。三齊次定理 由于線性電阻元件的伏安關(guān)系為一條通過u-i平面上坐標(biāo)原點的直線，故在線性電阻中，當(dāng)全部激勵（獨立電壓源和獨立電流源）同時增大k（k為任意常數(shù)）倍時，其響應(yīng)也相應(yīng)增大k倍，如圖4（a）所示。此結(jié)論稱為齊次定理，也稱齊次性?，F(xiàn)說明如下： 由于圖4（a）就是圖4（a），故給式（3）等號兩端同乘以k即有： ki1=Gkus+kis此結(jié)果正是齊次定理所表達的內(nèi)容，如圖4（b）所示。 圖4 齊次定理 特例：若線性電路中只作用一個獨立源，則依據(jù)齊次定理，電路中的響應(yīng)與產(chǎn)生該響應(yīng)的激勵成正比。 需要指出的是，齊次定理與疊加定理是線性電路兩個相互獨立的性質(zhì)