復(fù)數(shù)講義絕對經(jīng)典

1、復(fù)數(shù)一、復(fù)數(shù)的概念1 虛數(shù)單位i:（1）它的平方等于，即；（2）實數(shù)可以與它進(jìn)行四則運算，進(jìn)行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立（3）i與1的關(guān)系:i就是的一個平方根，即方程的一個根，方程的另一個根是-i（4）i的周期性：， ， ， 2 數(shù)系的擴(kuò)充：復(fù)數(shù)3 復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實部，叫復(fù)數(shù)的虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示4 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式: 通常用字母表示，即，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式5 復(fù)數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時，復(fù)數(shù)是實數(shù)；當(dāng)時，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時，就是實數(shù)6 復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：7

2、 兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等這就是說，如果， ，那么， 二、復(fù)數(shù)的幾何意義1 復(fù)平面、實軸、虛軸：復(fù)數(shù)與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)關(guān)系建立一一對應(yīng)的關(guān)系點的橫坐標(biāo)是，縱坐標(biāo)是，復(fù)數(shù)可用點表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，軸叫做實軸，軸叫做虛軸實軸上的點都表示實數(shù)2 對于虛軸上的點要除原點外，因為原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為，它所確定的復(fù)數(shù)是表示是實數(shù)除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)3復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法三、復(fù)數(shù)的四則運算1 復(fù)數(shù)與的和的定義：2 復(fù)數(shù)與的差

3、的定義：3 復(fù)數(shù)的加法運算滿足交換律:4 復(fù)數(shù)的加法運算滿足結(jié)合律:5 乘法運算規(guī)則：設(shè)，(、)是任意兩個復(fù)數(shù)，那么它們的積其實就是把兩個復(fù)數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把換成，并且把實部與虛部分別合并兩個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù)6 乘法運算律：（1）（2）（3）7 復(fù)數(shù)除法定義：滿足的復(fù)數(shù)(、)叫復(fù)數(shù)除以復(fù)數(shù)的商，記為：或者8 除法運算規(guī)則：設(shè)復(fù)數(shù) (、)，除以 (，)，其商為（、)，即由復(fù)數(shù)相等定義可知解這個方程組，得于是有: 利用于是將的分母有理化得：原式(點評:是常規(guī)方法，是利用初中我們學(xué)習(xí)的化簡無理分式時，都是采用的分母有理化思想方法，而復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)，相當(dāng)于我們初中學(xué)習(xí)的的對

4、偶式，它們之積為是有理數(shù)，而是正實數(shù)所以可以分母實數(shù)化 把這種方法叫做分母實數(shù)化法9 共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。虛部不等于的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)例題精講1 復(fù)數(shù)的概念【例1】 已知為虛數(shù)單位），那么實數(shù)a，b的值分別為（ ）A2，5 B-3，1 C-11 D2，【答案】D【例2】 計算： （表示虛數(shù)單位）【答案】【解析】 ，而（），故【例3】 設(shè)，則下列命題中一定正確的是（）A的對應(yīng)點在第一象限 B的對應(yīng)點在第四象限C不是純虛數(shù) D是虛數(shù)【答案】D【解析】 【例4】 在下列命題中，正確命題的個數(shù)為（）兩個復(fù)數(shù)不能比較大?。蝗羰羌兲摂?shù)，則

5、實數(shù)；是虛數(shù)的一個充要條件是；若是兩個相等的實數(shù)，則是純虛數(shù)；的一個充要條件是的充要條件是A1B2C3D4【答案】B【解析】 復(fù)數(shù)為實數(shù)時，可以比較大小，錯；時， ，錯；為實數(shù)時，也有，錯；時， ，錯；正確2 復(fù)數(shù)的幾何意義【例5】 復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】 由已知在復(fù)平面對應(yīng)點如果在第一象限，則，而此不等式組無解即在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能位于第一象限【例6】 若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】 結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象知，當(dāng)時，【例7】

6、 如果復(fù)數(shù)滿足，那么的最小值是（ ）A1 B C2 D【答案】A【解析】 設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對應(yīng)點為，因為，所以點的集合是軸上以、為端點的線段表示線段上的點到點的距離此距離的最小值為點到點的距離，其距離為【例8】 滿足及的復(fù)數(shù)的集合是（ ）A BC D【答案】D【解析】 復(fù)數(shù)表示的點在單位圓與直線上（表示到點與點的距離相等，故軌跡為直線），故選D【例9】 已知復(fù)數(shù)的模為，則的最大值為_【答案】【解析】 ，故在以為圓心，為半徑的圓上，表示圓上的點與原點連線的斜率如圖，由平面幾何知識，易知的最大值為【例10】 復(fù)數(shù)滿足條件：，那么對應(yīng)的點的軌跡是（）A圓B橢圓C雙曲線D拋物線【答案】A【解析】 A；

7、設(shè)，則有，化簡得：，故為圓【點評】的幾何意義為點到點的距離；中所對應(yīng)的點為以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為圓心，半徑為的圓上的點【例11】 復(fù)數(shù)，滿足，證明：【解析】 設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形為矩形，故可設(shè)，所以也可設(shè)，則由向量與向量垂直知，故【例12】 已知復(fù)數(shù)，滿足，且，求與的值【答案】；4【解析】 設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，由于，故，故以，為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，則；【例13】 已知，求【解析】 設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，由知，以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，記所對應(yīng)的頂點為，由知， （可由余弦定理得到），故，從而【例14】 已知復(fù)數(shù)滿足，求的最大值與最

8、小值【答案】，【解析】 設(shè)，則滿足方程，又，故當(dāng)時，；當(dāng)時，有3 復(fù)數(shù)的四則運算【例15】 已知，若，則等于（）A B C D4【答案】B【解析】 【例16】 計算：【答案】【解析】 原式【例17】 已知復(fù)數(shù)，則的最大值為（）A B C D3【答案】A【解析】，故當(dāng)時， 有最大值【例18】 對任意一個非零復(fù)數(shù)，定義集合（）設(shè)是方程的一個根，試用列舉法表示集合若在中任取兩個數(shù)，求其和為零的概率；（2）若集合中只有個元素，試寫出滿足條件的一個值，并說明理由【答案】（1）；（2）【解析】 （1）是方程的根，或，不論或，于是（2）取，則及于是或取（說明：只需寫出一個正確答案）【例19】 解關(guān)于的方程【

9、答案】【解析】 錯解：由復(fù)數(shù)相等的定義得分析：“，且成立”的前提條件是，但本題并未告訴是否為實數(shù)法一：原方程變形為，由一元二次方程求根公式得，原方程的解為，法二：設(shè)，則有，由得：，代入中解得：或，故方程的根為【例20】 已知，對于任意，均有成立，試求實數(shù)的取值范圍【答案】【解析】 ，對恒成立當(dāng)，即時，不等式恒成立；當(dāng)時，綜上，【例21】 關(guān)于的方程有實根，求實數(shù)的取值范圍【答案】【解析】 誤：方程有實根，解得或析：判別式只能用來判定實系數(shù)一元二次方程根的情況，而該方程中與并非實數(shù)正：設(shè)是其實根，代入原方程變形為，由復(fù)數(shù)相等的定義，得，解得【例22】 設(shè)方程的根分別為，且，求實數(shù)的值【答案】或【

10、解析】 若，為實數(shù)，則且，解得若，為虛數(shù)，則且，共軛，解得綜上，或【例23】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：并證明，從而【解析】 時，結(jié)論顯然成立；若對時，有結(jié)論成立，即，則對，由歸納假設(shè)知，上式，從而知對，命題成立綜上知，對任意，有易直接推導(dǎo)知：故有【例24】 若是方程（）的解，求證：【解析】 將解代入原方程得：，將此式兩邊同除以，則有：，即，由復(fù)數(shù)相等的定義得【例25】 設(shè)、為實數(shù)，且，則=_【答案】4【解析】 由知，即，故，解得，故【例26】 已知是純虛數(shù)，求在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的軌跡【答案】以為圓心，為半徑的圓，并去掉點和點【解析】 法一：設(shè)（），則是純虛數(shù)，故，即的對應(yīng)點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓

11、，并去掉點和點法二：是純虛數(shù)，（且），得到，設(shè)（），則（）的對應(yīng)點的軌跡以為圓心，為半徑的圓，并去掉點和點【例27】 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，求的最值【解析】 由題意，則設(shè)，則當(dāng)時，此時；當(dāng)時，此時【例28】 若，試求【答案】【解析】 ，又知， 設(shè)（），則， ，即，由復(fù)數(shù)相等定義得，解得故【點評】復(fù)數(shù)的共軛與模長的相關(guān)運算性質(zhì)：設(shè)（）的共軛復(fù)數(shù)為，則；為實數(shù)；為純虛數(shù)；對任意復(fù)數(shù)有；，特別地有；，以上性質(zhì)都可以通過復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的具體計算進(jìn)行證明【例29】 已知虛數(shù)為的一個立方根， 即滿足，且對應(yīng)的點在第二象限，證明，并求與的值【答案】0；【解析】 法一：，解得：或由題意知，證明與計算略；法二：由題意知，

12、故有又實系數(shù)方程虛根成對出現(xiàn)，故的兩根為由韋達(dá)定理有【點評】利用的性質(zhì)：，可以快速計算一些相關(guān)的復(fù)數(shù)的冪的問題【例30】 若（），求證：【解析】設(shè)，則有，即，解得，即【例31】 設(shè)是虛數(shù)，是實數(shù)，且（1）求的值及的實部的取值范圍；（2）設(shè)，求證：為純虛數(shù)；（3）求的最小值【答案】（1）；的實部的取值范圍是；（3）1【解析】 （1）設(shè)，則，因為是實數(shù)，所以，即于是，所以的實部的取值范圍是（2）因為，所以為純虛數(shù)（3）因為，所以，故當(dāng)，即時，取得最小值【例32】 對任意一個非零復(fù)數(shù)，定義集合（1）設(shè)是方程的一個根，試用列舉法表示集合；（2）設(shè)復(fù)數(shù)，求證：【答案】（1）；（2）略【解析】 （1）是方

13、程的根，或，當(dāng)時，當(dāng)時，；（2），存在，使得于是對任意，由于是正奇數(shù)，【例33】 已知復(fù)數(shù)，和，其中均為實數(shù)，為虛數(shù)單位，且對于任意復(fù)數(shù)，有，（1）試求的值，并分別寫出和用表示的關(guān)系式；（2）將作為點的坐標(biāo)，作為點的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點的一個變換：它將平面上的點變到這一平面上的點當(dāng)點在直線上移動時， 試求點經(jīng)該變換后得到的點的軌跡方程；（3）是否存在這樣的直線：它上面的任一點經(jīng)上述變換后得到的點仍在該直線上?若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明理由【答案】（1）；（2）；（3）這樣的直線存在，其方程為或【解析】 （1）由題設(shè)，于是由，且，得，因此由，得關(guān)系式（2）設(shè)點在直線上，則其經(jīng)變換后的點滿足，消去，得，故點的軌跡方程為（3）假設(shè)存在這樣的直線，平行坐標(biāo)軸的直線顯然不滿足條件，所求直線可設(shè)為該直線上的任一點，其經(jīng)變換后得到的點仍在該直線上，即，當(dāng)時，方程組無解，故這樣的直線不存在當(dāng)，由，得，解得或故這樣的直線存在，其方程為或課后檢測【習(xí)題1】 已知，復(fù)數(shù)的實部為，虛部為1，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【解析】 ，而，