函數(shù)與數(shù)列的極限的強化練習題答案含詳細分析

1、第一講：函數(shù)與數(shù)列的極限的強化練習題答案一、單項選擇題1下面函數(shù)與為同一函數(shù)的是（ ） 解：，且定義域， 選D2已知是的反函數(shù)，則的反函數(shù)是（ ） 解:令反解出：互換，位置得反函數(shù)，選A3設(shè)在有定義，則下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（ ）解：的定義域且選C4下列函數(shù)在內(nèi)無界的是（ ） 解: 排除法：A 有界，B有界，C 故選D5數(shù)列有界是存在的（ ）A 必要條件 B 充分條件C 充分必要條件 D 無關(guān)條件解：收斂時，數(shù)列有界（即），反之不成立，（如有界，但不收斂， 選A6當時，與為等價無窮小，則= （ ） A B 1 C 2 D -2解：， 選C二、填空題（每小題4分，共24分）7設(shè)，則的定義域為 解：

2、 定義域為8設(shè)則 解：（1）令 （2）9函數(shù)的反函數(shù)是 解：（1），反解出：（2）互換位置，得反函數(shù)10 解：原式 11若則 解：左式= 故12= 解：當時， 原式= 三、計算題（每小題8分，共64分）13求函數(shù)的定義域解： 函數(shù)的定義域為14設(shè) 求解： 故15設(shè)，的反函數(shù)，求解: （1） 求 反解出：互換位置得 (2)16判別的奇偶性。解法（1）：的定義域，關(guān)于原點對稱為奇函數(shù)解法（2）： 故為奇函數(shù)17已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，求及解： 已知 即有得故 得故18設(shè)，求的值。解： 故19求解：（1）拆項，（2）原式=20設(shè)求解： 原式=四、綜合題（每小題10分，共20分）21設(shè)=，求=并討

3、論的奇偶性與有界性。解：（1）求（2）討論的奇偶性為奇函數(shù)（3）討論的有界性 有界 22從一塊半徑為R的圓鐵片上挖去一個扇形，把留下的中心角為的扇形做成一個漏斗（如圖），試將漏斗的容積V表示成中心角的函數(shù)。解：（1）列出函數(shù)關(guān)系式，設(shè)漏斗高為，底半徑為，依題意：漏斗容積V=故（2）函數(shù)的定義域 故五、證明題（每小題9分，共18分）23設(shè)為定義在的任意函數(shù)，證明可表示為一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和。證：(1) (2)令為偶函數(shù)(3)令為奇函數(shù)（4）綜上所述：偶函數(shù)+奇函數(shù)24 設(shè)滿足函數(shù)方程2+=，證明為奇函數(shù)。證：（1） 令 函數(shù)與自變量的記號無關(guān)（2）消去，求出 （3）的定義域又 為奇函數(shù)選做

4、題1已知，求解: 且由夾逼定理知，原式 2 若對于任意的，函數(shù)滿足：，證明為奇函數(shù)。解 (1)求：令 (2)令為奇函數(shù)第二講：函數(shù)的極限與洛必達法則的強化練習題答案一、單項選擇題（每小題4分，共24分）1 下列極限正確的（ ）A B 不存在C D 解： 選C注：2 下列極限正確的是（ ）A B C D 解： 選A注：3 若，則下列正確的是 （ ）A B C D 解： 選D4若，則 （ ）A3 B C2 D解：選B5設(shè)且存在，則= （ ）A-1 B0 C1 D2解：選C 6當時，是比高階無窮小，則 （ ）A B C為任意實數(shù) D 解：故選A二 、填空題（每小題4分，共24分）7 解：原式8 解：

5、原式9 解：原式10已知存在，則= 解：11 解：又 故 原式=112若且,則正整數(shù)= 解： 故三、計算題（每小題8分，共64分）13求解： 原式=原式14求解：原式15求解：令，當時，原式16求解：原式注:原式17求 解： 原式18設(shè)且存在，求的值。解：19解： 原式也可以用兩個重要極限中的一個，湊一個1出來（凡是可以用換底的都可以用重要極限來求）20求無窮大與0之間的轉(zhuǎn)換（筆記）解： 原式 四、證明題（共18分）21當時且,證明證：證畢（利用兩個重要極限）22當時，證明以下四個差函數(shù)的等價無窮小。（1）Tanx-sinx可以提取一個tanx，從而湊成Tanx*(1-cosx)，用等價無窮小

6、可以得出1-cosx1/2x2,從而整體等價于x3/2;(總結(jié)規(guī)律：注意tanx-sinx有公共因子tanx，從而充分利用等價無窮小的規(guī)律，在不定積分中也同樣可以用此方法化解式子)（2）（3） （4）證：當時，（0/0型，先用洛比達法則進行求導(dǎo)，然后利用tanx與secx之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換，再利用等價無窮?。┮?guī)律總結(jié)：見到tanx的想法：與sinx同冪組合，注意看是否可以提取公因式tanx;有平方項看是否可以轉(zhuǎn)化為secx（轉(zhuǎn)化的時候把轉(zhuǎn)化式子寫出來，要注意是加1還是減1.。）；注意利用萬能公式（看書復(fù)習萬能公式，歸納適用條件）（怎樣將一個word文要分兩邊顯示。怎樣就可以將這樣的文檔轉(zhuǎn)化為習慣的

7、樣子？問老哥） 當時，當時，當時，（規(guī)律總結(jié)：三角函數(shù)，反三角函數(shù)與X組合，0/0型的時候應(yīng)該先用洛比達法則求一次導(dǎo)，（求導(dǎo)的時候可以對分母先應(yīng)用等價無窮小，再求導(dǎo)），然后再應(yīng)用等價無窮小進行化簡，此外應(yīng)該特別注意，可以先應(yīng)用極限的四則運算，（四則不僅只有加減，還有乘除，應(yīng)格外熟悉）,將某些難化簡，但極限好求的先進行計算，（一般題目要求求的都是極限存在的，所以可以用此方法解題，若解出來發(fā)現(xiàn)極限不存在，這說明不能用四則運算，因而再想別的方法）五、綜合題（每小題10分，共20分）23求有根號，無從下手時想到用分母有理化，化成指數(shù)次冪除以指數(shù)次冪的形式。解： 原式24 已知，求常數(shù)的值。解：（1）原

8、極限存在且（2） 答選做題求解：原式令原式第三講：函數(shù)的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)、微分的概念的強化練習題答案一、單項選擇題（每小題4分，共24 分）1若為是連續(xù)函數(shù)，且，則( )A -1 B0 C1 D 不存在解： 原式，選B2 要使在點處連續(xù)，應(yīng)給補充定義的數(shù)值是( )A B C D 解： 選A3若，則下列正確的是 （ ）A B C D 解： 選B4設(shè)且在處可導(dǎo)，,則是的 ( )A 可去間斷點 B 跳躍間斷點C 無窮間斷點 D 連續(xù)點 解： ，故是的第一類可去間斷點。選A5在處 ()A 極限不存在 B極限存在但不連續(xù)C 連續(xù)但不可導(dǎo) D可導(dǎo)但不連續(xù)解：，且在連續(xù)，又不存在，在不可導(dǎo) 選C（判斷函數(shù)是否可

9、導(dǎo)，應(yīng)該用定義法去判斷。）6設(shè)在可導(dǎo)，則為 （ ）A B C D 解：（1）在連續(xù)，故（2），代入得，選C（兩個未知數(shù)找準兩個方程，第一人利用連續(xù)的性質(zhì)，第二個利用可導(dǎo)，求出特殊點的導(dǎo)數(shù)）二、 填空題（每小題4分，共24分）7設(shè)為連續(xù)奇函數(shù)，則= 解：（1）為奇函數(shù)， （2）又在連續(xù) 故規(guī)律總結(jié)：連續(xù)的奇函數(shù)在0點的函數(shù)值為0；可導(dǎo)的偶函數(shù)，0點的導(dǎo)函數(shù)為0；8若為可導(dǎo)的偶函數(shù)，則 解：（1）為偶函數(shù)，(2)可導(dǎo)， 故 即9設(shè)是曲線的一條切線，則 解： （1）（2）故10 若滿足：，且則= 解：（在不確定函數(shù)是否可以求的導(dǎo)的情況下一定要用定義求在某點的導(dǎo)數(shù)）11 設(shè)在連續(xù)，且=4，則 解： 原

10、式=12的間斷點個數(shù)為解： 令為間斷點，故有三個間斷點（間斷點就是函數(shù)沒有意義的點）三 、計算題（每小題8分，共64分）13 已知在上連續(xù)，求的值 解：在連續(xù) 且故14 討論在連續(xù)性解：（1）在處，且在處連續(xù)（2）在處，在不連續(xù)(判斷連續(xù)性即找準分段點，求極限)15 設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且若在連續(xù)，求常數(shù)A。解：且， 答16 設(shè)在可導(dǎo)，求的值。（看到可導(dǎo)的條件要求變量，一定是兩個方程，一個關(guān)于連續(xù)性，一個是關(guān)系某點的導(dǎo)數(shù)值（都是左導(dǎo)等于右導(dǎo)）找一個題目自己動手計算，看是否有問題?。┙猓海?）在連續(xù)， 故有（2）在可導(dǎo)，答17設(shè)在可導(dǎo)，求與 解：（1）在連續(xù)，且，故有（2）在可導(dǎo)答：18 討論在是

11、否可導(dǎo)，其中在連續(xù)。解：（1） （2）答： 當時，在連續(xù)，當時，在不連續(xù)19 求的間斷點，并指出間斷點類型 解：（1） 間斷點：（2） 在處：是的第一類間斷點。（3） 在處：為的第二類無窮間斷點。20 設(shè)指出的間斷點，并判斷間斷點的類型。解：（1）為間斷點，可能是間斷點。（2）在處：是的第二類無窮間斷點（3）在處：是的第一類跳躍間斷點四、 綜合題（每小題10分，共20分）21 求的間斷點，并判別間斷點的類型。解： （1）間斷點：（2）在處：是的第一類可去間斷點（3）在處：是的第一類可去間斷點（4）在處：是的第二類無窮間斷點22已知，在可導(dǎo)，求之值解：（1）在連續(xù)，故（2）在可導(dǎo)故有（3）在連續(xù)

12、，即（4）在可導(dǎo)：故有由（3）（4）解得答：五、證明題（每小題9分，共18分）23 證明在區(qū)間內(nèi)至少有兩個實根。證：（1）在連續(xù)，且由零點定理知，=0在上至少有一個實根。（2）在連續(xù),且由零點定理知，=0在上至少有一個實根（3）綜上所述，=0在上至少有兩個實根 24 設(shè)，證明（1）當時在連續(xù)，當時，在可導(dǎo) 解：（1）當時，在連續(xù)(2)當時，在可導(dǎo)總之，當時，在連續(xù)當時，在可導(dǎo)選做題設(shè)對于任意的，函數(shù)滿足且證明證：（1）令， ，即(2) 證畢第四講：導(dǎo)數(shù)與微分的計算方法的強化練習題答案一、單項選擇題（每小題4分，共24分）1設(shè)則( )A 1 B 3 C -1 D -3解：（1）(2) 選C2設(shè)

13、,則 （ ）A B C D 解： 令選B注：本題用導(dǎo)數(shù)定義計算更方便！3設(shè)，則= ( )A B C D 解： 選A4設(shè)由方程所確定，則曲線在點（0，1）的切線斜率= ( )A 2 B -2 C D - 解：選B5 設(shè)為可導(dǎo)偶函數(shù)，且，則 （ ） A 0 B 1 C -1 D 2 解：（1）（2）得（3） 選A6設(shè)在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,則 ( )A 1 B -1 C 2 D -2解：(2)原式選B二、填空題（每小題4分，共24分）7若，則 解：（1）(2) 8設(shè)，則= 解：(1)（2）9 直線與軸平行，且與曲線相切，則切點坐標是 解：故有切點坐標10由方程確定，則 解：當時，得，11設(shè)，則 解：12設(shè)，則 = 解：三、計算題（每小題8分，共64分）13 設(shè)，求。解： (1)（3）14設(shè)，求及。解：(1) 15方程確定，求解：(1)=0（2） 當時，（3） ，16設(shè) ，求 解：（1）(2)17 設(shè)，確定，求。解：（1）(2)18 設(shè)，求 解：（1）變形，（2） 19 設(shè)由方程所確定，其中F可導(dǎo)，且，求解：（1）（2）當時，（3） 20已知，求解：（1）四、證明題（本題8分）21證明拋物線任一點處的切線所截兩坐標軸的截距之和等于。證：（1）求切線方程：設(shè)切點坐