歷年考研數(shù)學(xué)二真題與答案09

1、2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案解析一、選擇題：18小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).(1) 函數(shù)的可去間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 1 2 3 無窮多個(gè)【答案】【解析】由于,則當(dāng)取任何整數(shù)時(shí),均無意義.故的間斷點(diǎn)有無窮多個(gè),但可去間斷點(diǎn)為極限存在的點(diǎn),故應(yīng)是的解.故可去間斷點(diǎn)為3個(gè),即.(2) 當(dāng)時(shí),與是等價(jià)無窮小,則 【答案】【解析】 ,故排除.另外,存在,蘊(yùn)含了,故排除.所以本題選.(3) 設(shè)函數(shù)的全微分為,則點(diǎn) 不是的連續(xù)點(diǎn) 不是的極值點(diǎn) 是的極大值點(diǎn) 是的極小值點(diǎn)【答案】【解析】因可得.,又在處,故為

2、函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn).(4) 設(shè)函數(shù)連續(xù),則 【答案】【解析】的積分區(qū)域?yàn)閮刹糠郑?將其寫成一塊,故二重積分可以表示為,故答案為.(5) 若不變號(hào),且曲線在點(diǎn)上的曲率圓為,則函數(shù)在區(qū)間內(nèi) 有極值點(diǎn),無零點(diǎn) 無極值點(diǎn),有零點(diǎn) 有極值點(diǎn),有零點(diǎn) 無極值點(diǎn),無零點(diǎn)【答案】【解析】由題意可知,是一個(gè)凸函數(shù),即,且在點(diǎn)處的曲率,而,由此可得,.在上,即單調(diào)減少,沒有極值點(diǎn).對(duì)于,(拉格朗日中值定理)而,由零點(diǎn)定理知,在上,有零點(diǎn).故應(yīng)選.（6）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為：則函數(shù)的圖形為【答案】 【解析】此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核，由的圖形可見，其圖像與軸及軸、所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)，從而可得出幾個(gè)方面

3、的特征：時(shí)，且單調(diào)遞減。時(shí)，單調(diào)遞增。時(shí)，為常函數(shù)。時(shí)，為線性函數(shù)，單調(diào)遞增。由于F(x)為連續(xù)函數(shù)結(jié)合這些特點(diǎn)，可見正確選項(xiàng)為。（7）設(shè)均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為. .【答案】 B 【解析】根據(jù)若分塊矩陣的行列式即分塊矩陣可逆（8）設(shè)均為3階矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣，且，若，則 為. . . .【答案】 A【解析】，即：二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）曲線在處的切線方程為 【答案】【解析】所以 所以 切線方程為（10）已知,則 【答案】【解析】因?yàn)闃O限存在所以（11） 【答案】0【解析】令 所以即 （12）設(shè)是由方

4、程確定的隱函數(shù)，則 【答案】【解析】對(duì)方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)有，得對(duì)再次求導(dǎo)可得，得 當(dāng)時(shí)，代入得（13）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 【答案】【解析】因?yàn)?，令得駐點(diǎn)為。又，得，故為的極小值點(diǎn)，此時(shí)，又當(dāng)時(shí)，；時(shí)，故在上遞減，在上遞增。而，所以在區(qū)間上的最小值為。(14)設(shè)為3維列向量，為的轉(zhuǎn)置，若矩陣相似于，則 【答案】【解析】因?yàn)橄嗨朴冢鶕?jù)相似矩陣有相同的特征值，得到的特征值是，而是一個(gè)常數(shù)，是矩陣的對(duì)角元素之和，則。三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求極限【解析】（16）（本題滿分10 分）計(jì)算不定積

5、分 【解析】方法一：令得方法二： 即（17）（本題滿分10分）設(shè)，其中具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求與【解析】（18）（本題滿分10分）設(shè)非負(fù)函數(shù)滿足微分方程，當(dāng)曲線過原點(diǎn)時(shí)，其與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，求繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積?！窘馕觥课⒎址匠痰闷渫ń鉃槿我獬?shù)令，則，微分方程變形為得到其中為任意常數(shù)即得到其中為任意常數(shù)又因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)時(shí)與直線及圍成平面區(qū)域的面積為2，于是可得從而于是，所求非負(fù)函數(shù)又由可得，在第一象限曲線表示為于是D圍繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，其中（19）（本題滿分10分）求二重積分，其中?！窘馕觥坑傻茫?0）（本題滿分12分）設(shè)是區(qū)間內(nèi)過的光滑曲線，當(dāng)時(shí)，曲線上任一點(diǎn)處的

6、法線都過原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足。求的表達(dá)式【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，即，得，又代入得，從而有當(dāng)時(shí)，得 的通解為 令解為，則有，得，故，得的通解為 由于是內(nèi)的光滑曲線，故在處連續(xù)于是由，故時(shí)，在處連續(xù)又當(dāng) 時(shí)，有，得，當(dāng)時(shí)，有，得 由得，即 故 的表達(dá)式為或，又過點(diǎn)，所以。（21）（本題滿分11分）（）證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，則存在，使得（）證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在，且?！窘馕觥浚ǎ┳鬏o助函數(shù)，易驗(yàn)證滿足：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且。根據(jù)羅爾定理，可得在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使，即（）任取，則函數(shù)滿足；在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，從而有拉格朗日中值定理可得：

7、存在，使得又由于，對(duì)上式（*式）兩邊取時(shí)的極限可得：故存在，且。（22）（本題滿分11分）設(shè)，（）求滿足的所有向量（）對(duì)（）中的任一向量，證明：線性無關(guān)?！窘馕觥浚ǎ┙夥匠?故有一個(gè)自由變量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中為任意常數(shù) 解方程 故有兩個(gè)自由變量，令，由得令，由得求特解 故 ，其中為任意常數(shù)（）證明：由于 故 線性無關(guān).（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型（）求二次型的矩陣的所有特征值；（）若二次型的規(guī)范形為，求的值?！窘馕觥浚ǎ?（） 若規(guī)范形為，說明有兩個(gè)特征值為正，一個(gè)為0。則1) 若，則 ， ，不符題意2) 若 ，即，則，符合3) 若 ，即，則 ，不符題意綜上所述，

8、故2010考研數(shù)學(xué)二真題及答案一選擇題1.A0 B1 C2 D32.設(shè)是一階線性非齊次微分方程的兩個(gè)特解，若常數(shù)使是該方程的解，是該方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的解，則A B C D3.A4e B3e C2e De4.設(shè)為正整數(shù),則反常積分的收斂性A僅與取值有關(guān) B僅與取值有關(guān)C與取值都有關(guān) D與取值都無關(guān)5.設(shè)函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且則=AB C D 6.(4)= A B CD7.設(shè)向量組，下列命題正確的是：A若向量組I線性無關(guān)，則 B若向量組I線性相關(guān)，則rsC若向量組II線性無關(guān)，則 D若向量組II線性相關(guān)，則rs8. 設(shè)為4階對(duì)稱矩陣,且若的秩為3,則相似于A B CD 二填空題9.3

9、階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解y=_10. 曲線的漸近線方程為_11. 函數(shù)12.13. 已知一個(gè)長方形的長l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當(dāng)l=12cm,w=5cm時(shí)，它的對(duì)角線增加的速率為_14. 設(shè)A，B為3階矩陣，且三解答題15.16.(1)比較與的大小,說明理由. (2)記求極限17. 設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程18. 一個(gè)高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a,短軸為2b的橢圓。現(xiàn)將貯油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度為時(shí)，計(jì)算油的質(zhì)量。（長度單位為m，質(zhì)量單位為kg，油的密度為）19.20.21. 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且

10、f(0)=0,f(1)=,證明：存在22.23.設(shè)，正交矩陣Q使得為對(duì)角矩陣，若Q的第一列為，求a、Q.答案：BACD BDAD9. 10.y=2x 11.12. 13.3cm/s 14. 3三解答題15.列表討論如下：x-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)-0+0-0+極小極大極小16.17.18解：S1S2yx 19解：20.21.22.23.2011年考研數(shù)學(xué)試題（數(shù)學(xué)二）一、選擇題1. 已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42.A B C D03. 函數(shù)的駐點(diǎn)個(gè)數(shù)為A0 B1 C2 D34. 微分方程A BC D5設(shè)函數(shù)具

11、有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處取得極小值的一個(gè)充分條件A B C D6.設(shè)A IJK B IKJ C JIK D KJI7.設(shè)A為3階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B，再交換B的第二行與第一行得單位矩陣。記則A=A B C D8設(shè)是4階矩陣，是A的伴隨矩陣，若是方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為A B C D二、填空題9.10. 微分方程11.曲線的弧長s=_12.設(shè)函數(shù) ，則13.設(shè)平面區(qū)域D由y=x,圓及y軸所組成，則二重積分14.二次型，則f的正慣性指數(shù)為_三、解答題15. 已知函數(shù)，設(shè)，試求的取值范圍。16. 設(shè)函數(shù)y=y(x)有參數(shù)方程，求y=y(x)的數(shù)值和曲線

12、y=y(x)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。17. 設(shè)，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，且在x=1處取得極值g(1)=1,求18. 設(shè)函數(shù)y(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l:y=y(x)與直線y=x相切于原點(diǎn)，記是曲線l在點(diǎn)（x,y)外切線的傾角，求y(x)的表達(dá)式。19.證明：1）對(duì)任意正整數(shù)n，都有2）設(shè),證明收斂。20.一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線繞y旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲面由連接而成。（1）求容器的容積。（2）若從容器內(nèi)將容器的水從容器頂部全部抽出，至少需要多少功？（長度單位：m；重力加速度為；水的密度為）21.已知函數(shù)f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,

13、，其中，計(jì)算二重積分。22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.A為三階實(shí)矩陣，且（1）求A的特征值與特征向量；（2）求A 參考答案選擇題：CBCC ABDD填空題：9. 10. 11. 12. 13 14. 解答題：15) 解：16.解：sss17.解：18. 解：19.解：20. 解：21. 解：22. 解：23. 解：2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）曲線漸

14、近線的條數(shù)為（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】：（C）【解析】：，所以為垂直漸近線 ，所以為水平漸近線，沒有斜漸近線，總共兩條漸近線，選（C）。（2）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】： 所以，故選（C）。（3）設(shè)，則數(shù)列有界是數(shù)列收斂的(A)充分必要條件. (B)充分非必要條件.（C）必要非充分條件. （D）即非充分地非必要條件.【答案】：(B)【解析】：由于，是單調(diào)遞增的，可知當(dāng)數(shù)列有界時(shí)，收斂，也即是存在的，此時(shí)有，也即收斂。反之，收斂，卻不一定有界，例如令，顯然有收斂，但是無界的。故數(shù)列有界是數(shù)列收斂的充分非必要條件，選(B)。

15、（4）設(shè) (k=1,2,3),則有D（A） (B) (C) (D) 【答案】：(D)【解析】：由于當(dāng)時(shí)，可知，也即，可知。又由于，對(duì)做變量代換得，故由于當(dāng)時(shí)，可知，也即，可知。綜上所述有，故選(D).（5）設(shè)函數(shù)可微，且對(duì)任意 都 有，則使得成立的一個(gè)充分條件是(A) (B) (C) (D) 【答案】：(D)【解析】：，表示函數(shù)關(guān)于變量是單調(diào)遞增的，關(guān)于變量是單調(diào)遞減的。因此，當(dāng)時(shí)，必有，故選D（6）設(shè)區(qū)域D由曲線圍成，則【答案】：（D）【解析】：區(qū)域D如圖中陰影部分所示，為了便于討論，再引入曲線將區(qū)域分為四部分。由于關(guān)于軸對(duì)稱，可知在上關(guān)于的奇函數(shù)積分為零，故；又由于關(guān)于軸對(duì)稱，可知在上關(guān)于

16、的奇函數(shù)為零，故。因此，故選（D）。（7）設(shè)其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（C）【解析】：由于，可知線性相關(guān)。故選（C）。（8）設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，則（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】：（B）【解析】：，則，故故選（B）。二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.（9）設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則_?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚簩⒋朐匠炭傻梅匠虄啥藢?duì)求導(dǎo)，有，將、代入可得，所以再次求導(dǎo)得，再將、代入可得。（10）計(jì)算_。【答案】：【解析】：原式（11）設(shè),其中函數(shù)可微，則_?！敬鸢浮浚?

17、【解析】：因?yàn)?，所以?2）微分方程滿足初始條件的解為_?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚簽橐浑A線性微分方程，所以又因?yàn)闀r(shí)，解得，故.（13）曲線上曲率為的點(diǎn)的坐標(biāo)是_。【答案】：【解析】：將代入曲率計(jì)算公式，有整理有，解得，又，所以，這時(shí)，故該點(diǎn)坐標(biāo)為（14）設(shè)為3階矩陣，,為的伴隨矩陣，若交換的第一行與第二行得到矩陣,則_?！敬鸢浮浚骸窘馕觥浚海渲?，可知。三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）已知函數(shù)，記（1）求的值（2）若當(dāng)時(shí)，是的同階無窮小，求【解析】：（1），即（2）,當(dāng)時(shí)，由又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，與等價(jià)，故

18、，即（16）（16）（本題滿分10分）求的極值?！窘馕觥浚海惹蠛瘮?shù)的駐點(diǎn)：令，解得駐點(diǎn)為.又對(duì)點(diǎn)，有所以，故在點(diǎn)處取得極大值.對(duì)點(diǎn)，有所以，故在點(diǎn)處取得極小值.（17）（本題滿分11分）過點(diǎn)（0，1）點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，又與軸交于點(diǎn)，區(qū)域由與直線及軸圍成，求區(qū)域的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。【解析】：如圖設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為，所以設(shè)切線方程為，又因?yàn)樵撉芯€過，所以，故切線方程為：切線與軸交點(diǎn)為（1）（2）（18）（本題滿分10分）計(jì)算二重積分，其中區(qū)域D為曲線與極軸圍成。【解析】： 令得，原式。（19）（本題滿分10分）已知函數(shù)滿足方程及1）求表達(dá)式2）求曲線的拐點(diǎn)【解析】：1）

19、特征方程為，特征根為，齊次微分方程的通解為.再由得，可知。故2）曲線方程為，則，令得。為了說明是唯一的解，我們來討論在和時(shí)的符號(hào)。當(dāng)時(shí)，可知；當(dāng)時(shí)，可知?？芍俏ㄒ坏慕狻Ｍ瑫r(shí)，由上述討論可知曲線在左右兩邊的凹凸性相反，可知點(diǎn)是曲線唯一的拐點(diǎn)。（20）（本題滿分10分）證明：【解析】：令，可得當(dāng)時(shí)，有，所以，故。而，即得，也即。當(dāng)時(shí)，有，所以，故。而，即得，也即。當(dāng)時(shí)，顯然有?？芍?1）（本題滿分11分）（1）證明方程，在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根；（2）記（1）中的實(shí)根為，證明存在，并求此極限?！窘馕觥浚?(1)由題意得：令，則，再由，由零點(diǎn)定理得在至少存在一個(gè)零點(diǎn)，也即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)

20、實(shí)根。又由于在上是單調(diào)的，可知在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)。故方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。（2）由于，可知（），進(jìn)而有，可知（），比較（）式與（）式可知，故單調(diào)。又由于，也即是有界的。則由單調(diào)有界收斂定理可知收斂，假設(shè)，可知。當(dāng)時(shí)，。（22）（本題滿分11分）設(shè)，（）求（）已知線性方程組有無窮多解，求，并求的通解?！窘馕觥浚海ǎǎ┛芍?dāng)要使得原線性方程組有無窮多解，則有及，可知。此時(shí)，原線性方程組增廣矩陣為，進(jìn)一步化為行最簡形得可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，非齊次方程的特解為，故其通解為線性方程組存在2個(gè)不同的解，有.即：，得或-1.當(dāng)時(shí), ，顯然不符，故.（23）（本題滿分11分）三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)

21、置，已知，且二次型。1）求2）求二次型對(duì)應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換過程。【解析】：1）由可得，可知。2） 令矩陣解得矩陣的特征值為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：對(duì)于得對(duì)應(yīng)的特征向量為：將單位化可得：，令可將原二次型化為。2013年考研數(shù)學(xué)二真題及答案一、選擇題 18小題每小題4分，共32分設(shè)，當(dāng)時(shí)， （ ）（A）比高階的無窮小 （B）比低階的無窮小（C）與同階但不等價(jià)無窮小 （D）與等價(jià)無窮小【詳解】顯然當(dāng)時(shí)，故應(yīng)該選（C）2已知是由方程確定，則（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2【分析】本題考查的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則信函數(shù)在一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的定義【

22、詳解】將代入方程得，在方程兩邊求導(dǎo)，得，代入，知，故應(yīng)該選（A）設(shè)，則（ ）（）為的跳躍間斷點(diǎn) （）為的可去間斷點(diǎn)（）在連續(xù)但不可導(dǎo) （）在可導(dǎo)【詳解】只要注意是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)，則應(yīng)該是連續(xù)點(diǎn)，但不可導(dǎo)應(yīng)選（）設(shè)函數(shù)，且反常積分收斂，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】，其中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才收斂；而第二個(gè)反常積分，當(dāng)且僅當(dāng)才收斂從而僅當(dāng)時(shí)，反常積分才收斂，故應(yīng)選（）設(shè)函數(shù)，其中可微，則（ ）（A） （B）（C） （D）【詳解】應(yīng)該選（A）6設(shè)是圓域的第象限的部分，記，則（ ）（A） （B） （C） （D）【詳解】由極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算可知所以，應(yīng)該選（B）7設(shè)，均為階矩陣，若，且可

23、逆，則（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)【詳解】把矩陣A，C列分塊如下：，由于，則可知，得到矩陣C的列向量組可用矩陣A的列向量組線性表示同時(shí)由于B可逆，即，同理可知矩陣A的列向量組可用矩陣C的列向量組線性表示，所以矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)應(yīng)該選（B）8矩陣與矩陣相似的充分必要條件是（A） （B），為任意常數(shù)（C） （D），為任意常數(shù)【詳解】注意矩陣是對(duì)角矩陣，所以矩陣A=與矩陣相似的充分必要條件是兩個(gè)矩陣的特征值對(duì)應(yīng)相等從而可知，即，為任意

24、常數(shù)，故選擇（B）二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）9 【詳解】10設(shè)函數(shù)，則的反函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) 【詳解】由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知11設(shè)封閉曲線L的極坐標(biāo)方程為為參數(shù)，則L所圍成的平面圖形的面積為 【詳解】所以答案為12曲線上對(duì)應(yīng)于處的法線方程為 【詳解】當(dāng)時(shí)，所以法線方程為，也就是13已知是某個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程三個(gè)解，則滿足方程的解為 【詳解】顯然和是對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)線性齊次微分方程兩個(gè)線性無關(guān)的解，由解的結(jié)構(gòu)定理，該方程的通解為，其中為任意常數(shù)把初始條件代入可得，所以答案為14設(shè)是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數(shù)余子式，且滿足，則= 【詳解】由條件可知，其中為A的伴隨矩陣，從而可知，所以可能為或0但由結(jié)論可知，可知,伴隨矩陣的秩只能為3，所以三、解答題15（本題滿分10分）當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小，求常數(shù)【分析】主要是考查時(shí)常見函數(shù)的馬克勞林展開式【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，由于與是等價(jià)無窮小，所以16（本題滿分10分）設(shè)D是由曲線，直線及軸所轉(zhuǎn)成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的立體的體積，若，求的值【詳解】由微元法可知；由條件，知17（本題滿分10分）設(shè)平面區(qū)域D是由曲線所圍