初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1、中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分.）（甲）.如果實數(shù)a, b, c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式，7-1“ + 1+而二芯+l + cl可以化簡為（A） 2c-a).(B) 2a-2b(C) 一(D) a（乙）.如果"=-2 +五，那么1 + 一 J 的值為2 +3 +。).(A)(B) V2(C) 2(D) 2立b（甲）.如果正比例函數(shù)y = or 壬0）與反比例函數(shù)=一 x（#0 ）的圖象有兩個交點，其中一個交點的坐標(biāo)為（-3, -2）,那么另一個交點的坐標(biāo)為（).(A) (2, 3)(B) (3, -2)(C)

2、 (一2, 3)(D) (3, 2)2（乙）.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足不等式9+.vV2x+2y的整數(shù)點坐標(biāo)（x, y）的個數(shù)為（）.(A) 10(B) 9(C) 7(D) 5（甲）.如果4, b為給定的實數(shù),且m,那么L4 + 1,+ 1這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是（）.(A) 1(D)- 4（乙）.如圖，四邊形A8CO中，AC, 8。是對角線,ABC 是等邊三角形.ZADC = 30° , AO = 3, BD = 5,則CD的長為（).(A) 35/2(B) 4(C) 2、底(D)（甲）.小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣.小倩對小玲說：“你若給我2元

3、，我的錢數(shù)將是你的倍”；小玲對小倩說:“你若給我元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中為正整數(shù),則的可能值的個數(shù)是（）.(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44（乙）.如果關(guān)于；v的方程Y 一 工一4 = 0 （，g是正整數(shù)）的正根小于3,那么這樣的方程的個數(shù)是（）.（A） 5（B） 6（C） 7（D） 85 （甲）.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個而上的數(shù)字分別是1, 2, 3, 4, 5, 6,擲兩次骰子，設(shè)其朝上的而上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0, 1, 2, 3的概率為/%, P1，小，則0，2，P3中最大的是（）.(A) Po(B) P5 (乙).黑板上寫有1, 1,-2 3(C)

4、p2(D) 3，共100個數(shù)字.每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù) 100a b,然后刪去。b,并在黑板上寫上數(shù)+/?+",則經(jīng)過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（）.(A) 2012(B) 101(C) 100(D) 99二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分）單人目-叵HHHZ畫盤困6 （甲）.按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行 從“輸入一個值X”到“結(jié)果是否>487”為一次操 作.如果操作進(jìn)行四次才停止，那么X的取值范圍是.6(乙).如果“，c是正數(shù)，且滿足 + Z? + C = 9,11110 w . a b c Md+=，那么+的值 a + h b + c c +

5、 a 9 b + c c + a a + b為.7(甲).如圖，正方形ABC。的邊長為2 A ,E, F分別是A8, 8c的中點，AF與OE, DB分別交于點M，M則DWN的而積是.（乙）.如圖所示，點A在半徑為20的圓O上，以O(shè)A為一條 作矩形OBAC,設(shè)直線BC交圓O于D、E兩點，若。=12, 段CE、BD的長度差是,39（甲）,如果關(guān)于x的方程F+云十二公一3女十一 二 0的兩個實數(shù)42.2011為X 占，那么二丁的值為.1-2U128 （乙）.設(shè)為整數(shù)，且l<n<2012.若（/一+ 3）（/+ + 3）能被5整除,則所有的個數(shù)為.9 （甲）.2位八年級同學(xué)和機(jī)位九年級同學(xué)

6、一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此 恰好比賽一場.記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分，負(fù)者得。分；平局各得1分.比賽結(jié)束后， 所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則?的值為.9（乙）.如果正數(shù)x, y, z可以是一個三角形的三邊長，那么稱（x, y, z）是三角形數(shù).若（。b, c）和均為三角形數(shù)，且值二c,則色的取值范圍是.a b cc10 （甲）如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0, AB是直徑，AD = DC.分別延長8A, CD, 交點為E 作8FJ_EC,并與EC的延長線 交于點F.若AE = AO, BC = 6,則CE的 長為.10（乙）.已知是偶數(shù)

7、，且1口口00.若有唯一的正整數(shù)對（4,。）使得/=+成立，則這樣的的個數(shù)為.三、解答題（共4題，每題15分，共60分）11 （甲）,已知二次函數(shù)丁 =廠+（? + 3） x + ? + 2,當(dāng)一1CXV3時，恒有y<0；關(guān)于x的方程9V+（? + 3） x + m + 2 = 0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于一一.求出的取值范圍.1011 （乙）.如圖所示，在直角坐標(biāo)系 xOy中，點A在y軸負(fù)半軸上，點 B、C分別在x軸正、負(fù)半軸上，4 AO = 8, A8 = AC,sin ZABC =二。點D在線段AB上，連結(jié)CD交 y軸于點E,且S'COE = S*DE。試 求圖像經(jīng)過B、C、

8、E三點的二次 函數(shù)的解析式。12 （甲）.如圖，。0的直徑為A8,過點0,且與。內(nèi)切于點8.C為。上的點，。與交于點。，且OD>CD.點石在。上，且= 8E的延長線與交于點F,求證：4BOCs4DOF .12 （乙）.如圖，。0的內(nèi)接四邊形A8CO中，AC, 8。是它的對角線，AC的中點/是A3。的內(nèi) 心.求證:（1）0/是/8。的外接圓的切線；（2） AB+AD = 2BD.13 （甲）.已知整數(shù)”，滿足：”一6是素數(shù)，且"是完全平 方數(shù).當(dāng)之2012時，求”的最小值.13（乙）.給定一個正整數(shù)，凸邊形中最多有多少個內(nèi)角等于150。并說明理由.滿足凡占 < 與012，

9、且14 （甲）,求所有正整數(shù)，使得存在正整數(shù)122012F F += n .X X2X2O1214（乙）.將2, 3,，（乂）任意分成兩組，如果總可以在其中一組中找到數(shù)a b, c （可 以相同），使得a"=c,求的最小值.參考解答一、選擇題1（甲）.C解：由實數(shù)a，b, c在數(shù)軸上的位置可知b<a<0<c,且»|>c,所以a + b +yj（ca）2 + b + c= -a + （«4-b） + （c a） （b + c） = a .1 （乙）.B解：+ 二一二1 +二一 =1 + =1 + -J = l + y/2-l = y/2 .2

10、 + -L-2 +2 +應(yīng)-1應(yīng)+ 13 + 6/1 + V22 （甲）.D解：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個交點關(guān)于原點對稱，因此另一 個交點的坐標(biāo)為（3, 2）.3 （乙）.B解：由題設(shè)/+產(chǎn)必+2），得Q<（x -+ （y - 1尸<2.因為X, y均為整數(shù)，所以有解得以上共計9對（x, y）.解：由題設(shè)知，所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為中位數(shù)為于是1 + （。+ 1） + （。+ +1） + （2。+%） 3 + 4。+ 2844（。+ 1） + （。+ 1） 4+ 4。+ 27?=,244 + 4n + 2/?_3 + 4a + 2A_l4-4= 44解：

11、如圖，以CD為邊作等邊ACDE,連接AE由于AC=5C, CD = CE,ZBCD=ZBCA+ZACD=ZDCE+ZACD =NACE,所以 ABCD 且 AACE, BD = AE.又因為 NADC = 30°,所以 NAQE = 90。.在 RtAO石中，AE = 5, 40 = 3,于是DE=Ja6-心=4,所以CQ = OE = 4.4 （甲）.D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元,X，），均為非負(fù)整數(shù).由題設(shè)可得消去x得（2y7加=y+4,_（2），- 7） + 15 15 2y-7.2y-7因為上一為正整數(shù)，所以2y7的值分別為1, 3, 5, 15,所以）

12、的值只能為4, 5, 6, 11.從 2y - 7而的值分別為8, 3, 2, 1： x的值分別為14, 7, 6, 7.4 （乙）.C解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知，兩根的乘積為-,0,故方程的根為一正一負(fù).由二次 函數(shù)），=/一工一9的圖象知，當(dāng)x = 3時，0,所以3?-3 90,即3 + qv9.由于2q 都是正整數(shù),所以 = 1,10/4：或 =2 JWg2,此時都有A = p2+4q。,于是共有7組（p, q） 符合題意.5 （甲）.D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對共有36個，其和除以4的余數(shù)分別是0, 1, 2, 3的有序數(shù)對有9個，8個，9個，10個，所

13、以98910 m u0=寶，1=/，3=歹，因此3取大.303030305 （乙）.C解：因為“ +。+ 。+ 1 =（4 + 1）3+ 1）,所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加1后的乘積不變.設(shè)經(jīng)過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為X,則X+1 = (1 +1)(1 +1)(-+ 1).(23100+ 1)，解得x+l = 10L x = 100.二、填空題6 （甲）.7V爛 19解：前四次操作的結(jié)果分別為3%2, 3(3x2)2 = 9x8, 3(9x8)2 = 27x26, 3(27x26)2 = 8b80.由己知得27a-26<487,81x-80>487.解得 7<

14、a<19.容易驗證，當(dāng)7岸19時，3x-2<487 9x-8*87,故x的取值范圍是7<a<19.6 (乙).7解：在十!_ +_ = !£兩邊乘以。+。=9得 a+h b+c c+a 9-C a bca b 3 += 10 即+= 7a+ b b + c c + a a + b b + c c + a7 (甲).8解：連接QF,記正方形ABC。的邊長為2”.由題設(shè)易知BEVs4/mN,所以AD AN DN 2而一而一曲一 T'2 由此得4V = 2NF，所以AN = AF.3在 RtZkABF 中，因為 A3 = 2z, BF = a,所以AF =

15、>JAB2+BF2 =y/5a ,于是/i A8 2邪 cos ZBAF =-AF 5由題設(shè)可知AOEg/BAF,所以NAED = NAFB,ZAME = 1800 - ZBAF - ZAED = 180° - ZBAF - ZAFB = 90 .于是AM = AE cos NBAF = a，5MN = AN-AM / AF-AM =型“，315S" _MN _4Sfd AP 15又工誣=（勿）（勿）= 2",所以8 ，Q-15因為。=衣，所以又抽°=8.7 （乙）.空 5解：如圖，設(shè)。石的中點為M,連接OW,則。因為。8 =，2。2122 =16

16、,所以八"OBOC 16x12 48OM =,BC20CM =yl0C2-0M2 = , BM=. 5564CE-BD = (EM -CM)-(DM BM) = BM CM = 536 =28T-T28 （甲）.一一3解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有3QA=_4(_2-3 + -)>0,由此得伏- 3)V0.93又伏一3）2對，所以伏-B）&）,從而L3.此時方程為r+31+ =0,解得xi=X2=_ 42柏七仙1 _2 以一而T-丁一-與 x2 /38 （乙）.1610解：(7?2 -n + 3/r +/z + 3)=(n2 +3)-n2 =4 +5n2 +9因此51(1

17、+9),所以4 三 i(mod5),因此 = 5A±1,或5k ±2所以共有2012-102=1610個數(shù)解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝(負(fù))局?jǐn)?shù)為。，由題設(shè)知2 +勖= 130,由此得0W店43.又 + ="" + 2),所以2。+=(1 + 1)。 + 2)于是20</? = 130-(/n +1)(機(jī) + 2) <43,87<(m + l)(wi + 2)<130,由此得m=8,或? = 9.當(dāng)機(jī)=8時，。=40,。= 5：當(dāng)機(jī)=9時，8 = 20,。= 35, «> = ,不合題設(shè).22故/ = 8.a + b>

18、c()解：依題意得：1 1 1,所以Z?>c n,代入(2)得7 + - > (2)kb c aL<l + l<_L + lt兩邊乘以a得“ b c c 一。 c1<- + - 即二iv_ 化簡得2-3ac + c2 <0,兩邊除以得-3(-) + ! <0 c) Cuu 3 - y5 Cl所以<-<3 +、52另一方面：“WAWc,所以c另解：可令g =由(1)得>(1 一外c,代入(2)化簡得小一3攵+ 1V。，解得c三£<攵< 上正 另一方面：“WbWc,所以攵K1, 綜合得三22,210 (甲).372解

19、：如圖，連接AC BD, OD.由AB是。O的直徑知N8CA =/BDA = 90°.依題設(shè)N8FC = 90。，四邊形A8CQ是。O的內(nèi)接四邊形，所以/BCF=/BAD,RA 所以 RtABCFRtABAD ,因此一-=. CF AD因為。是。的半徑，AD = CD.所以0。垂直平分AC, 0D/BC,于是匹="=2.因此DC OBDE = 2CD = 2AD, CE = 3AD.P43由知DEEC = AEBE.因為AE =，BE =BA,22da 3所以 2Ao34。=一,二A4, BA=2y12AD ,故2 2rr AD Rr BC 3& BA 25/221

20、0 (乙).12解：依題意得 =，/ =(" + )(4一)由于是偶數(shù)，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍數(shù)，即 =4，當(dāng)1WW1OO時，4的倍數(shù)共有25個，但要滿足題中條件的唯一正整數(shù)對(。b),貝IJ：攵=或Z =其中p是素數(shù)，因此，k只能取下列12個數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,從而這樣的n有12個。三、解答題11 (甲).解：因為當(dāng)一1</<3時，恒有yvO,所以 = ("? + 3> 4(z + 2)>0,即(m+ 1)2 >0,所以?。一1.(3 分)當(dāng)上=一1時，y<0：當(dāng)x = 3時，y

21、<0,即(-1)2 +(m + 3)(-1) + m + 2<0 ,且32 +3。 + 3) + 機(jī) + 240,解得Y5.(8 分)設(shè)方程W+(?+3)x+(m + 2) = 0的兩個實數(shù)根分別為內(nèi)，公，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得X+& =一(6+3), xx2 =m+2 .因為_L+_L<2,所以匚2 = x, x2 10 xx2/ + 39m + 210解得-12,或? 一2.因此加一12.11 (乙)解：因為 sinNA8C = "» = 士，AO = 8, AB 5所以AB=10.由勾股定理，得BONaBJAO? =6.易知AABOg

22、AACO,因此 CO = BO = 6.于是4。，-8), 8(6,0), C(-6,0).設(shè)點。的坐標(biāo)為(?，).由 SfCOE = SDE，得 SCDB = S.所以 BC-n = AO- BO |xl2(-) = ；x8x6 .解得 = _4.因此。為A8的中點，點。的坐標(biāo)為（3,4）.因此CO, AO分別為A8, 8C的兩條中線，點E為ABC的重心，Q所以點E的坐標(biāo)為（0，-）.（也可由直線CD交y軸于點E來求得.）設(shè)經(jīng)過8, C, E三點的二次函數(shù)的解析式為y = a（x - 6）（x + 6）.2將點E的坐標(biāo)代入，解得“=二.277 Q故經(jīng)過B, C, E三點的二次函數(shù)的解析式為，

23、=行/一院12 （甲）.證明：連接BD,因為。8為OO的直徑，所以ZODB = 90° .又因為QC = QE,所以CBE是等腰三角形. （5 分）設(shè)與。1交于點連接OM,則NOM8 = 90。.又因為OC = O3,所以（10 分）又因為NBOC, NOO尸分別是等腰BOC,等腰OO尸的頂角，所以LBOCsADO'F .（15 分）ABOC = 2ADOM = 2ZDBC = 2/DBF = /DO、F .12 （乙）,證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角相等因為(a+b)2-4ab = (a-b)2,的性質(zhì)知：/CID = ZIAD+ZIDA，ZCDI =

24、 ZCDB + ABDI = ZBAC+Z1DA = Z/AD+Z/DA.所以NC/£）= NC。/ , CI = CD.同理，Cl = CB.故點C是/&）的外心.連接。4, 0C,因為/是月C的中點，且OA = OC,所以 O/_LAC,即 OI±CI .故01是小。外接圓的切線.（2）如圖，過點/作/E_LA。于點E,設(shè)0C與BD交于點F.由 8C = C£),知 0C_L3D.因為NCBF=NIAE, BC = CI = AL 所以 Ri4BCF 咨 RfLAIE .所以 8E = A£又因為/是AAB。的內(nèi)心，所以 AB + AD-BD

25、 = 2AE + BDBD = 2BF = BD.故 AB + AD = 28£>.也可由托勒密定理得：AB CD + AD BC = AC BD,再將AC = 23C = 2CD代入即得結(jié)論 AB+AD = 2BD°13 (甲).解：設(shè)，i = m (帆是素數(shù))，"=/ (是自然數(shù)).所以(2a- m)2-4rt2 = 5,(2a-m+2n)(2a-m - 2n) = nr.（5 分）（1）當(dāng)21時，因為2“一?+2,與“一?一2都是正整數(shù)，且2a?+2>2。一機(jī)一2（機(jī)為素 數(shù)），所以 2cim+2n = m29 2ani 2n= 1.解得于是b

26、= a-m =(10 分)又應(yīng)2012,即“” 十 “ 之2012.4（89 +1）2 又因為，是素數(shù)，解得吟89.此時，啟- =2025.4當(dāng)。= 2025時，加= 89,。= 1936, = 1980.此時，”的最小值為2025.（2）當(dāng) =0時，因為。之2012,所以b = 0,從而得的最小值為2017 （素數(shù)）。綜上所述，所求的”的最小值為2017。（15分）13 （乙）,解：設(shè)凸n邊形最多有k個內(nèi)角等于150。，則每個150°內(nèi)角的外角都等于30° ,而凸n邊形的n個外角和為360° ,所以上工圖 = 12,只有當(dāng) =12時,30k才有最大值12 （5分）下面我們討論 W12時的情況：（1）當(dāng)”>12時，顯然，k的值是11；（2）當(dāng) =3,4,5,6,7時，k 的值分別為 1, 2, 3, 4, 5；（3）當(dāng) =8,90,11時，k的值分別為7, 8, 9, 10 （10分）綜上所述，當(dāng)3工工7時，凸n邊形最多有一2個內(nèi)角等于150。；當(dāng)8工工11時，凸n邊 形最多有一1個內(nèi)角等于150° ：當(dāng) =12時，