圓周運動中臨界問題

1、圓周運動中的臨界問題教學(xué)目的:會運用受力分析及向心力公式解決圓周運動的臨界問題教學(xué)重點:掌握解決圓周運動的兩種典型的臨界問題教學(xué)難點:會分析判斷臨界時的速度或受力特征教學(xué)內(nèi)容一、 有關(guān)概念1、向心加速度的概念2、向心力的意義（由一個力或幾個力提供的效果力）二、內(nèi)容1、在豎直平面內(nèi)作圓周運動的臨界問題（1）如圖422和圖423所示，沒有物體支撐的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運動過最高點的情況：圖422 圖423臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的作用：mg=mv臨界=；能過最高點的條件：v，當(dāng)v時，繩對球產(chǎn)生拉力，軌道對球產(chǎn)生壓力；不能過最高點的條件：vv臨界（實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道）.（

2、2）如圖424的球過最高點時，輕質(zhì)桿對球產(chǎn)生的彈力情況：當(dāng)v=0時，F(xiàn)N=mg（FN為支持力）；當(dāng)0v時，F(xiàn)N隨v增大而減小，且mgFN0，F(xiàn)N為支持力；當(dāng)v=時，F(xiàn)N=0； 當(dāng)v時，F(xiàn)N為拉力，F(xiàn)N隨v的增大而增大.圖424 圖425bOa圖4若是圖425的小球在軌道的最高點時，如果v，此時將脫離軌道做平拋運動，因為軌道對小球不能產(chǎn)生拉力.例1 長L0.5m，質(zhì)量可以忽略的的桿，其下端固定于O點，上端連接著一個質(zhì)量m2kg的小球A，A繞O點做圓周運動（同圖5），在A通過最高點，試討論在下列兩種情況下桿的受力：當(dāng)A的速率v11ms時 當(dāng)A的速率v24ms時解析： V0=msmsALOm圖5 小

3、球的速度大于ms時受拉力，小于ms時受壓力。解法一：當(dāng)v11msms時，小球受向下的重力mg和向上的支持力NNmg 由牛頓第二定律mgNm Nmgm 16N即桿受小球的壓力16N。mgF當(dāng)v24msms時，小球受向下的重力mg和向下的拉力F，由牛頓第二定律mgFm Fm mg44N即桿受小球的拉力44N。解法二：小球在最高點時既可以受拉力也可以受支持力，因此桿受小球的作用力也可以是拉力或者是壓力。我們可不去做具體的判斷而假設(shè)一個方向。如設(shè)桿豎直向下拉小球A，則小球的受力就是上面解法中的的情形。由牛頓第二定律mgFm 得Fm（g）當(dāng)v11ms時，F(xiàn)116NF1為負值，說明它的實際方向與所設(shè)的方向

4、相反，即小球受力應(yīng)向上，為支持力。則桿應(yīng)受壓力。當(dāng)v24ms時，F(xiàn)244N。F2為正值，說明它的實際方向與所設(shè)的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力。則桿也應(yīng)受拉力。例2 如圖4所示，在傾角30°的光滑斜面上，有一長l0.4m的細繩，一端固定在O點，另一端拴一質(zhì)量為m0.2 kg的小球，使之在斜面上作圓周運動，求：(1)小球通過最高點A時最小速度；(2)如細繩受到9.8N的拉力就會斷裂，求小球通過最低點B時的最大速度.2、在水平面內(nèi)作圓周運動的臨界問題在水平面上做圓周運動的物體，當(dāng)角速度變化時，物體有遠離或向著圓心運動的（半徑有變化）趨勢。這時，要根據(jù)物體的受力情況，判斷物體受某個

5、力是否存在以及這個力存在時方向朝哪（特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等）。例3 如圖9所示，一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為30°，一條長度為L的繩（質(zhì)量不計），一端的位置固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著一個質(zhì)量為m的小物體（物體可看質(zhì)點），物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動。mgNT圖9當(dāng)v時，求繩對物體的拉力；當(dāng)v時，求繩對物體的拉力。解析：設(shè)小球剛好對錐面沒有壓力時的速率為，則有 解得 （1）當(dāng)（2）當(dāng)時，小球離開錐面，設(shè)繩與軸線夾角為，則例4 如圖6所示，兩繩系一質(zhì)量為m0.1kg的小球，上面繩30°45&

6、#176;ABC圖6長L2m，兩端都拉直時與軸的夾角分別為30°與45°，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩始終張緊，當(dāng)角速度為3 rads時，上、下兩繩拉力分別為多大？解析：當(dāng)角速度很小時，AC和BC與軸的夾角都很小，BC并不張緊。當(dāng)逐漸增大到30°時，BC才被拉直（這是一個臨界狀態(tài)），但BC繩中的張力仍然為零。設(shè)這時的角速度為1，則有：TACcos30°mgTACsin30°m12Lsin30°將已知條件代入上式解得12.4 rads 當(dāng)角速度繼續(xù)增大時TAC減小，TBC增大。設(shè)角速度達到2時，TAC0（這又是一個臨界狀態(tài)），則有：T

7、BCcos45°mgTBCsin45°m22Lsin30°將已知條件代入上式解得23.16 rads 所以當(dāng)滿足 2.4 rads3.16 rads，AC、BC兩繩始終張緊。本題所給條件3 rads，此時兩繩拉力TAC、TBC都存在。TACsin30°TBCsin45°m2Lsin30°TACcos30°TBCcos45°mg 將數(shù)據(jù)代入上面兩式解得TAC0.27N，TBC1.09N注意：解題時注意圓心的位置（半徑的大?。?。如果2.4 rads時，TBC0，AC與軸的夾角小于30°。如果3.16rads時

8、，TAC0，BC與軸的夾角大于45°。例5如圖7所示，細繩一端系著質(zhì)量M0.6kg的物體，靜止在水平面上，另一端通過光滑的小孔吊著質(zhì)量m0.3kg的物體，M的中與圓孔距離為0.2m，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動，問角速度在什么范圍m會處于靜止?fàn)顟B(tài)？（g10ms2） 先以m0為題引入，由淺入深 解析：要使m靜止，M也應(yīng)與平面相對靜止。而MMrom圖7與平面靜止時有兩個臨界狀態(tài)：當(dāng)為所求范圍最小值時，M有向著圓心運動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力的方向背離圓心，大小等于最大靜摩擦力2N。此時，對M運用牛頓第二定律。有 TfmM12r 且 Tmg解得 12.9

9、 rads當(dāng)為所求范圍最大值時，M有背離圓心運動的趨勢，水平面對M的靜摩擦力的方向向著圓心，大小還等于最大靜摩擦力2N。ro圖8再對M運用牛頓第二定律 有 TfmM22r 解得 26.5 rads所以，題中所求的范圍是：2.9 rads6.5 rads例6如圖8所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩上張力為零）。物體和轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是其下壓力的倍。求：當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度1時，細繩的拉力T1。當(dāng)轉(zhuǎn)盤角速度2時，細繩的拉力T2。解析：設(shè)轉(zhuǎn)動過程中物體與盤間恰好達到最大靜摩擦力時轉(zhuǎn)動的角速度為，則，解得。（1）因為，所以物體所需向心力小于物體與盤

10、間的最大摩擦力，則物與盤間還未到最大靜摩擦力，細繩的拉力仍為0，即。（2）因為，所以物體所需向心力大于物與盤間的最大靜摩擦力，則細繩將對物體施加拉力，由牛頓的第二定律得：，解得。3、連接體的臨界問題例1、如圖所示，勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，放有質(zhì)量均為m的小物體A、B， A、B間用細線沿半徑方向相連，它們到轉(zhuǎn)軸距離分別為RA=20cm，RB=30cm。A、B與盤面間的最大靜摩擦力均為重力的0.4倍，試求：(1)當(dāng)細線上開始出現(xiàn)張力時，圓盤的角速度0；(2)當(dāng)A開始滑動時，圓盤的角速度；(3)當(dāng)即將滑動時，燒斷細線，A、B狀態(tài)如何?答案： (1)當(dāng)細線上開始出現(xiàn)張力時，表明B與盤間的靜摩擦力已達到最

11、大，設(shè)此時圓盤角速度為0，則是kmg=mrB02解得： =3.7rad/s(2)當(dāng)A開始滑動時，表明A與盤的靜摩擦力也已達到最大，設(shè)此時盤轉(zhuǎn)動角速度為，線上拉力為FT則，對A：FfAm-FT=mrA2對B：FfBm+FT=mrB2又：FfAm=FfBm=kmg解得=4rad/s。(3)燒斷細線，A與盤間的靜摩擦力減小，繼續(xù)隨盤做半徑為rA=20cm的圓周運動，而B由于FfBm不足以提供必要的向心力而做離心運動。答案：(1) 3.7rad/s (2) 4rad/s (3)A做圓周運動，B做離心運動分析：1、利用極限分析法的“放大”思想分析臨界狀態(tài)。認清臨界情景和條件，建立臨界關(guān)系是解決此類問題的

12、關(guān)鍵。2、圓周運動中的連接體加速度一般不同，所以，解決這類連接體的動力學(xué)問題時一般用隔離法。但也可用整體法來求解。三、鞏固練習(xí)1、汽車通過拱橋顆頂點的速度為10 ms時，車對橋的壓力為車重的。如果使汽車駛至橋頂時對橋恰無壓力，則汽車的速度為 （）A、15 msB、20 msC、25 msD、30ms2、如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的圓盤上，沿直徑方向上放置以細線相連的A、B兩個小物塊。A的質(zhì)量為，離軸心，B的質(zhì)量為，離軸心，A、B與盤面間相互作用的摩擦力最大值為其重力的0.5倍，試求 （1）當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動的角速度為多少時，細線上開始出現(xiàn)張力？（2）欲使A、B與盤面間不發(fā)生相對滑動，則圓盤轉(zhuǎn)動的最大角速度為

13、多大？（）解析：（1）較小時，A、B均由靜摩擦力充當(dāng)向心力，增大，可知，它們受到的靜摩擦力也增大，而，所以A受到的靜摩擦力先達到最大值。再增大，AB間繩子開始受到拉力。由，得： （2）達到后，再增加，B增大的向心力靠增加拉力及摩擦力共同來提供，A增大的向心力靠增加拉力來提供，由于A增大的向心力超過B增加的向心力，再增加，B所受摩擦力逐漸減小，直到為零，如再增加，B所受的摩擦力就反向，直到達最大靜摩擦力。如再增加，就不能維持勻速圓周運動了，A、B就在圓盤上滑動起來。設(shè)此時角速度為，繩中張力為，對A、B受力分析：對A有 對B有聯(lián)立解得： 3、一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比

14、細管半徑大得多）。在圓管中有兩個直徑與細管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點）。A球的質(zhì)量m1，B球的質(zhì)量為m2，它們沿環(huán)形管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都為v0，設(shè)A球運動到最低點，B球恰好運動到最高點。若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2、R與v0應(yīng)滿足的關(guān)系式是。（97年高考題）4、如圖393所示，物體P用兩根長度相等、不可伸長的細線系于豎直桿上，它們隨桿轉(zhuǎn)動，若轉(zhuǎn)動角速度為，則ABC A只有超過某一值時，繩子AP才有拉力B繩子BP的拉力隨的增大而增大C繩子BP的張力一定大于繩子AP的張力D當(dāng)增大到一定程度時，繩AP的張力大于BP的張力5、如圖2所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平圓盤上，沿半徑

15、方向放著用細線連接的質(zhì)量相等的兩物體A和B，它們與盤間的摩擦因數(shù)相同當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好還未發(fā)生滑動時，燒斷細線，則兩物體的運動情況將是 【 】A兩物體均沿切線方向滑動B兩物體均沿半徑方向滑動，離圓盤圓心越來越遠C兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，不會發(fā)生滑動D物體A仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，不會發(fā)生滑動；物體B發(fā)生滑動，沿一條曲線向外運動，離圓盤圓心越來越遠6、半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖所示頂部有一小物體甲，今給它一個水平初速度v0=，物體甲將A沿球面下滑至M點B先沿球面下滑至某點N，然后便離開球面做斜下拋運動C按半徑大于R的新的圓弧軌道做圓周運動D立即離開半圓球做平拋

16、運動7、長度為05m的輕質(zhì)細桿OA，A端有一質(zhì)量為 3kg 的木球，以O(shè)點為圓心，在豎直面內(nèi)作圓周運動，如圖所示，小球通過最高點的速度為 2m/s，取g = 10 m/s2，則此時球?qū)p桿的力大小是，方向向。AB8、如圖所示，在勻速轉(zhuǎn)動的水平盤上，沿半徑方向放著用細線相連的質(zhì)量相等的兩物體A和B，它們與盤間的摩擦因數(shù)相同，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速加快到兩物體剛好沒有發(fā)生滑動時，燒斷細線，則兩物體的運動情況將是A兩物體均沿切線方向滑動B兩物體均沿半徑方向滑動，遠離圓心C兩物體仍隨圓盤一起做勻速圓周運動，不會滑動D物體A仍隨圓盤做勻速圓周運動，物體B沿曲線運動，遠離圓心9、如圖所示，木板B托著木塊A在豎直平面內(nèi)

17、作勻速圓周運動，從與圓心相平的位置a運動到最高點b的過程中 ( ) A、B對A的支持力越來越大 B、B對A的支持力越來越小C、B對A的摩擦力越來越大 D、B對A的摩擦力越來越小10、如圖所示，兩根長度相同的細繩，連接著相同的兩個小球讓它們在光滑的水平面內(nèi)做勻速圓周運動，其中O為圓心，兩段繩子在同一直線上，此時，兩段繩子受到的拉力之比T1 T2 為 ( ) A、11 B、21 C、32 D、3111、如圖所示,小球 M 與穿過光滑水平板中央的小孔 O 的輕繩相連，用手拉著繩的另一端使 M 在水平板上作半徑為 a ，角速度為的勻速圓周運動，求：(1) 此時 M 的速率.(2)若將繩子突然放松一段，

18、小球運動 t 時間后又拉直，此后球繞 O 作半徑為 b 的勻速圓周運動，求繩由放松到拉直的時間 t .AB12、一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細圓管，位于豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑為R（比細管的半徑大得多），在圓管中有兩個直徑與細管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點），A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2，它們沿環(huán)形圓管順時針運動，經(jīng)過最低點時的速度都是v0，設(shè)A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1，m2，R與v0應(yīng)滿足的關(guān)系。圓周運動補充1一探照燈照射在云層底面上，云層底面是與地面平行的平面，如圖所示，云層底面距地面高h，探照燈以角速度在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，當(dāng)光束轉(zhuǎn)到與豎直方向夾角為時，云層底面上光點的移動速度是（）Ah BC Dhtan 2兩個質(zhì)量不同的小球用長度不等的細線拴在同一點并在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運動。則它們的（）A運動周期相同B運動的線速度相同C運動的角速度相同D向心加速度相同3如圖所示，長0.5 m的輕質(zhì)細桿，一端固定有一個質(zhì)量為3 kg的小球，另一端由電動機帶動，使桿繞O點在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，小球的速率為2 m/s。取g10 m/s2，下列說法正確的是（）A小球通過最高點時，對桿的拉力大小是24 NB小球通過最高點時，對桿的壓力大小是6 NC小球通過最低點時，對桿的拉力大小是24 ND小球通過最低點時，對桿的拉