動(dòng)力氣象學(xué)總復(fù)習(xí)

1、動(dòng)力氣象學(xué)總復(fù)習(xí)第一章緒論掌握動(dòng)力氣象學(xué)的性質(zhì)，研究對(duì)象，研究?jī)?nèi)容以及基本假定動(dòng)力氣象學(xué)（性質(zhì)）是由流體力學(xué)中分離出來（分支），是大氣科學(xué)中一個(gè)獨(dú)立的分支學(xué)科。動(dòng)力氣象學(xué)定義：是應(yīng)用物理學(xué)定律研究大氣運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力過程、熱力過程，以及它們之間的相互關(guān)系，從理論上探討大氣環(huán)流、天氣系統(tǒng)演變和其它大氣運(yùn)動(dòng)過程學(xué)科。動(dòng)力氣象學(xué)研究對(duì)象：發(fā)生在旋轉(zhuǎn)地球上并且密度隨高度遞減的空氣流體運(yùn)動(dòng)的特殊規(guī)律。動(dòng)力氣象學(xué)研究?jī)?nèi)容：根據(jù)地球大氣的特點(diǎn)研究地球大氣中各種運(yùn)動(dòng)的基本原理以及主要熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)過程。主要研究?jī)?nèi)容有大氣運(yùn)動(dòng)的基本方程、風(fēng)場(chǎng)、氣壓坐標(biāo)、環(huán)流與渦度、風(fēng)與氣壓場(chǎng)的關(guān)系、大氣中的波動(dòng)、大氣邊界層、大氣不穩(wěn)

2、定等等。一、基本假設(shè)：大氣視為“連續(xù)流體”，表征大氣運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和熱力狀態(tài)的各種物理量 (U, V, P, T, et al.) 看成是隨時(shí)間和空間變化的連續(xù)函數(shù)；大氣宏觀運(yùn)動(dòng)時(shí)，可視為“理想氣體”，氣壓、密度和溫度之間滿足理想其他的狀態(tài)方程，大氣是可“壓縮流體”，動(dòng)力過程和熱力過程相互影響和相互制約；二、地球大氣的動(dòng)力學(xué)和熱力學(xué)特性大氣是“旋轉(zhuǎn)流體”：90%的大氣質(zhì)量集中在10km以下的對(duì)流層；水平U, V遠(yuǎn)大于w（滿足靜力平衡）；W =7.29´10-5rad/s，中緯度大尺度滿足地轉(zhuǎn)平衡（科氏力與水平氣壓梯度力相當(dāng)）。大氣是“層結(jié)流體”：大氣密度隨高度變化，阿基米德凈力使不穩(wěn)定層結(jié)

3、大氣中積云對(duì)流發(fā)展；阿基米德凈力使穩(wěn)定層結(jié)大氣中產(chǎn)生重力內(nèi)波。大氣中含有水份：水份的相變過程使大氣得到（失去）熱量。大氣下墊面的不均勻性：海陸分布和大地形的影響。大氣運(yùn)動(dòng)的多尺度性：（見尺度分析）第二章 大氣運(yùn)動(dòng)方程組控制大氣運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律有質(zhì)量守恒、動(dòng)量守恒、能量守恒等等。支配其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和熱力學(xué)狀態(tài)的基本定律有：牛頓第二定律、質(zhì)量守恒定律、熱力學(xué)第一定律和狀態(tài)方程等等。本章要點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系；慣性離心力和科氏力；全導(dǎo)數(shù)和局地導(dǎo)數(shù)；預(yù)報(bào)和診斷方程；運(yùn)動(dòng)方程、連續(xù)方程；狀態(tài)方程、熱力學(xué)方程及其討論；局地直角坐標(biāo)系。一、全導(dǎo)數(shù)和局地導(dǎo)數(shù)的概念拉格朗日方法：以某物質(zhì)體積元（微團(tuán)）為對(duì)象，研究它的空間位

4、置及其物理屬性隨時(shí)間變化規(guī)律，并且推廣到整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)；歐拉方法則以流體空間某一固定體積元（空間點(diǎn)）為對(duì)象，研究不同流體經(jīng)過該固定點(diǎn)時(shí)的運(yùn)動(dòng)及其物理屬性變化的規(guī)律，從而掌握流場(chǎng)中各物理量的空間分布及其變化規(guī)律。以溫度T為例：T(x, y, z, t)：x=x(t); y=y(t); z=z(t)u=dx/dt; v=dy/dt; w=dz/dtA點(diǎn) (x, y, z)經(jīng)過 dt移動(dòng)到 B點(diǎn)(x+dx, y+dy, z+dz) dT=T(x+dx, y+dy, z+dz)-T(x, y, z)泰勒級(jí)數(shù)展開有：dT=T/t dt + T/x dx + T/y dy + T/z dz + 2T/2t

5、 (dt)2/2+兩端除以dt，并使dt®0，則有:dT/dtT/t + u T/x + v T/y + w T/z dT/dtlim T(x+dx, y+dy, z+dz, t+dt )-T(x, y, z, t)/dt 其中dt ® 0 dT/dt 為空氣個(gè)別微團(tuán)的溫度在運(yùn)動(dòng)中隨時(shí)間的變化率，也就是場(chǎng)函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)（個(gè)別變化率）T/tlim T(x, y, z, t+dt )-T(x, y, z, t)/ dt 其中dt ® 0 T/t 為空氣大氣運(yùn)動(dòng)空間中固定點(diǎn)上的溫度隨時(shí)間的變化率，也就是場(chǎng)函數(shù)的局地導(dǎo)數(shù)（局地變化率）。 ® ® 為溫度的

6、平流變化（率），也就是溫度平流；-w T/z為溫度的對(duì)流變化（率）。二、旋轉(zhuǎn)參考系下的運(yùn)動(dòng)方程慣性坐標(biāo)系：若物體不受外力作用，則物體相對(duì)于這類參考系作勻速率直線運(yùn)動(dòng)(無加速度)。這類參考系叫做慣性參考系。非慣性系參考系：相對(duì)于慣性系（靜止或勻速運(yùn)動(dòng)的參考系）加速運(yùn)動(dòng)的參考系稱為非慣性系參考系。地球有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，我們?cè)诘厍蛏纤^察到的各種力學(xué)現(xiàn)象，實(shí)際上是非慣性系中的力學(xué)問題。牽連位移，以der表示；絕對(duì)位移，以dar表示；相對(duì)位移，以dr表示。絕對(duì)位移是相對(duì)位移和牽連位移的矢量之和，即：dardrder (1)公式兩端除以dt，并使dt®0（dt），則有：dar/dtdr/dtder

7、/dt (2)即：VaVVe (3)表明絕對(duì)速度Va等于相對(duì)速度V與牽連速度Ve的矢量之和。Ve是由旋轉(zhuǎn)引起的牽連速度，實(shí)際上就是地面上P點(diǎn)由于地球旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的線速度，即：其中W是地轉(zhuǎn)角速度，r為地球半徑，R是緯圈面上的半徑矢。把(4)帶入(2)，則有其中，da/dt表示絕對(duì)坐標(biāo)系中的個(gè)別變化，d/dt為相對(duì)坐標(biāo)系中的個(gè)別變化，(6)式表示絕對(duì)坐標(biāo)系中的個(gè)別變化與相對(duì)坐標(biāo)系中的個(gè)別變化之間的關(guān)系，而且上式的算符對(duì)于任意矢量都是成立的。把(5)中的r換成Va后，得到把(3)和(4)帶入（7）后，有：此式表示絕對(duì)坐標(biāo)系中的加速度與相對(duì)坐標(biāo)系中的加速度的關(guān)系，其中為柯氏加速度；為向心加速度。為地轉(zhuǎn)偏向

8、力（科氏力）；為慣性離心力。其中，重力：，重力（g）等于地心引力（ga）和慣性離心力（W2R）的矢量和。大氣的水平運(yùn)動(dòng)：（一）影響大氣水平運(yùn)動(dòng)的四種力氣壓梯度力（原動(dòng)力）；地轉(zhuǎn)偏向力（科氏力，改變方向）；慣性離心力（改變方向）；摩擦力（減速、改變方向）。1、水平氣壓梯度力：當(dāng)氣壓梯度存在時(shí)，作用于單位質(zhì)量空氣上的力，稱為氣壓梯度力。氣壓梯度力可分為垂直氣壓梯度力和水平氣壓梯度力兩種。水平氣壓梯度力使空氣從高壓區(qū)流向低壓區(qū)，是大氣水平運(yùn)動(dòng)的原動(dòng)力，其表達(dá)式為：G 水平氣壓梯度力； 空氣密度；p 兩條等壓線之間的氣壓差；n 兩條等壓線之間的垂直距離；p/n 為水平氣壓梯度；“”負(fù)號(hào)表示方向由高壓指

9、向低壓。2、地轉(zhuǎn)偏向力：指由于地球的自轉(zhuǎn)而使地表上運(yùn)動(dòng)的物體發(fā)生方向偏轉(zhuǎn)的力。它包括水平和垂直兩個(gè)分力。地轉(zhuǎn)偏向力是使運(yùn)動(dòng)空氣發(fā)生偏轉(zhuǎn)的力，它總是與空氣運(yùn)動(dòng)方向垂直。在北半球，它使風(fēng)向右偏；它的大小與風(fēng)速和緯度成正比，在赤道為零，隨緯度而增大，在兩極達(dá)最大。地轉(zhuǎn)偏向力只能改變風(fēng)的方向，而不能改變風(fēng)的速度。3、慣性離心力：離心力是指空氣作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到一個(gè)離開曲率中心而沿曲率半徑向外的作用力。這是空氣為了保持慣性方向運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，所以稱為慣性離心力。它的方向與空氣運(yùn)動(dòng)方向垂直。在一般情況下，空氣運(yùn)動(dòng)路徑的曲率半徑很大，慣性離心力遠(yuǎn)小于地轉(zhuǎn)偏向力；但在空氣運(yùn)動(dòng)速度很大而曲率半徑很小時(shí)，如龍卷風(fēng)、

10、臺(tái)風(fēng)，離心力很大，甚至超過地轉(zhuǎn)偏向力。4、摩擦力：摩擦力指地面與空氣之間，不同運(yùn)動(dòng)狀況的空氣層之間相互作用而產(chǎn)生的阻力。氣層之間的阻力，稱為內(nèi)摩擦力；地面對(duì)空氣的阻力，稱為外摩擦力。摩擦力以近地面層最顯著，隨高度增加而迅速減弱，一般到12km以上就可以忽略不計(jì)了，此高度以上氣層稱為自由大氣。摩擦力方向與風(fēng)向相反，使風(fēng)速減小，導(dǎo)致地轉(zhuǎn)偏向力也相應(yīng)減弱。陸地表面摩擦力總是大于海洋表面。旋轉(zhuǎn)參考系中的大氣相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的矢量形式其中：連續(xù)方程：是由質(zhì)量守恒定律推導(dǎo)出來：為速度的散度，表示物質(zhì)體積元在運(yùn)動(dòng)中的相對(duì)膨脹率。上式表明：物質(zhì)體積元在運(yùn)動(dòng)中的體積增大（減?。┘矗簳r(shí)，因質(zhì)量守恒其密度要減?。ㄔ龃螅?/p>

11、。表示單位空間體積元中流體質(zhì)量的凈流出率。上式表明：對(duì)于固定體積元而言，當(dāng)有質(zhì)量流出（入）時(shí)，即：時(shí)，固定體積元的密度要減?。ㄔ龃螅?。狀態(tài)方程：表征大氣熱力狀態(tài)的參數(shù)有氣壓(P)、溫度(T)、密度(r)或者體積(V)。狀態(tài)方程給出三者之間的關(guān)系。干空氣的狀態(tài)方程可表示為：p=rRT其中，R為干空氣的比氣體參數(shù)，R=2.87J×K-1×kg-1。熱力學(xué)方程：熱力學(xué)第一定律：系統(tǒng)內(nèi)能的改變，等于進(jìn)入系統(tǒng)的熱量與系統(tǒng)對(duì)外界作功之差。常用的熱力學(xué)能量方程為CpCv+R，Cp為干空氣定壓比熱，Cp=1000J×K-1×kg-1，Cv為干空氣定容比熱，Cv= 717

12、J×K-1×kg-1，a=1/r以位溫表示，則：在絕熱條件下，位溫守恒：位溫（q）的定義：大氣絕熱運(yùn)動(dòng)到氣壓為1000hPa高度上溫度，稱為位溫。球坐標(biāo)系中的基本方程組：球坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程b平面近似地轉(zhuǎn)參數(shù)： f=2Wsinj將f在緯度j0處泰勒展開：f=f0+by其中，f0=2Wsinj0，b=(df/dy)0=2Wcosj0/aL代表運(yùn)動(dòng)的經(jīng)向水平尺度，則：中緯度地區(qū)，所以可以略去地球曲率的影響，有：ff0，f看成常數(shù)處理，這種近似稱為“f0”近似。低緯度（赤道）地區(qū)，f00，因而有：，赤道b平面近似。Z坐標(biāo)系下的閉合方程組：哪些是預(yù)報(bào)方程、哪些為診斷方程？熱力學(xué)方程

13、簡(jiǎn)化及討論對(duì)位溫公式取對(duì)數(shù)微商利用狀態(tài)方程和靜力平衡方程后，得到：gd稱為干絕熱垂直遞減率，g為氣溫隨高度的遞減率。上式表明，靜力穩(wěn)定度（s）對(duì)鉛直速度有抑制作用。鉛直速度的量級(jí)：第三章 尺度分析與基本方程的簡(jiǎn)化大氣中存在不同尺度（時(shí)間和空間）的運(yùn)動(dòng)；大氣運(yùn)動(dòng)方程組是非常復(fù)雜的，它是具有六個(gè)變量的非線性偏微分方程組，因此在研究具體的大氣運(yùn)動(dòng)過程時(shí)，需要對(duì)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化。所謂簡(jiǎn)化就是在運(yùn)用運(yùn)動(dòng)方程之前，針對(duì)所研究的運(yùn)動(dòng)形勢(shì)的特點(diǎn)，正確區(qū)分影響運(yùn)動(dòng)過程的主要因素和次要因素，然后略去方程中次要項(xiàng)而保留其中主要項(xiàng)。主要內(nèi)容：尺度和尺度分析的概念（掌握尺度間的基本關(guān)系式和尺度分析方法）基本方程組的簡(jiǎn)化（了

14、解大尺度運(yùn)動(dòng)方程的基本性質(zhì)）基本方程組的進(jìn)一步簡(jiǎn)化無量綱方程及動(dòng)力學(xué)參數(shù)本章要點(diǎn)：尺度分析的目的和方法；簡(jiǎn)化后的大氣運(yùn)動(dòng)方程組的基本特性。尺度分析的基本概念和目的尺度分析就是根據(jù)表征特定型式運(yùn)動(dòng)的各種運(yùn)動(dòng)要素的特征尺度來估計(jì)方程中各項(xiàng)的大小，從而使得方程得到簡(jiǎn)化的一種方法。這里所說的運(yùn)動(dòng)要素的特征尺度是指某種特定型式運(yùn)動(dòng)的空間范圍和時(shí)間區(qū)間以及氣象要素或者其他特性的一般大小。采用尺度分析的方法對(duì)方程進(jìn)行分析，判別各個(gè)因子的相對(duì)重要性，然后舍去次要因子而保留主要因子，使得物理特征突出，而達(dá)到簡(jiǎn)化又保存主要特征的目的。這樣一來，簡(jiǎn)化的方程一方面在數(shù)學(xué)形式上變得簡(jiǎn)單和容易處理，另一方面突出了某種運(yùn)動(dòng)

15、型式的本質(zhì)特征，其結(jié)果便于從物理上進(jìn)行解釋和在實(shí)際工作中應(yīng)用。動(dòng)力氣象學(xué)中常用的一種簡(jiǎn)化方程的方法尺度分析法大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)適合于中緯度大中尺度運(yùn)動(dòng)初步簡(jiǎn)化的基本方程組為：這一方程組已經(jīng)完全忽略了球面效應(yīng)。即表明局地直角坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程組實(shí)質(zhì)上可以看作為球面坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)方程組的簡(jiǎn)化形式。利用尺度分析方法對(duì)大尺度運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)進(jìn)行分析，根據(jù)觀測(cè)事實(shí)，中緯度大尺度運(yùn)動(dòng)中各基本尺度的量級(jí)分別取為：水平尺度 L106m鉛直尺度 DH104m水平速度尺度 U10m×s-1擾動(dòng)傳播速度尺度 CU10m×s-1時(shí)間尺度 tL/U105s重力加速度 g10m×s-2地轉(zhuǎn)參數(shù)

16、 f010-4s-1水平運(yùn)動(dòng)方程為：對(duì)于大尺度運(yùn)動(dòng)有：水平氣壓梯度力的量級(jí)應(yīng)當(dāng)于科氏力量級(jí)相當(dāng)，因此有：作為零級(jí)近似，在略去加速度項(xiàng)后，大尺度水平運(yùn)動(dòng)方程為：這就是地轉(zhuǎn)平衡方程。表明大尺度水平運(yùn)動(dòng)中水平氣壓梯度力與科氏力相互平衡。該方程為診斷方程。鉛直運(yùn)動(dòng)方程為：對(duì)于大尺度運(yùn)動(dòng)g10m×s-2于是在相當(dāng)大的精度范圍內(nèi)，相對(duì)于重力和鉛直氣壓梯度力而言，鉛直加速度可以略去，于是大尺度垂直運(yùn)動(dòng)方程為：這就是靜力平衡方程。表明在鉛直方向上，重力和鉛直氣壓梯度力平衡。該方程給出了瞬時(shí)氣壓場(chǎng)與密度場(chǎng)（溫度場(chǎng)）之間的關(guān)系。對(duì)于大尺度運(yùn)動(dòng)，DH，對(duì)流層中氣壓和密度隨高度的改變與它們本身的量級(jí)相當(dāng)，即

17、：大尺度運(yùn)動(dòng)存在地轉(zhuǎn)平衡，水平氣壓梯度力與科氏力相當(dāng)，所以有：由靜力平衡近似關(guān)系，得到：由狀態(tài)方程：因此 同理：類似的，對(duì)于密度r也有同理：類似證明有：對(duì)于連續(xù)方程為：其中，而 因此，連續(xù)方程的零級(jí)近似為：零級(jí)近似簡(jiǎn)化方程說明大氣運(yùn)動(dòng)在水平是無輻散的。連續(xù)方程的一級(jí)近似為：對(duì)一級(jí)近似簡(jiǎn)化方程，從z=0到z®¥垂直積分，并利用邊界條件：z=0時(shí)w=0以及z®¥，rw=0，得到一級(jí)簡(jiǎn)化方程說明上下層速度輻合、輻散相互補(bǔ)償，整層大氣是水平無輻散的。這就是達(dá)因（Dines）補(bǔ)償原理。此外，根據(jù)尺度分析可知：但是 這表明水平輻散中兩項(xiàng)總是相互補(bǔ)償?shù)?！以上?jiǎn)化表明中

18、緯度地區(qū)大尺度運(yùn)動(dòng)具有準(zhǔn)定常、準(zhǔn)水平、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)、準(zhǔn)靜力平衡和準(zhǔn)水平無輻散的特點(diǎn)。無量綱方程及動(dòng)力學(xué)參數(shù)對(duì)利用特征尺度將基本方程組進(jìn)行無量綱化。不計(jì)摩擦的局地直角坐標(biāo)系x方向的運(yùn)動(dòng)方程為給出特征尺度引入無量綱量，記為：帶上標(biāo)的為無量綱量，量級(jí)為1。，當(dāng)DH有對(duì)x方向上的運(yùn)動(dòng)方程無量綱化，得到：上式兩端除以f0U，并定義如下參數(shù)：則有：討論 參數(shù)的物理意義？e為基別爾參數(shù)，定義為局地慣性力與科氏力的尺度之比：f0是大氣中慣性運(yùn)動(dòng)的特征頻率，所以，f0-1可以理解為慣性運(yùn)動(dòng)的特征時(shí)間尺度（te），也是地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程的特征時(shí)間尺度。，因此，e又可以理解為慣性運(yùn)動(dòng)的時(shí)間尺度與所研究的運(yùn)動(dòng)時(shí)間尺度之比，其大小

19、反映運(yùn)動(dòng)變化過程的快慢程度。即e的量級(jí)表示運(yùn)動(dòng)地轉(zhuǎn)平衡近似程度。e1/f0t，當(dāng)，¶u/¶t 相對(duì)于fv可以略去。R0為羅斯貝參數(shù)，表示為水平慣性力與科氏力的尺度之比：當(dāng)，水平慣性力相對(duì)于科氏力可以略去；反之當(dāng)，科氏力相對(duì)于水平慣性力可以略去。由于各類運(yùn)動(dòng)中的圖中水平速度變化不大，因此，R0的大小主要依賴于各種運(yùn)動(dòng)的水平尺度。大尺度運(yùn)動(dòng)中，科氏力是不能忽略的；小尺度運(yùn)動(dòng)中，科氏力可以被忽略不計(jì)。Ri為理查遜數(shù)，這是一個(gè)與大氣層結(jié)穩(wěn)定度和風(fēng)速切變有關(guān)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)。熱力學(xué)方程由位溫(q)來表示為：令眾所周知，層結(jié)越不穩(wěn)定、風(fēng)速越強(qiáng)，則有利于對(duì)流的發(fā)展；反之不利于對(duì)流的發(fā)展。所以

20、，Ri當(dāng)用來表示大氣中對(duì)流（擾動(dòng)）導(dǎo)致的條件。此外，比較水平與鉛直運(yùn)動(dòng)中的水平慣性力與重力的尺度大小：在大氣中，一般Fr在10-810-1之間，只有當(dāng)水平尺度L102m和風(fēng)速很強(qiáng)時(shí)，F(xiàn)r才可能達(dá)到100的量級(jí)，相對(duì)于水平慣性力而言，重力一般是可以忽略的，大氣通常滿足靜力平衡。第四章 自由大氣中的平衡流場(chǎng)通過尺度分析，對(duì)大尺度運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，表明中緯度地區(qū)大尺度運(yùn)動(dòng)具有準(zhǔn)定常、準(zhǔn)水平、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)、準(zhǔn)靜力平衡和準(zhǔn)水平無輻散的特點(diǎn)。因此研究靜力平衡條件下大氣平衡流場(chǎng)的性質(zhì)，對(duì)理解實(shí)際水平流場(chǎng)的特征有重要意義。主要針對(duì)： 準(zhǔn)水平； 無摩擦（自由大氣）。1、主要內(nèi)容自然坐標(biāo)系；平衡流場(chǎng)的基本型式和性質(zhì)；地

21、轉(zhuǎn)風(fēng)隨高度的變化以及熱成風(fēng)；地轉(zhuǎn)偏差2、基本要求掌握自然坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)方程正確區(qū)分流線和軌跡掌握地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、地轉(zhuǎn)偏差、熱成風(fēng)的概念自然坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)固接于質(zhì)點(diǎn)，坐標(biāo)軸沿質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的切向和法向的坐標(biāo)系，叫做自然坐標(biāo)系。切向以質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)方向?yàn)檎?，記做et，法向以曲線凹側(cè)方向?yàn)檎?，記做en（見下圖）。(1) 位置：在軌道上取一固定點(diǎn)O，用質(zhì)點(diǎn)距離O的路程長(zhǎng)度s，可唯一確定質(zhì)點(diǎn)的位置。位置s有正負(fù)之分。(2) 位置變化：Ds(3) 速度：沿切線方向，(4) 加速度：切向加速度：描述速度大小改變的快慢，不影響速度的方向。法向加速度：或描述速度方向改變的快慢，不影響速度的大小。在自然坐標(biāo)系下，空氣微團(tuán)的速度為

22、：空氣微團(tuán)的加速度為：RT：軌跡的曲率半徑。RT為空氣軌跡的曲率半徑，規(guī)定當(dāng)軌跡呈氣旋式反時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)為RT>0，當(dāng)軌跡呈反氣旋式順時(shí)針運(yùn)動(dòng)時(shí)為RT <0。上式第一項(xiàng)為切向加速度，第二項(xiàng)為向心加速度（負(fù)值為反向，稱離心加速度）在自然坐標(biāo)系下，氣壓梯度力為：水平科氏力為：自然坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程為：軌跡與流線軌跡：某一流體質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，不同時(shí)刻所流經(jīng)的空間點(diǎn)所連成的線稱為跡線，或者跡線就是流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)所走過的軌跡線。拉格朗日法分析流場(chǎng)。流線：流線是某瞬間在流場(chǎng)中繪出的曲線，在此曲線上所有各點(diǎn)的流速矢量都和該線相切。歐拉法分析流場(chǎng)。流線：某瞬時(shí)在流場(chǎng)中所作的一條空間曲線，曲線上各點(diǎn)速

23、度矢量與曲線相切。流線微分方程：性質(zhì)：一般情況下不相交、不折轉(zhuǎn)，流線表示瞬時(shí)流動(dòng)方向；流線密處流速大，流線稀處流速小。軌跡：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。跡線微分方程：以kT和ks分別表示軌跡和流線的曲率。則有：表示風(fēng)向角沿軌跡的變率，表示在任意瞬時(shí)風(fēng)向角沿流線的變率。則風(fēng)向角隨時(shí)間的變率為：Blaton公式：在平衡流場(chǎng)基本的型式和性質(zhì)在氣流方向無外力的定常水平流場(chǎng)為平衡流場(chǎng)。此時(shí)的自然坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程為：平衡流場(chǎng)中的等壓線就是流線，空氣微團(tuán)運(yùn)動(dòng)是等速率的。在法線方向上，三力相平衡。自由大氣中，空氣微團(tuán)以水平勻速度運(yùn)動(dòng)為梯度風(fēng)。即所謂梯度風(fēng)即是水平氣壓梯度力、水平科氏力和離心力三者平衡下的運(yùn)動(dòng)。地轉(zhuǎn)風(fēng)：當(dāng)

24、RT®¥時(shí)，梯度風(fēng)既為地轉(zhuǎn)風(fēng)（Vg）。地轉(zhuǎn)風(fēng)定義：在自由大氣中，因氣壓場(chǎng)是平直的，空氣僅受水平氣壓梯度力和水平地轉(zhuǎn)偏向力的作用，當(dāng)二力相等的空氣運(yùn)動(dòng)稱之為地轉(zhuǎn)風(fēng)：矢量形式的動(dòng)力學(xué)關(guān)系式為：所以：，表明地轉(zhuǎn)風(fēng)方向與等壓線平行，在北半球f>0，高（低）壓在地轉(zhuǎn)風(fēng)右（左）側(cè)；當(dāng)空氣密度和地理緯度一定時(shí)，地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速與氣壓梯度成正比。即地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速隨等壓線的疏密程度而變，當(dāng)?shù)葔壕€愈密時(shí)，地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速愈大，等壓線愈稀疏，地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速愈小。當(dāng)空氣的密度與氣壓梯度一定時(shí)，地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速與地理緯度的正弦成反比，即低緯度地轉(zhuǎn)風(fēng)大于高緯度。但由于低緯度氣壓梯度力很小，地轉(zhuǎn)風(fēng)也很小。當(dāng)氣壓梯

25、度和地理緯度不變時(shí)，地轉(zhuǎn)風(fēng)的風(fēng)速與空氣密度成反比。白貝羅風(fēng)壓定律：在北半球，風(fēng)是順著等壓線吹的。背風(fēng)而立，低壓在左手邊，高壓在右手邊；南半球相反。地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)必須滿足的條件： 氣流方向無外力； 地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是水平、定常； 水平氣壓梯度力和科氏力嚴(yán)格相平衡，因此實(shí)際大氣風(fēng)場(chǎng)不大可能是地轉(zhuǎn)風(fēng)場(chǎng)。中緯度自由大氣中水平氣壓梯度力和科氏力近似平衡，運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)水平、準(zhǔn)定常的。其分量形式為：慣性運(yùn)動(dòng)：氣壓水平分布均勻（水平氣壓梯度力0）科氏力與慣性離心力相平衡的流場(chǎng)為慣性流，其動(dòng)力學(xué)關(guān)系式為：所以有：和1. Vi=0為靜止，無意義。2. 在北半球f>0，需要RT<0，于是在北半球空氣微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡必然是反氣

26、旋順時(shí)針的。3. 如果不考慮f的變化，則RT隨是常數(shù)，其軌跡為慣性圓。運(yùn)動(dòng)的周期為旋衡運(yùn)動(dòng)：小尺度運(yùn)動(dòng)中，當(dāng)空氣微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡和風(fēng)速較大時(shí)，水平科氏力比較氣壓梯度力和離心力都小，這時(shí)的平衡運(yùn)動(dòng)為旋轉(zhuǎn)風(fēng)(Vc)。如龍卷風(fēng)和旋風(fēng)。其動(dòng)力學(xué)關(guān)系為：所以有：當(dāng)RT>0時(shí)，需要，即中心為低壓，反之RT <0時(shí)，則中心為高壓。旋衡運(yùn)動(dòng)可以是氣旋式的，也可以是反氣旋式的（見下圖）。旋平衡運(yùn)動(dòng)中力的平衡圖中Ca表示慣性離心力，P表示水平氣壓梯度力討論北半球梯度風(fēng)的性質(zhì)由梯度風(fēng)的公式，得出梯度風(fēng)公式：梯度風(fēng)方程解的分類（北半球）熱成風(fēng)：地轉(zhuǎn)風(fēng)隨高度的變化。在靜力平衡條件下，水平氣壓場(chǎng)結(jié)構(gòu)隨高度因溫度分

27、布不均而變地轉(zhuǎn)風(fēng)關(guān)系也隨之變化熱成風(fēng)。正壓大氣：大氣密度的空間分布僅依賴于氣壓(p)的大氣，即：r=r(p)，正壓大氣中地轉(zhuǎn)風(fēng)不隨高度變化，沒有熱成風(fēng)。斜壓大氣：大氣密度的空間分布依賴于氣壓(p)和溫度(T)的大氣，即：r=r(p, T)。實(shí)際大氣都是斜壓大氣，和正壓大氣不同，斜壓大氣中等壓面、等比容面（或等密度面）和等溫面是彼此相交的。P坐標(biāo)系下的地轉(zhuǎn)風(fēng)表達(dá)式為：上式為熱成風(fēng)方程！熱成風(fēng)定義為在鉛直方向上兩等壓面上地轉(zhuǎn)風(fēng)的矢量差：如果令為兩等壓面之間的平均溫度，則有：可見，熱成風(fēng)方向與等平均溫度線（等厚度線）平行，在北半球，暖（冷）區(qū)在熱成風(fēng)方向的右（左）側(cè)。熱成風(fēng)大小與平均溫度梯度成正比，

28、與緯度的正弦為反比。地轉(zhuǎn)風(fēng)與平均等溫場(chǎng)之間的關(guān)系：地轉(zhuǎn)風(fēng)向隨高度逆（順）時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，與此相伴隨的是冷（暖）平流。是一個(gè)非常有用的診斷方程！地轉(zhuǎn)偏差：不計(jì)摩擦的水平運(yùn)動(dòng)方程為可見，地轉(zhuǎn)偏差與水平加速度方向相垂直，在北半球指向水平加速度的左側(cè)。其大小與水平加速度成正比，與緯度的正弦為反比。物理意義：地轉(zhuǎn)偏差由水平加速度造成，即由水平氣壓梯度力與科氏力的不平衡引起。地轉(zhuǎn)偏差在多數(shù)情況下與實(shí)際大氣十分接近大氣運(yùn)動(dòng)處于準(zhǔn)動(dòng)態(tài)平衡中。第五章 環(huán)流定理與渦度方程大氣運(yùn)動(dòng)具有明顯的渦旋特點(diǎn)，無論小尺度還是大尺度天氣系統(tǒng)都呈現(xiàn)出渦旋特征，如龍卷、臺(tái)風(fēng)、氣旋、反氣旋以及繞極旋渦。此外，海陸風(fēng)、山谷風(fēng)以及Hadley

29、環(huán)流等等也可以看成另外一種渦旋運(yùn)動(dòng)。1、主要內(nèi)容環(huán)流與環(huán)流定理渦度與渦度矢量方程泰勒普勞德曼定理鉛直渦度方程P坐標(biāo)系中的渦度方程位勢(shì)位勢(shì)渦度方程2、基本要求正確理解環(huán)流的定義以及Kelvin環(huán)流定理掌握渦度、散度的概念及其表達(dá)式掌握正壓大氣中絕對(duì)環(huán)流守恒定理之證明渦度方程各項(xiàng)的含義一、絕對(duì)環(huán)流定理速度環(huán)流：在流體中任取一閉合曲線（回路）L，曲線上每一點(diǎn)的速度大小和方向是不一樣的，如果對(duì)各點(diǎn)的流體速度在曲線L方向上的分量作線積分，則此積分定義為速度環(huán)流，簡(jiǎn)稱為環(huán)流C（見下圖），即：其中，V3為速度，ds是曲線L方向上一致的弧元，a為V3與ds之間的夾角。Vcosa是風(fēng)速沿該線元的分量。上式就是速

30、度環(huán)流的表達(dá)式，它表示流體沿著閉合曲線L的流動(dòng)趨勢(shì)，也表示轉(zhuǎn)動(dòng)的傾向。若取直角坐標(biāo)系，以r表示曲線上點(diǎn)的矢徑，則ds=|dr|，于是有：為了簡(jiǎn)便起見，考慮水平方向的速度引起的環(huán)流，水平速度V的分量分別為u和v，則上式為：積分路徑（即曲線L）的方向確定？習(xí)慣上規(guī)定，如果沿曲線走，曲線所包圍的面積始終在其左側(cè)，則該方向確定為曲線（回路）的正方向，反之，則為負(fù)方向。在水平面上，如果曲線所包圍的是單通區(qū)域，那么逆時(shí)針方向就是曲線的正方向，這時(shí)的環(huán)流大于零，稱為氣旋式環(huán)流；順時(shí)針方向?yàn)榍€的負(fù)方向，環(huán)流小于零，稱為反氣旋式環(huán)流。圖中表示在x-y平面上任取一個(gè)小正方形，它的邊長(zhǎng)分別為dx和dy，假設(shè)在AB

31、邊上的風(fēng)速為u，在離開AB邊dy處的另外一邊DC，其風(fēng)速為。同理，在AD邊上的風(fēng)速為v，在離開AD邊dx處的另外一邊BC上的風(fēng)速為。因此該閉合小的環(huán)流為dC，它等于：其中dC為沿小閉合四邊形ABCD的環(huán)流，dA=dxdy為該閉合曲線的面積。則dC/dA表示繞鉛直（Z）方向的渦度，即：在水平面上一面積元的環(huán)流與渦度的關(guān)系渦度的其他表示公式？絕對(duì)環(huán)流：在實(shí)際問題上，不僅需要確定環(huán)流，更需要知道環(huán)流隨時(shí)間的變化，以及環(huán)流變化的動(dòng)力學(xué)原因。考察閉合曲線L的環(huán)流C隨時(shí)間的變化，環(huán)流C對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到：由于和運(yùn)算給予互相交換，因此有：上式右邊第一項(xiàng)是由于加速度引起的環(huán)流變化，右邊第二項(xiàng)是由于閉合曲線L的變

32、化所引起的環(huán)流變化。|dr|=ds，ds是曲線的弧元，它是隨流體運(yùn)動(dòng)而變化的；其次dr的算符是空間微分，與個(gè)別微商d/dt是兩個(gè)獨(dú)立運(yùn)算，故可以交換次序，所以有：因此右邊第二項(xiàng)變?yōu)椋核原h(huán)流隨時(shí)間的變化可以表示為：這就是環(huán)流定理，它表明：沿任意閉合回線的速度環(huán)流隨時(shí)間的變化率，等于沿同一回線的加速度環(huán)流。簡(jiǎn)單地說，環(huán)流的加速度等于加速度的環(huán)流。如果從慣性坐標(biāo)系下觀測(cè)大氣運(yùn)動(dòng)，對(duì)絕對(duì)速度作閉合回線L的積分，得到絕對(duì)環(huán)流Ca。表示為：相應(yīng)地，絕對(duì)環(huán)流Ca隨時(shí)間的變化率可以表示為：不計(jì)摩擦力作用的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為：F是地球引力位勢(shì)。于是對(duì)上式作閉合回線L的積分，得到：在笛卡兒直角坐標(biāo)系中，任意變量F(

33、x, y, z)的全導(dǎo)數(shù)可記為：所以有：帶入絕對(duì)環(huán)流隨時(shí)間的變化率后有：上式為絕對(duì)環(huán)流定理，表明絕對(duì)環(huán)流的變化與地球引力無關(guān)，僅與氣壓梯度力的切向分量沿閉合曲線的積分來確定。上式中右端稱為力管項(xiàng)，?。╬, a）平面坐標(biāo)系（下圖），力管項(xiàng)的數(shù)值大小由p-a平面上積分路徑L所包圍的面積決定。因此如果在該平面上畫出許多等壓線和等比容線，并令每相鄰的等值線都相差一個(gè)單位，那么由L內(nèi)的方格數(shù)就是力管項(xiàng)的大小。積分，當(dāng)L為逆時(shí)針方向時(shí)為正，力管為正，反之，力管為負(fù)。力管項(xiàng)的物理意義為：積分就是氣壓梯度力沿閉合回路的積分，沿著氣壓梯度與路徑相同，則環(huán)流加強(qiáng)，反之減弱。力管項(xiàng)的存在的必要條件就是大氣的斜壓性。

34、通常實(shí)際大氣中，等比容面和等氣面相交。舉例：相對(duì)環(huán)流定理對(duì)于氣象問題，需要考察相對(duì)于地球的運(yùn)動(dòng)，故相對(duì)運(yùn)動(dòng)及其變化是我們所討論的實(shí)際問題。由于絕對(duì)速度可分為絕對(duì)速度和牽連速度：于是有：C和Ce分別為相對(duì)環(huán)流和由地球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的牽連環(huán)流，計(jì)算Ce，需要利用斯托克斯 (Stokes) 定理：s 表示閉合回路L所圍面積，為曲面元ds的外法向方向；S為面積s在赤道平面上的投影。L的走向與構(gòu)成右手系統(tǒng)（如圖）。閉合回路L所圍面積在赤道平面上的投影利用矢量運(yùn)算規(guī)則有：帶入上式因此，C=Ca-CeCa-2SW對(duì)上式求個(gè)別微商，并利用：就得到皮葉克尼斯環(huán)流定理：皮葉克尼斯環(huán)流定理的討論？上式表明造成相對(duì)環(huán)流隨時(shí)

35、間變化的原因有2個(gè)：1是力管項(xiàng)；2. 是面積變化項(xiàng)。在北半球，若閉合回路L所包圍的面積在赤道面的投影隨時(shí)間減小，即dS/dt<0，則相對(duì)環(huán)流增強(qiáng)；反之，投影面積隨時(shí)間增加，dS/dt >0，則相對(duì)環(huán)流減弱。正壓大氣，相對(duì)環(huán)流變化完全由面積變化項(xiàng)決定。引起投影面積S變化可能有3種情況：閉合回路L所包圍的投影面積在球面上有南北移到時(shí)候，投影面積S會(huì)發(fā)生改變，向北部時(shí)移動(dòng)S增大，向南移動(dòng)時(shí)S會(huì)減小； 輻散幅合造成面積s本身擴(kuò)張和收縮，使投影面積S發(fā)生改變；速度場(chǎng)不均勻使面積s相對(duì)于球面在空間的傾斜發(fā)生改變，從而使投影面積S發(fā)生變化。渦度與渦度矢量方程渦度的概念環(huán)流及其隨時(shí)間變化的環(huán)流定理

36、引進(jìn)在氣象上對(duì)氣象學(xué)理論有十分積極的作用，但在實(shí)際氣象上是無法直接運(yùn)用的，需要引進(jìn)新的概念：渦度。對(duì)速度環(huán)流C引用斯托克斯定理，把線積分變?yōu)槊娣e分后得到：由此可見，沿閉合回線L的速度環(huán)流是和速度的旋度（）緊密相互聯(lián)系的。上式表明：沿閉合回線L的速度環(huán)流等于提供該回線所確定的面積上的渦旋通量?；蚝?jiǎn)言之，環(huán)流等于速度旋度的面積分。通常稱速度的旋度為渦度。對(duì)上式取面積s趨于0的極限后，所以，渦度在法方向的分量就等于單位面積上的環(huán)流，因此可以認(rèn)為渦度是對(duì)流體轉(zhuǎn)動(dòng)的微觀度量。渦度用來描述流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。渦度是點(diǎn)的坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，它在直角坐標(biāo)系中的投影為：自然坐標(biāo)系下的渦度表達(dá)式，見p111，圖6.

37、8沿ABCDA的環(huán)流為：注意，風(fēng)矢量與矢徑相垂直！代入上式，則：又因?yàn)椋篈BCD的面積dA為：dA=rdrdq所以上式又可以寫成：當(dāng)dr®0和dq®0時(shí)，上式最后一項(xiàng)也趨于零，則渦度（z）為：該式表明，渦度由兩方面（作用）造成：第一項(xiàng)表示氣流的彎曲作用，稱為曲率項(xiàng)；第二項(xiàng)表示風(fēng)速在r方向的分布不均（）的作用，稱為切變項(xiàng)。渦度是由曲率項(xiàng)和切變項(xiàng)的綜合效應(yīng)產(chǎn)生。曲率項(xiàng)；如果，則表示氣流作彎曲運(yùn)動(dòng)時(shí)，渦度不等于零。流線的曲率用1/r表示，當(dāng)氣流按逆（順）時(shí)針旋轉(zhuǎn)，r>(<)0，則渦度為正（負(fù)）。見p112，圖6.10切變項(xiàng)：如果氣流作直線運(yùn)動(dòng)，1/r趨于零，此時(shí)，表示

38、當(dāng)風(fēng)速沿r方向增大（減小）時(shí)，渦度為正（負(fù)）。在自然坐標(biāo)系下規(guī)定r的方向?yàn)榕c氣流垂直且指向右側(cè)。下圖6.9來說明。關(guān)于流函數(shù)y：水平無輻散運(yùn)動(dòng)：存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)y，要求：y 稱為流函數(shù)，水平速度方向與等y相切，所以等y（y=常數(shù)）的曲線就是水平流場(chǎng)的曲線，或者說，等y線相當(dāng)于無輻散速度場(chǎng)的流線）。引入流函數(shù)y表示水平流場(chǎng)，渦度用y表示有：對(duì)于無旋運(yùn)動(dòng)（），則存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)c，用c表示水平速度場(chǎng)，要求：c 稱為速度勢(shì)，無旋運(yùn)動(dòng)的流體將沿速度勢(shì)的水平梯度方向運(yùn)動(dòng)。一般情形下，水平速度可以分為無輻散和無旋兩個(gè)部分的速度之和：分別為旋轉(zhuǎn)風(fēng)和散度風(fēng)如果z和d已知，上述泊松方程的解唯一。泰勒普勞德曼定理

39、在無摩擦正壓條件下，絕對(duì)渦度方程為：教科書上用表示進(jìn)一步假定：(1) 流體為不可壓縮的，；(2) 流體運(yùn)動(dòng)是緩慢的，(3) 運(yùn)動(dòng)趨于定常，由于是緩慢運(yùn)動(dòng)的，是小量，上式右端是的一階小量，左端是的二階小量，所以，該式表明沿的方向速度是不改變。或者說，運(yùn)動(dòng)只是在與相垂直的平面內(nèi)發(fā)生變化，所以運(yùn)動(dòng)是是二維的。這就是泰勒普勞德曼定理：均勻無輻散的正壓大氣中，緩慢定常運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)基本上是準(zhǔn)水平！方向速度是變化的，直角坐標(biāo)系下的（鉛直）渦度表達(dá)為渦度方程的推導(dǎo)：運(yùn)動(dòng)方程的矢量形式為：根據(jù)矢量運(yùn)算規(guī)則：對(duì)上式取，并且由于（重力是位勢(shì)矢量），以及考慮到：（梯度的旋度為零），所以有：又因?yàn)椋核裕阂员硎救S的絕

40、對(duì)渦度，即：，其中為常矢量。，其中：根據(jù)矢量運(yùn)算規(guī)則：式中，（旋度的散度為零）所以得到絕對(duì)渦度方程為：位勢(shì)渦度：前面從水平運(yùn)動(dòng)方程出發(fā)導(dǎo)出的渦度方程，主要是從動(dòng)力學(xué)方面討論渦度隨時(shí)間變化的物理機(jī)制。對(duì)于包括熱力學(xué)過程在內(nèi)的大氣渦旋，應(yīng)該分析大氣熱力結(jié)構(gòu)對(duì)渦度的約束關(guān)系?？紤]熱力學(xué)能量方程之后，得到位勢(shì)渦度方程。位勢(shì)渦度方程：再利用連續(xù)方程：把(2)代入(1)后：即：(4)式表明，引起絕對(duì)渦度與密度的比值隨時(shí)間的個(gè)別變化的原因有：(1) 大氣斜壓性：(2) 非均勻流場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)：。但是該項(xiàng)在實(shí)際工作難以應(yīng)用。由熱力學(xué)能量方程：令熵S：，則有：對(duì)(5)式兩端取Ñ3運(yùn)算，得到：由于S是p和

41、r的函數(shù)。因此：因?yàn)?#209;3S與力管項(xiàng)（-Ñ3a´Ñ3P）正交，所以：用Ñ3S點(diǎn)乘(4)，并且利用(8)式，得到：以xa/r點(diǎn)乘(6)，得到：對(duì)(4a)與(6a)相加，則：(9)式中qa定義為絕對(duì)位渦，即：qaºxa×Ñ(S/r)。(9)式就是運(yùn)動(dòng)學(xué)、熱力學(xué)以及連續(xù)方程綜合得到位渦方程。所以：，表明：在無摩擦和絕熱情形下，絕對(duì)渦度守恒厄特爾位渦。位渦方程的簡(jiǎn)化（渦度是標(biāo)量）：大尺度（天氣）尺度運(yùn)動(dòng)中各基本尺度的量級(jí)分別取為：水平尺度 L106m鉛直尺度 DH104m水平速度尺度 U10m×s-1垂直速度尺度

42、W10-2m×s-1時(shí)間尺度 tL/U105s重力加速度 g10m×s-2地轉(zhuǎn)參數(shù) f010-4s-1b參數(shù) 由尺度分析可得：散度：水平氣壓梯度力：p, r, T的尺度分別記為：P, p, T*，由靜力平衡方程：， 利用狀態(tài)方程：所以：RT*gH105m2S-2，H為標(biāo)高所以密度改變量： 同時(shí)渦度： 渦度比散度：所以，對(duì)大尺度運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)而言，相對(duì)渦度比散度大一個(gè)量級(jí)。又：，所以相對(duì)渦度比牽連渦度小一個(gè)量級(jí)。所以渦度方程中的散度項(xiàng)近似表示為：因此渦度方程：各項(xiàng)的量級(jí)分別為： 保留其中10-10s-2的量級(jí)，得到大尺度的近似渦度方程為：注意：近似渦度方程或者寫為：大尺度（天氣尺度

43、）水平運(yùn)動(dòng)中，空氣微團(tuán)的絕對(duì)渦度變化，完全由散度作用決定，所以水平無輻散運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)渦度是守恒的。在不計(jì)摩擦的影響，對(duì)正壓大氣而言，上式簡(jiǎn)化為討論上式表明，引起絕對(duì)渦度變化的原因有三：1. ：表示幅合輻散的作用；2. ：扭轉(zhuǎn)作用；3. 力管項(xiàng)將其寫成在鉛直方向的分量形式（注意：，所以有：），于是得到：鉛直方向的渦度方程及其物理意義：局地直角坐標(biāo)系下（z）無摩擦的大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組為(1)式對(duì)y求偏導(dǎo)，(2)式對(duì)x求偏導(dǎo)，然后將所得到的結(jié)果相減，注意（鉛直）方向的渦度為：，得到渦度方程：注意：由于f僅依賴與y，所以：，于是得到絕對(duì)渦度（z+f）方程的表達(dá)形式為：鉛直方向的渦度方程及其物理意義：(4

44、)式表明個(gè)別空氣微團(tuán)的絕對(duì)渦度隨時(shí)間的變化率有右端三項(xiàng)決定：這三項(xiàng)分別稱為：散度項(xiàng)，渦管扭曲項(xiàng)和力管項(xiàng)。其物理意義為：1. 散度項(xiàng)：表示幅合輻散的作用，由于在中高緯度天氣尺度運(yùn)動(dòng)中，z10-5/s，而f10-4/s，故一般情況下，(z+f)0，因此當(dāng)有水平幅合（散）時(shí)，絕對(duì)渦度(z+f)將增大（減小）。這是由渦管強(qiáng)度在無外力作用時(shí)守恒所決定的。2. 扭轉(zhuǎn)項(xiàng)：x和h分別為渦度矢量在x和y方向的分量，即為水平方向的渦度。表明當(dāng)有水平渦度時(shí)，若鉛直速度w水平分布不均，就會(huì)引起鉛直渦度z的變化。如果w隨x而增大，¶w/¶x>0，那么，將使渦度在x方向的分量x（繞x軸旋轉(zhuǎn)的分量

45、）轉(zhuǎn)向z軸而發(fā)生傾斜（如圖），如果原來的渦管為OB，將因?yàn)閣的分布而轉(zhuǎn)到OB¢。于是便出現(xiàn)了渦管的鉛直分量，原來的渦度的x分量x將減小，而渦度在z方向的分量z將增大，即¶z/¶t>0。同理，當(dāng)w隨y增大（¶w/¶y>0），則將使y方向的渦管轉(zhuǎn)向z軸線傾斜，若原來的y方向的渦度h>0，則將產(chǎn)生正的鉛直渦度分量。3. 力管項(xiàng)（）：，令是水平面上任意面元的法向矢量，也是局地直角坐標(biāo)系中z方向的單位矢量，因此：由環(huán)流定理：可見上式為力管項(xiàng)，利用stokes定理，則：s為閉合回路L包圍的面積，所以：可見，渦度方程中的力管項(xiàng)正好就是水平面

46、積上單位面積的力管數(shù)。代表了大氣的斜壓性對(duì)絕對(duì)渦度的貢獻(xiàn)。正壓大氣中，力管項(xiàng)為零。如果此時(shí)，水平風(fēng)速隨高度也不發(fā)生變化，在這種情況下，鉛直渦度方程變?yōu)檎龎簻u度方程，即：研究相對(duì)渦度局地變化時(shí)，鉛直渦度方程可以寫成以下形式：局地渦度的輸送項(xiàng)：相對(duì)渦度平流：相對(duì)渦度的鉛直輸送：牽連渦度平流：散度方程：局地直角坐標(biāo)系下（z）無摩擦的大氣運(yùn)動(dòng)基本方程組為(1)式對(duì)x求偏導(dǎo)，(2)式對(duì)y求偏導(dǎo)，然后將所得到的結(jié)果相加，得到垂直散度（）方程（p坐標(biāo)系類似）：若令：垂直散度方程為類似p坐標(biāo)系下的（垂直）散度方程為：散度方程(3c)右端各項(xiàng)分別為：散度的平流項(xiàng)；散度的鉛直輸送項(xiàng)；水平風(fēng)速的鉛直切變項(xiàng)；散度平方

47、項(xiàng)；變形項(xiàng)；等壓面的坡度改變項(xiàng)；最后兩項(xiàng)為旋轉(zhuǎn)效應(yīng)項(xiàng)。散度方程的零級(jí)近似為：(4)式是地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系的方程，為地轉(zhuǎn)風(fēng)渦度方程。散度方程的一級(jí)近似為：(5)式也稱為平衡方程，平衡方程是準(zhǔn)定常，無輻散(d=0)，準(zhǔn)水平(w=0)，忽略非線性變化項(xiàng)，得到線性平衡方程：第七章 大氣行星邊界層大氣中熱量和水汽的源主要集中在下墊面，下墊面首先影響與之直接接觸的大氣行星邊界層，通過湍流擴(kuò)散（混合）作用，使熱量和水汽向上擴(kuò)展，進(jìn)而影響其上的自由大氣層。雖然大氣動(dòng)量主要集中在自由大氣層，但動(dòng)量卻大多是在行星邊界層被消耗掉，因此，大氣行星邊界層是整個(gè)大氣的主要熱量和水汽的源，是動(dòng)量的匯。因存在摩擦力，邊界層的風(fēng)往往

48、和等壓面相交而向低壓方向吹，從而使邊界層內(nèi)低壓和高壓系統(tǒng)分別伴隨水平的幅合和輻散；特別是當(dāng)邊界層是潮濕時(shí)，它對(duì)低壓系統(tǒng)產(chǎn)生的水平幅合極為重要，進(jìn)而降水與之有密切聯(lián)系。故行星邊界層對(duì)自由大氣的熱力和動(dòng)力強(qiáng)迫和耗散作用也是大氣中天氣系統(tǒng)發(fā)生、發(fā)展、演變和消亡的重要因素。所以，研究大氣行星邊界層中的大氣運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，是大氣動(dòng)力學(xué)研究重要的內(nèi)容之一。主要內(nèi)容：§1 大氣邊界層及其特征§2 邊界層中風(fēng)隨高度的變化規(guī)律§3 二級(jí)環(huán)流、埃克曼（Ekman）抽吸和旋轉(zhuǎn)減弱§4 Ekman 數(shù)和Richardson數(shù)重點(diǎn)：邊界層中風(fēng)隨高度的變化規(guī)律，Ekman抽吸和旋轉(zhuǎn)減弱

49、。§1 大氣邊界層及其特征1 大氣的動(dòng)力分層1.1 大氣邊界層的定義：與地表直接接觸，厚度約為11.5km、具有湍流特性的大氣層(PBL，Planetary Boundary Layer)。各層常見的、不同的名稱：大氣邊界層：行星邊界層，邊界層，摩擦層貼地層：表面層近地層：接地層，地面邊界層，常通量層，SL (Surface Layer)埃克曼（Ekman）層：上部邊界層，上部摩擦層2 貼地層的主要特點(diǎn)：分子粘性力起主要作用；主要運(yùn)動(dòng)形式：分子擴(kuò)散。3 近地層的主要特點(diǎn)：1) 湍流摩擦力和氣壓梯度力起主要作用，科氏力可省略。2) 風(fēng)向幾乎不隨高度變化，但風(fēng)速隨之增加。3) 物理量通量

50、的垂直輸送幾乎不隨高度改變（常值通量層）。4) 物理量垂直梯度>>物理量的水平梯度，5) 湍流運(yùn)動(dòng)明顯，地氣相互作用強(qiáng)烈，調(diào)整較快，呈準(zhǔn)定常。4 Ekman 層的主要特點(diǎn)：1) 湍流摩擦力，氣壓梯度力和科氏力同等重要。2) 物理量垂直梯度>>水平梯度。3) 下墊面對(duì)自由大氣的影響通過該層向上輸送。4) 風(fēng)向、風(fēng)速隨高度的變化呈Ekman 螺線規(guī)律。5 自由大氣層的主要特點(diǎn)1) 湍流摩擦力可忽略，水平氣壓梯度力和科氏力起主要作用。2) 受行星邊界層頂垂直運(yùn)動(dòng)的影響，其下邊界條件即為大氣邊界層的上邊界條件。§2 邊界層中風(fēng)隨高度的變化規(guī)律1 近地層中風(fēng)隨高度的變化

51、規(guī)律常通量層中，物理量的垂直輸送不隨高度變化。則湍流動(dòng)量輸送（雷諾應(yīng)力）Tz = Tz0 =常矢量 （1.1）其中z0稱為地面粗糙度，定義為風(fēng)速為零的高度，風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)確定其值為覆蓋下界面粗糙物平均高度的1/30。大氣湍流運(yùn)動(dòng)方程組任意物理量：數(shù)學(xué)期望 ：運(yùn)算規(guī)則混合長(zhǎng)理論：混合長(zhǎng)示意圖行星邊界層中風(fēng)隨高度的分布：略去加速度項(xiàng)以及密度隨高度不變注意上式已略去平均符號(hào)。近地面層（常值通量層）風(fēng)隨高度的分布在該層（約為幾十米）平均風(fēng)隨高度變化，但風(fēng)向不變化，因此可以把平均風(fēng)方向取為x軸的方向?，F(xiàn)在考慮湍流粘性應(yīng)力Tzx常數(shù)的情形。對(duì)于風(fēng)隨高度變化，式中u*具有速度因次，稱為摩擦速度。為摩擦速度方程。在

52、近地面層上混合長(zhǎng)l不能看成常數(shù)，它與下墊面動(dòng)力因素及大氣層結(jié)有關(guān)。越靠近下墊面，湍流越受到限制，層結(jié)越穩(wěn)定，相應(yīng)的混合長(zhǎng)l也就越短。在中性層結(jié)下（熱力因子不起作用），可以認(rèn)為湍渦的鉛直尺度是由離地面高度決定的，因此可以假設(shè)混合長(zhǎng)是z的線性函數(shù)?？稍O(shè)：l=kz，其中k稱為卡曼常數(shù)，由檢驗(yàn)確定，k0.4。，積分得到：，邊界條件：z=z0，u=0，確定積分常數(shù)：，于是有：。可見，在中性層結(jié)下，近地面層風(fēng)隨高度的分布為自然對(duì)數(shù)率關(guān)系。z=z0稱為粗糙度，由于下墊面的物理性質(zhì)決定。草地上z0約為14cm，海洋上z0約為0.05cm。類似的，近地面層中的熱量和水汽通量也幾乎不隨高度改變。CD稱為拖曳系數(shù)，

53、它與卡曼常數(shù)和粗糙度有關(guān)。在非中性層結(jié)下，湍流既受到動(dòng)力因素也受到熱力因素的影響。在不穩(wěn)定層結(jié)下的混合長(zhǎng)要比穩(wěn)定層結(jié)下混合長(zhǎng)大！依照拉依赫特曼給出的混合長(zhǎng)與高度的關(guān)系：式中，e表示層結(jié)參數(shù)，-1<e<0對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定層結(jié)；0<e<1對(duì)應(yīng)穩(wěn)定層結(jié)；e=0為中性層結(jié)。而A(e)與層結(jié)和粗糙度有關(guān)。這就是近地面層上風(fēng)隨高度分布的冪指數(shù)定律。近地面層風(fēng)隨高度的分布示意圖1穩(wěn)定層結(jié)；2中性層結(jié)；3不穩(wěn)定層結(jié)近地面層上風(fēng)隨高度分布的冪指數(shù)定律。若對(duì)于任一給定高度z1上的u1風(fēng)速為已知，則有：兩式相比，消去u*和A，則得到：在中性層結(jié)下e=0，冪指數(shù)分布規(guī)律化為自然對(duì)數(shù)分布規(guī)律：Ekma

54、n層中風(fēng)隨高度的變化規(guī)律Ekman螺線解由前可知，Ekman 層中大氣運(yùn)動(dòng)滿足“Ekman平衡”，再假定：運(yùn)動(dòng)定常、平流慣性力（非線性項(xiàng)）相對(duì)于科氏力可忽略、水平氣壓梯度力不隨高度改變，則有Ekman 層（大氣運(yùn)動(dòng)）方程組：為求解上式，還需要給出上、下邊界條件：把上式第(2)乘以，再與(1)相加，便得到復(fù)速度的二階線性齊次微分方程：(3)式通解為：A，B為常數(shù)，由邊界條件確定，代入邊界條件，并利用，所以，得到：，因而：式中，并應(yīng)用歐拉公式將實(shí)部和虛部分開，則有：上式為更為一般情況下的埃克曼螺旋解！?？寺菥€的性質(zhì)：求出復(fù)速度的模|Wú和輻角（風(fēng)與等壓線之間的夾角q）取j=45°N，湍流系數(shù)K=5m2/s，地轉(zhuǎn)風(fēng)ug10m/s，又上式計(jì)算出?？寺鼘痈鞲叨壬巷L(fēng)速分量u, v風(fēng)速值大小以及風(fēng)與等壓線之間的夾角q（見表）：埃克曼層中風(fēng)向、風(fēng)速隨高度的變化1、 風(fēng)向隨高度的變化2、 梯度風(fēng)高度3、 地轉(zhuǎn)風(fēng)4、 k與j的關(guān)系5、 ?？寺鼧?biāo)高6、 風(fēng)速大小隨高度的變化7、 湍流粘性應(yīng)力隨高度的變化上式中，不同的gp給出不同高度的u和v，當(dāng)z=p/g時(shí)，風(fēng)與地轉(zhuǎn)風(fēng)平行，但比地轉(zhuǎn)風(fēng)稍大。通常這一高度視為行星邊界層的頂部，也稱為?？寺穸龋骸０？寺鼧?biāo)高：hE=1/gDe/p。?？寺鼘拥慕獾娘@著特點(diǎn)為：邊界層內(nèi)的風(fēng)有