初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)經(jīng)典例題

1、初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)經(jīng)典例題圖1初中數(shù)學(xué)動點(diǎn)經(jīng)典例題解析函數(shù)揭示了運(yùn)動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。動點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想，由于某一個點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動變化，引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系。那么我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢？下面結(jié)合中考試題舉例分析。Part 1 應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式例1（2000年,上海）如圖1,在半徑為“圓心角為90,的扇形口AB的弧AB上,有一個動點(diǎn)匕FHlg 垂足為吐A0PH的重心為G.當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動時(shí)，線段GO、GP、GH中,有無長度保持不變的線段?如果有，請指出這樣的線 段,并求出相應(yīng)的

2、長度.設(shè)PH=七GP=y,求Y關(guān)干五的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域（即自變量，的取值范圍）.（3）如果APGH是等腰三角形，試求出線段FH的長.解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動時(shí),0P保持不變，于是線段GO. GF、GH也有長度保持不變的線段，這條線鞍是GH=±NH0/OP=233 2（2）在 Rt A POH 中， OH=產(chǎn)二產(chǎn)爐=36 二 / ,/.1 1 iMH = -OH = ± J36-X2 .2 2在 Rt2MPH 中，A 3/=GP=-MP=iv/36+7x7 （0C<6）.3 3也四耳是等腰三角形有三種可能情況；©GP于H時(shí)，1/36+3/=

3、，解得工=6.經(jīng)檢驗(yàn)，X二胸是原方程的根，且符合題意.3GPWH時(shí)，工、數(shù)；3工2 =2,3（得，=0.經(jīng)檢能，H=0是原方程的根，但不符合題意. 3®PH=GH 時(shí)，注=2,綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為<6或2,Part 2應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式例2 （2006年山東）如圖2.在 ABC也AB=AC=L點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動.設(shè)即=雪比=¥.（1）如果/BAC=30, ./D陋=105"試確定 與尤之間的函數(shù)解析式；（2）如果/EAC的度數(shù)為厘，/DAE的度數(shù)為。，當(dāng)b ,產(chǎn)滿足怎樣的關(guān)系式時(shí)，（1）中了與王之間的困 救解析式還

4、成立?試說明理由.解：（1）在ABC 也：AB=螞 ZBAC=30' f，/ABC=/ACB=75" , ，/ABD=NaCE=1O5".丁/EAC=30° ,/DAE= 105” ,，/DAB+/CAE二75* ,又NdAB+N&B=/AB5750 ,' ZCAE=ZADB,/. AADESAEA&，竺=空CE AC由于D輪+乙ME=夕_a，又/D嶇+NME=/AEC= 90日上，且函翰關(guān)系式成立，整理得/? ?=90叫當(dāng)尸-生=90°時(shí),函數(shù)解折式y(tǒng) =成三.2天例2 （2005年 上海）如圖？仕工在乙舶二中，ZABC

5、=50fl ,AE=4, BC=3. 點(diǎn)。是迪M上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心作半劇與邊空相切于點(diǎn)D, 交線段3于點(diǎn)E.作EP_LED,交射線陽干點(diǎn)巳交射線6于點(diǎn)F.Q）求證:aDES/XaEF.設(shè)。即工.掰=，求，關(guān)于兒的困數(shù)解析式,并寫出它的定 義域當(dāng)即=1時(shí),求線段AP的長解：連結(jié)血根據(jù)題意，得 0D1AE,，/gA=9（f ,N0DAh/DEP.又由 0D-g，得/0DE=/CED.,/ADE=/空P, ；, ZiADCS A3AEF.(2)/ ABC=90 , , AB=4, BC=3, 二 AC=5. 丁 / AEC= /陽口3 ,任C, = 1,3545飛438二 0D二一 x,M二

6、一工. ，AE=工hx = 一*555584'/AadecoAaeP,二 J_="./. y = -x 0<t<£ ).AP AEy 858S當(dāng)即=1時(shí),若EP交線段CB的延長線于點(diǎn)巴如圖3(1),則CF=4.:/ME二/犯P, .'.PEE=ZPEC. 1/FBP =/DEP=90" , ZFPE=ZDPE,Zf=Zpdes.-.Zf=Zfec,CF=CE.g55- 工二4,得兀=,可求得y = 2,即虹=之 58若EP交線殷CB于點(diǎn)F,如圖3(2),則CF=2.類似,可得CF二CE.S?1 5，5-)工=2,得工=上.58可求得y

7、= 6,即AP=6.綜上所述，當(dāng)BF=1時(shí)，線段AP的長為2或日 動點(diǎn)Part 3應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式例生(20。4年,上海如圖，在ABC中，2BAC=q(T .煙=AC=?0 A的半程為L若點(diǎn)。在BC邊，運(yùn)動(與點(diǎn)呂、C不事洽工設(shè)BL# , ADC的面積為V .(1)求y關(guān)于#的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.以點(diǎn)。為圓心,B0長/半徑作圓d求當(dāng)0。與OA相切時(shí), Aaoc的面積.策：過點(diǎn)A作AH1BC,垂足為H.ZBAC90" , AB=AC = 22 , .<BC=4, AH=-BC=2.OC=4- .2= OC - AH fy x +4 (0 < x

8、 < 4 ),2(力當(dāng)總。與0A外切時(shí)，在 RtAAOH 中，0A=x+l, QH=2 工，(+1)2 = 22 +(2-)2 + 解得工=-.6717此時(shí)，Aacc的面積了=4_.6 6當(dāng)回口與Ga內(nèi)切時(shí)，在 Rt2AOH 中，OA=x-l, 0H = -2,/. (x-1)2 =22 -f 仃一2" . 解得 x=-.27 1此時(shí)，A ACC的面積了 -4-=.8 2綜上所述，當(dāng)O。與。A相切時(shí),AOC的面積為U 或巳.62專題二函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形例題如圖1,已知拋物線的頂點(diǎn)為A (31) ,且經(jīng)過原點(diǎn)。.與x軸的另一個交點(diǎn)為國y = -x2 + x求拋物線的解析

9、式,(用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為4)若點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以0、C% D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)連接OA、AB,如圖2,在X軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo).若不存在,說明理由。分析1當(dāng)給出四邊形的兩個頂點(diǎn)時(shí)應(yīng)以商小頂點(diǎn)的?線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以。、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類討論:按0B為邊和對角線兩種情況函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑：求相似三角形的第三個頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角 形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中

10、已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論?；蚶靡阎切沃袑?yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知 識來推導(dǎo)邊的大小。若兩個三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長 度，之后利用相似來列方程求解。專題三中考動點(diǎn)題目練習(xí)動點(diǎn)試題是近幾年中考命題的熱點(diǎn)，與一次函數(shù)、二次函數(shù)等知識綜合，構(gòu)成中考試題的壓軸題動 點(diǎn)誠題大致分為點(diǎn)動、線動、圖形動三種類型動點(diǎn)試題要以靜代動的解題思想解題下面就中考動點(diǎn)弒題 進(jìn)行分析一例1 （2006年福建晉州）如圖，在平行四邊形ABCD牛，AD-4cm： ZA=60° , BD_L&l 一動點(diǎn)F從A 出

11、發(fā).以每秒16的速度沿A-E-C的路線勻速運(yùn)動,過點(diǎn)P作直線FM,使FM，AD.1 .當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動2秒時(shí)，段直線PM與AD相交于點(diǎn)E,求APE的面和;2 .當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動2秒時(shí)，另一幼點(diǎn)。也從A出發(fā)沿 LE的路線運(yùn)動，且 在AB上以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動，（當(dāng)P、Q巾的某一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，則兩 點(diǎn)都停止運(yùn)動.）過Q作直線哪，使QN"PM,設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時(shí)間為t秒 （0<t<8），直線FM與皿酸平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S （J）.（1）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式1 （2）求S的最大值.1 .分析，此題為點(diǎn)動題，因此，1）搞清動點(diǎn)所走的路線及速度，這樣就能求出相應(yīng)線段的長；2）分

12、 析在運(yùn)動中點(diǎn)的幾種特殊位置.由題意知，點(diǎn)P為動點(diǎn)，所走的路線為:A+EfC速度為lcn/so而t=2s,故可求出AP的值.進(jìn)而 求出Aape的面積.r-=-AEEP= 略解：由 AP=2 ， /A=60° 得翹=1, EP=43 .因此 22 .2 .分析兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動，點(diǎn)P在前，點(diǎn)Q在后，速度相等，因此兩點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn)A的距離相差總是25.P 在AB邊上運(yùn)動后，又到BC邊上運(yùn)動，因此PM、QN截平行四邊形ABCD所得圖形不同,故分兩種情況工（1）當(dāng)P都在AB上運(yùn)動時(shí),PH、朗截平行四邊形杷CD所得的圖形永遠(yuǎn)為直角梯形.此時(shí)04t4&當(dāng)P在EC上運(yùn)動，而Q在AB邊上運(yùn)動時(shí)，畫出相

13、應(yīng)圖形，所成圖形為六邊形DFQBPG.不規(guī)則圖形 面積用割補(bǔ)法.此時(shí)6Vt(。£七與6)<8)略解.當(dāng)P，Q同時(shí)在AB邊上運(yùn)動時(shí)，0<t<6,11點(diǎn)L皂典 . FG= 5 2 t+£ 點(diǎn)(t+2) - I- 3 t+ .AQ=tf AP=t+2, AF = 2 tf Q?= ? t,陽二？ (t+2),由三角因數(shù) PG= 2 (t+2),L L LFG=AG-即=5 (V2)- t-1. S =1 - (QF+PG)當(dāng)6<t<8時(shí),£ 電易求 2千療四通期幽。二16由%年嶇. QF= 8 t3.iPC PG CG 10 - f _ P

14、G _ CG而見頌:7pC FG, PK4-BFM-(t+2-8) = 10-t,由比例式 8c BD Cl/可得 44忑*J_ £追,收=石(10-t). /.Sa«i=2pc - PG=1 (10-t) .有(10-t)= 2 (10-鏟.走亙?nèi)c(diǎn)&-當(dāng)36有，=5=16 4- 8 tJ- 2 (10-鏟=s(6<t<8(2)分析:求面積的最大值時(shí),應(yīng)用函數(shù)的增減性求,若題中分多種情況，那么每一種情況都要分別求出 最大值，然后綜合起來得出一個結(jié)愴.此題分兩種情況,那么就分別求出和6<t<8時(shí)的最大值. 0<t<6時(shí),是一次函數(shù)

15、，應(yīng)用一次曲數(shù)的性質(zhì),由于一次項(xiàng)系數(shù)是正數(shù),面積S隨t的增大而增大.當(dāng)6< t<8時(shí),是二次函數(shù),應(yīng)用配方法或公式法求最值，練習(xí)1 （2006年南安市）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中,矩形AECD的邊陽在工軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)， AB = 3, AD = 5.若矩形以每秒2個單位長度沿笈軸正方向作勻速運(yùn)動.同時(shí)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個 單位長度沿A-E-C-D的路線作勻速運(yùn)動.當(dāng)F點(diǎn)運(yùn)動到口點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動，矩形ABCD也隨之停止運(yùn)動.求P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)所需的時(shí)間；設(shè)F點(diǎn)運(yùn)動時(shí)間為t （秒）.當(dāng)t = 5時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若10期的面積為小試求出與與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量t

16、的取值范圍），解：P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)所需的時(shí)間=（3+5+3） -1 = 11 （秒）, 當(dāng)t=5時(shí)，P點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動到BC上，此時(shí) W1O,AB+BP=5,，BPN過點(diǎn)P作PB1?D于點(diǎn)E,則PE=AB=3S妃"即=2.CE=QA+AE= 10+2=12. /.P112, 3）.分三種情譏；J.當(dāng)（Kt43時(shí)，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動，此時(shí)0A=2工AP<廠.言=2 X2txt=占1-'.DP=UB+BC+CD）-（ AB+BC+CP）=U- t,由=2 X2t乂 （11- t）=- tll t,綜上所述，5與七之間的函數(shù)關(guān)系式是:當(dāng)（Kt<3時(shí)，s= t3；當(dāng)3<t<8時(shí)，s