坐標(biāo)法解空間幾何題常用模型

1、如何用坐標(biāo)法解空間幾何題專題（中保高中2017屆1，2班） 徐學(xué)松2017.5模型思考空間幾何中涉及的定義、定理和性質(zhì)比較多，在解決綜合問題時，運用多個定義、定理和性質(zhì)形成的綜合題時，遇到多種多樣的題型，每一種題型的解法又有多種.學(xué)習(xí)和記憶名目繁多的題型和解法直接影響了學(xué)習(xí)立體幾何的興趣和效率.有沒有一種比較統(tǒng)一的方法，能夠使得解題過程比較一致，變化不多的模型呢？使得學(xué)生解題流程固定，方法比較簡單，從而使學(xué)生解題思路流暢，正確率提高呢.坐標(biāo)法作為一種工具，在解決立體幾何問題中有著無比的優(yōu)越性運用坐標(biāo)法解題，可使幾何問題代數(shù)化，大大簡化思維程序，使解題思路直觀明了，模式固定，流程明了.模型例析例

2、1.（線線平行）已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求滿足DBAC，DCAB的點D的坐標(biāo)解模與識模:這道題是一道線與線平行的問題.可設(shè)點D坐標(biāo)為(x，y，z)，則= (x，1y，z)，= (1，0，2)，= (x，y，2z)，= (1，1，0)DBAC，DCAB，即，即此時點D的坐標(biāo)為(1，1，2)從這道題的推理過程可以看到在建立了坐標(biāo)系的情況下,得到各點的坐標(biāo)后,就能得到有關(guān)向量的坐標(biāo),根據(jù)向量的平行,利用公式建立方程組.這里的公式是若,且均不為零,.進而達到求解的目的.例2（線線垂直）在正方體ABCDABCD中，M是棱DD的中點，O為正方形ABCD的中心，求證：AM解

3、模與識模: 直線與直線的垂直可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量互相垂直.設(shè)直線a,b的方向向量分別是,ab.要想利用坐標(biāo)法解決這一問題首先要建立空間坐標(biāo)系.常見幾何體的建系方法： 1.找兩條互相垂直且相交的直線確定“水平面”（即xOy平面），一條為x軸，一條為y軸；2.找與“水平面”垂直的直線確定為z軸.通常做法：（1）直接找到與“水平面”垂直的直線為z軸；xyzO（3）xyzO（2）xyzO（1）（2）找與“水平面”垂直的平面，垂面內(nèi)與“水平面”交線的垂線即為z軸；（3）過兩垂線的交點直接作出“水平面”的垂線；Oxyz（4）（4）過兩垂線的交點構(gòu)造“水平面”的兩個兩個垂面，兩垂面的交線為z軸.xCCD

4、ABABDOMyz在建系的過程中，一般的借助正方體、側(cè)棱和底面垂直的棱錐、直棱柱等等.如圖建立右手直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1個單位，則A(1，0，0)，A(1，0，1)，M(0，0，)，O(，0)= (，1)，= (1，0，)，·=×(1)()×01×= 0，AM例3(線面垂直)如圖，已知四棱錐SABCD的底面ABCD是矩形，M、N分別是CD、SC的中點，SA底面ABCD，SA=AD=1，AB=求證：MN平面ABN解模與識模:第（I）問是證明直線與平面垂直問題,又直線與平面垂直的判定定理可知,只需要證明這條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直就可以了,轉(zhuǎn)化為

5、證明這條直線的方向向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量.以A點為原點，AB為x軸，AD為y軸，AD為z軸的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示. 則依題意可知相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是：A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1） MN平面ABN.OSABCDE例4（線面平行、面面垂直、二面角）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個側(cè)面都是等邊三角形，與的交點為，為側(cè)棱上一點. （）當(dāng)為側(cè)棱的中點時，求證：平面；（）求證：平面平面；（）當(dāng)二面角的大小為時， 試判斷點在上的位置，并說明理由.解模與識模:本題第（）問是解決線面平行問題. 設(shè)四棱錐的底面邊長為2，建立如圖直角坐

6、標(biāo)系.則，.所以，.因為，由已知可求得.所以，.OyzxSABCDE設(shè)平面法向量為， 則 即 令，得n=. . n·.所以n. 所以平面. 這一問完整地體會了坐標(biāo)法的整個過程. 第一步,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系; 第二步求出相關(guān)點的坐標(biāo): 第三步,寫出向量的坐標(biāo); 第四步,選擇適當(dāng)?shù)墓竭M行論證、計算; 第五步,轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.第四步中著重計算了面法向量,n·=0推出平面.求法向量的步驟：第一步,找平面內(nèi)的任意兩個不共線向量,設(shè)a，b為平面內(nèi)的任意兩個向量;第二步,設(shè)n=（x, y, 1）為的法向量，則由方程組,求得法向量n（）證明：由（）中坐標(biāo)易知，.設(shè)（），由已知可求得

7、.所以，.設(shè)平面法向量為， 則 即 令，得. 易知是平面的法向量.因為，所以，所以平面平面. 本題的解決可以總結(jié)出利用向量法證明面與面垂直的過程中的第四部核心是證明一個平面的法向量垂直于另一個平面內(nèi)的一條直線,同時也可以證明兩個平面的法向量的數(shù)量積為零去證明兩個平面互相垂直.（）設(shè)二面角中,平面、的法向量是,，則，設(shè)二面角的大小為，則或-. 設(shè)（），由（）可知，平面法向量為.因為，所以是平面的一個法向量.由已知二面角的大小為.所以，所以，解得. 所以點是的中點.例5（線線成角）如圖，在三棱錐中,均為等腰直角三角形，為線段的中點，側(cè)面底面. 求異面直線與所成角的余弦值；解模與識模: 如果兩異面直

8、線AB與CD的方向向量分別是、，直線AB與CD的夾角為，就有取的中點為，連結(jié).建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示. 則， ， 所以異面直線與所成角的余弦值為例6（線面成角）如圖，正三棱柱的底面邊長為a，側(cè)棱長為.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、A1、C1的坐標(biāo)；（2）求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.解模與識模:建立如圖的坐標(biāo)系，來確定所求點的坐標(biāo).取A1B1中點M，因為三棱柱是直三棱柱,則是平面ABB1A1的一個法向量, 求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角轉(zhuǎn)化為求與的夾角的余角.于是求直線l與平面所成的角：，（P、Ml，n為的法向量）（1）以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為y軸，所在直線為z軸，

9、以過原點且垂直于平面的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3.則A（0，0，0）、B（0，a，0）、A1（0，0，）、C1（） （2）取A1B1的中點M，則M（0，） 連AM、MC1，得， ，因為， ;設(shè)AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角.于是有=.所以AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30°.例7（異面直線距離、線面之間的距離）已知：正方體ABCDA1B1C1D1中，P為AB中點，ABCDA1B1C1D1PQOxyzQ為BC中點，AA1=a, O為正方形ABCD的中心.（1）求PQ與C1O間的距離；（2）求BC到面A1D1P的距離解模與識模： P和O分別是異面直線PQ與C1O上兩點,設(shè)

10、與異面直線PQ與C1O的方向向量都垂直的向量叫做異面直線PQ與C1O的法向量,那么,在異面直線PQ與C1O的法向量上的投影就是異面直線PQ與C1O的距離.即就是.由此可以推出,要求平行于平面A1D1P的直線BC到平面A1D1P的距離,即就是求在平面A1D1P的法向量上的投影.異面直線PQ與C1O的法向量，=(,0,0)，異面直線PQ與C1O的距離點B到平面A1D1P的距離等于BC到面A1D1P的距離,面A1D1P的一個法向量=(0,2,1)，=(0,0) BC到面A1D1P的距離.模型歸納:坐標(biāo)法確實是處理立體幾何問題的重要方法作為坐標(biāo)法的主要技巧，是將相關(guān)向量表示為坐標(biāo)的形式，把問題轉(zhuǎn)化為代

11、數(shù)的運算，這與把空間圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面圖形關(guān)系的傳統(tǒng)解法相比，顯然是更高的思維方式，它抓住了空間的主要特征和其內(nèi)在規(guī)律，使“紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象變得井然有序”利用坐標(biāo)法的解題流程是：（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系（2）求出相關(guān)點的坐標(biāo)（3）寫出向量的坐標(biāo)（4）選擇適當(dāng)?shù)墓竭M行論證、計算(在以上的模型中選擇)（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論說明：步驟（1）：常見幾何體的建系方法：借助正方體、側(cè)棱和底面垂直的棱錐、直棱柱等等.1.找兩條互相垂直且相交的直線確定“水平面”（即xOy平面），一條為x軸，一條為y軸；2.找與“水平面”垂直的直線確定為z軸.通常做法（1）直接找到與“水平面”垂直的直線為z軸；（2）找與“

12、水平面”垂直的平面，垂面內(nèi)與“水平面”交線的垂線即為z軸.（3）過兩垂線的交點直接作出“水平面”的垂線，（4）過兩垂線的交點構(gòu)造“水平面”的兩個兩個垂面，兩垂面的交線為z軸.步驟（2）：和結(jié)論相關(guān)的點就是直接的相關(guān)點，在求解過程中需要求坐標(biāo)的點也可以認為是相關(guān)點.步驟（3）：得到相關(guān)點以后，由相關(guān)點坐標(biāo)就得到了有關(guān)的向量的坐標(biāo).步驟（4）空間的線線、線面、面面垂直關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個向量的平行與垂直問題來.解決（1）設(shè)a，b分別為直線a，b的一個方向向量，那么abab a·b=0；（2）若,且均不為零,（3）設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，那么lab；（4）設(shè)a，b分別為平面，的一個法向量，那么ab a·b=0 （5）設(shè)a，b為平面內(nèi)的任意兩個向量，n=（x, y, 1）為的法向量，則由方程組 可求得法向量n 空間線線成角、線面成角和二面角可以轉(zhuǎn)化為向量成角的問題來解決. （1）如果兩異面直線AB與CD的方向向量分別是、，直線AB與CD的夾角為，就有 （2）直線l與平面所成的角為：，（P、Ml，n為的法向量）. （3）二面角中,平面