初中數(shù)學(xué)幾何專題《角平分線》精講

1、專題五：角不今裁<拿4角是常見(jiàn)的軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直段可以看作是對(duì)稱軸，當(dāng)幾何圖形中出現(xiàn)角平分線時(shí),我們常通過(guò)軸對(duì)稱變換來(lái)解決問(wèn)題.如圖5-1所示，已知點(diǎn)C是/力。4平分線0C上的一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)。作CO_LO/點(diǎn)D,CELO8丁點(diǎn)E, 可得OCD且OC£“單垂直” |如圖52所示，已知點(diǎn)C是乙408平分線0c卜.的一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)C作。CJ_OC,交于點(diǎn)D, 交OB于點(diǎn)E.可得OC。且0C£,F取口如圖53所東，12知點(diǎn)。是乙408平分線OC上的一點(diǎn)，點(diǎn)/）為04邊上一點(diǎn)，則在另一邊06 上截取OE=OQ,可得08 且OCE.<>如圖5乂所示，已知點(diǎn)C是

2、/408平分線0C上的一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)C作CDO8交04于點(diǎn)。，可 得0。是等腰三角形.如圖5-5所示，NGAB平分線4c上行一點(diǎn)、C,點(diǎn)。為4G上一點(diǎn)且=C3,求證：NDAB+ ZDCS= 180°.CO “雙垂直”如圖5-6所示，過(guò)點(diǎn)C作CELW于點(diǎn)£ CF1AB尸點(diǎn)尸V /C 平分/E/8才正經(jīng)幾何： 初中教學(xué)輔助線專練A/. CE=CF; CD=CB:ADCE 2BCF (HL)，4CDE=NABC/ ZJDC+ZCZ)£-=180°/. ZJDC+ZJSC=180°，ZDJ5+ZDC5= 180°& “截取”如圖57所示

3、，在川上截取/E=4Z) ：.ADC/AEC "ADCMAEC, CD=CE: CD=CB:.CE=CBAZ1=Z2N2+N/1EO180。，N1 + N/WC=18O。A ZD/1S+ZDC= 180°©0，“截取”如圖59所示，在等腰RtZ/BC中，AB=AC. BD平分/力BC交力C于點(diǎn)E, CD上BD 丁點(diǎn)D,求證: BE=2CD,©o “單普”如圖510所示，延氏8、屬1交于點(diǎn)尸，則“£>"出80C （相當(dāng)于將C0擴(kuò)大到原來(lái)的2倍）, 再證明力則 8E=b=2CD “作平勺”如圖511所示，過(guò)點(diǎn)£作反78。所

4、以BGE是等腰三角形，即GE=GB=EC,過(guò)點(diǎn)G作 GE1BF于點(diǎn) R 則因?yàn)镹GEF= NGBF= NECD,則AGEF絲EC。，所以 CD=EF=g BE.0 “作平”2如圖5-12所示，過(guò)點(diǎn)£作EF/AB交BC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)尸作FGLBE于點(diǎn)G,則N尸EC=90°, CW是等腰自用三角形，根據(jù)“弦圖構(gòu)造”（詳見(jiàn)專題四），得AGEF出ADCE,因?yàn)?BEF足等 腰三角形，所以BE=2GE=2CD.Rn圖5-”B圖 5-12如圖5.8所示，ij法2類似，不贅述.5-/如圖5/3所示，N8=/C=90。，DM平分/4DC, 4W平分NZM8,點(diǎn)M在3。上，探究線段6M與GW的

5、關(guān)系，說(shuō)明理由.如圖5-14所示，的兩個(gè)外角平分線和FDNE切,的角平分線上.圖 5-14如圖5-15所示，在48C中，點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，。以6C交N84c的平分線/£卜點(diǎn)£,EFLAB于點(diǎn)F, £（；上4c交4c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證：BF=CG.圖 5-15吏經(jīng)幾何EE9如圖5/6所示， AD+BD=BC.ESi如圖5-17所示，：初中教學(xué)輔助線專練A在N8C中,AB=AC, 4=100°, N4的平分線交力。于點(diǎn)O,求證: A圖 5-16力。為48。的中線，DE平分NBDA交AB于點(diǎn)E,。/平分N40。交AC點(diǎn)兒連接EE求證：BE-CF>EF.

6、的1如圖5-18所示，在/BC中，ZACB 009 D,交BC于點(diǎn)T,過(guò)點(diǎn)D作DE/AB交BC點(diǎn)EBDC圖 5-17。時(shí)，/也于點(diǎn)必，彳7平分N54C交CM于點(diǎn) ,求證：CT=BE.一圖 5-18初中教學(xué)輔助線專練事一如圖5.19所示，點(diǎn)小B分別是兩條平行線小用上任意兩點(diǎn)，在直線團(tuán)上有；二點(diǎn)C： BC=BA,連接AC,點(diǎn)E為4C上的一點(diǎn)，NBEF=Z1ABC,交直線于點(diǎn)產(chǎn)探究線段圖 5-19EB的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明.圖 5-20如圖5-20所示，在月6c中，/18=/C,點(diǎn)0是/C延長(zhǎng)線上點(diǎn)，連接6D，點(diǎn)后在線 詼會(huì)上，且N%C=NCEO,連接彳E，求N4E7?與N/4EC的關(guān)系.5-9如圖

7、5-21所示，在四邊形片88中，4B+BC=CD+D4, NX8C與NCD4的外角平分線交于點(diǎn)?，連接。戶求證：NAPB-NCPD.D經(jīng)幾何:5-10（初三專用）如圖522所示,已知拋物線交工軸于小B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)G點(diǎn)4 （3, 0）、B（-1，0）、C（0, 3）、£ （0, -1），點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)，連接CQ、BE,拋物線上是否存在一點(diǎn)忙 使尸。9與F8E的面枳相等，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案卷平行練習(xí)5-1法1 “單垂宜”如圖5»23所示，過(guò)點(diǎn)M作MEL4O,交AD于點(diǎn)E. 29。.以平分/。（71MC=ME分 N2X4B：MB=ME：M

8、B=MC法2 "B圖 5-23A/平行練習(xí)5-3如困526所示，連接£6、EC.平分力C, EF工AB于點(diǎn)、F, EG,4C于點(diǎn)G :EF=EG:DE上EC,氐D為BC的中員:EB=EC：,4EFB2EGC （HL）:.BF=CG如圖524所示，延長(zhǎng)。M交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E: Zz45C+ZC=l8(FS.AB/CDDM平分/DC. 4U平分/D48，N/IQM+/MW=9(r/. NQM=90o14AMDWAAME (ASA):MD=ME/. OCM空 AEBM( AAS ):MB=MC平行練習(xí)5-2“作垂直”如圖525所示，過(guò)點(diǎn)。作OGJ_8£ DMLEF. DH

9、LBF,垂足分別為點(diǎn)G、M、" : ED平分乙GEM :,DG=DM,: FD 4分 4A4FH:,DM=DH:DG=DH點(diǎn)D在/沾尸的箔平分線上0 5-25平行練習(xí)5-4法1 “截京”如圖527所示，在8C上截取8尸=84 的延長(zhǎng)線上截取。連接CE.；BD平分/ABC:.AABD 經(jīng)FBD SAS：D/1=DF,ADB=NFDB:/4=100°, AB=AC：.ZJfiZ?=20°, ZJDZ?=60°/. NFDC=NCDE=6(f:EDC94FDC SAS) NE=NDFC80。V Z£CD=Z/fC5-40° 招/. NECB

10、=80。:.BE=BC連接。凡在BD0 5-27:AD+BD=BC法2 “雙巨直” + “收取x如圖528所示，過(guò)點(diǎn)。作QG一/也、DHLBC,垂足分 別為點(diǎn)。、.在。上截取H£=G4: BD 平分 NABC：.DG=DH,: HF=G4專題五：角平分線；-T：.4GADQ4HFD SAS)AZ/DF=ZGDJ = l(y,1 4BDF= NBDH+ NHZ)尸=70'+10°=80°，/BDF二 NBFD=8(f：.BD BF* zc=4(r FDC=Z.BFD/C=Aff=ZC:.FD=FC=AD9：BOBFFC ：.ADBDBC法3 "發(fā)7

11、 "“F圖 5- 28：.4 B=4DEC:CDE4THB (AAS):CE=TB：.CT=BE注2如圖533所示，在力。延長(zhǎng)線上截取/=如困529所示,在6c上截取8W=8", BN=BD： 3BD 沿 AMBD.ZDA/5=Z/f=100°, AD-DM：.NDMN= 80°4ABD=乙DBC 2G ：.ZBND=NBDN=*。 ."DMN N£WA/=8(T:DM DN ZC=40°:乙NDC ZO40": DN NC=AD:BC=BN+NC=BD+AD法4 "我如國(guó)5-30所示，在以延長(zhǎng)線二取點(diǎn)加

12、點(diǎn)、E, 使BH=BC', BE=BD 證明方法同"法3”B:ZATST NB=/H, TH=TB: DE" AB：.NB:/DEC：.ZDEONIIVZjW4P+ZJDA/-90°,/CAT+NCTD=90"/. NADM=ZCDT=NCTD：.CD-CTVAC77/ADC£:TH=CE:CE-TB：.CT EB圖 5-29平行練習(xí)5-5法1 ”截二x如圖531所示，在力£)上截取八-08,連接£、FH.平行練習(xí)5-7法1如用5-34所示，9.9 m/n 4BCA = 4CAG；BC=B4：.ZBCA = ZBAC

13、:.NBAC=ZCAG 過(guò)點(diǎn)E作“G_L于點(diǎn)G,闋 5-34EH工人R于裊./1。為/i力5。的中線；DH=DB=DC: DE平分 NBDA:ABDE9AHDE SAS) .MEW: DF 平分 NADC：4HDF.4CDF SAS ： :HC=CF : HE&HF>EF ：.BE+CF>EF平行練習(xí)5-6法1 “叉4直”如圖532所示，過(guò)點(diǎn)丁作"777平分/氏1C:TC=TH、4ATC=/ATH: CM AB：.CM/TH:.NCDT=NATH:NCDT=/ATC ：.CT=CD：.TH= CD: DE/AB±AB.交力A于點(diǎn)”:EG=EH, NEG4

14、+NEH/l = 180°：.ZGEHZGAH=W/. NBAF= NGEH丁 NBAF= NABC=NBEF，NGEHNFEH= 4BEF/FEH:乙 GEF=HEB：AGEFm4HEB (AAS)JEF-EB*法2如圖535所示，在直線上截取連接£圖 5-31: BC=BA:2BCA=/CAB: BC/AF：.ZBCA/.CAH:NCAH=NCAB:HAEARAE:NAHE=4ABE, EH=EB NBEF=NABC=/MF:4EBA = ZEFA，/EE4 = /EHA:EF=EH:EF=EB圖 5-35平行練習(xí)5-8注1 2分比如圖5-36所示，作/1M_L

15、3;>3千點(diǎn)M,AN上CE干裊Nj工噱幾何: 初中教學(xué)輔助線專練食國(guó) 5-36J /AEB=NAEC法2 4一角構(gòu)迨1如圖537所示，作"交EC延長(zhǎng)線于點(diǎn)廣圖 5-37© 5-38V zbac=zced9 zced+zhec-ooN"C+/BEC=80:，N/8E+/CE=18(T，N4BE+/8M=180"，NABM=/ACEWIB=ACZ4“侄力CN ； AAS)：AM=AN/ 4ABE=/ACF ：.AABE嶺dACF , S. ：.AE=AF. /Fh/BEA ，NF=N4EC ，NBEA=/AEC 法3邊一角構(gòu)造2 如圖5-38所示, 作

16、/小1尸=/CAE 交£8延長(zhǎng)線子點(diǎn)廣 / ZABF=ZACE,AB&AACE ASA) ：.AF AE, NF=N4EC ：.NF=NBEA "BEAQAEC:F （1+能，D、F. （13, 1） 過(guò)點(diǎn)作ALt軸交新物線于點(diǎn)A 點(diǎn)吊到。、"E所在直段的距離相等，即S»FQ產(chǎn) Sa： : HG = CG=2當(dāng)x=2時(shí)，平行練習(xí)5-9【思路分析】將/IBP和/勿沿對(duì)稱軸，即角平分 線翻折，再通過(guò)與可（?尸對(duì)稱得出結(jié)論.如圖5-39所示，在8延長(zhǎng)線上截取8好，切,在CD延 長(zhǎng)線上截取£>N=D4,連接尸、PN. MBPWAABP, MDP出ANDP （SAS;:PM=PA=PNWiBBC=CDDA：.CM=CN:.dMCP迫4NCP （SSS）:NMPCh/NPC設(shè) N/IPR=NA4PB=x,NNPD=/APD=y，NNPC=1 （2e+2j，）=x+yNCPD4NPC-乙NPL） x+y-y： x：.N