2010年高三數(shù)學(xué)高考知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)：基本不等式及其應(yīng)用

1、2010年高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)基本不等式()及其應(yīng)用一、選擇題1.設(shè)x,yR,則“x2+y21”是“|x|+|y|”成立的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:2|x|y|x|2+|y|2x2+y21,(|x|+|y|)2x2+2|x|y|+y22.|x|+|y|.取x0,y,不滿足x2+y21,故是充分不必要條件.答案:A2.下列結(jié)論正確的是( )A.當(dāng)x0且x1時(shí),2B.當(dāng)x0時(shí),2C.當(dāng)x2時(shí),的最小值是2D.當(dāng)0x2時(shí),無(wú)最大值解析:,當(dāng)且僅當(dāng),即x1時(shí)等號(hào)成立.答案:B3.若a,b都是正實(shí)數(shù),是圓周率,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),則下列各式中可

2、能大于a2+b2的是( )A.2(a+b-1) B.()2+ab C.(a+b) D.ab解析:對(duì)于A,因?yàn)閍2+b2-2(a+b-1)(a-1)2+(b-1)20,因此a2+b22(a+b-1);對(duì)于B,a2+b2-()2+ab0,因此a2+b2()2+ab;對(duì)于D,因?yàn)閍2+b22abab,所以a2+b2ab.綜上,可知只有C滿足條件.答案:C4.某學(xué)生用一不準(zhǔn)確的天平(兩臂不等長(zhǎng))稱10 g藥品,他先將5 g的砝碼放在左盤,將藥品放在右盤使之平衡;然后又將5 g的砝碼放在右盤,將藥品放于左盤使之平衡,則此學(xué)生實(shí)際所得藥品( )A.小于10 g B.大于10 g C.大于等于10 g D.

3、小于等于10 g解析:設(shè)左、右臂長(zhǎng)分別為t1、t2,第一次稱的藥品為x1,第二次稱的藥品為x2,則有5t1x1t2,x2t15t2,所以x1+x25()5210,即大于10g.答案:B5.若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b2,則3a+3b的最小值是( )A.18 B.6 C. D.解析:由均值不等式,得3a+3b，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)取等號(hào)，所以3a+3b的最小值是6,故選B.答案:B6.一批貨物隨17列貨車從A市以a km/h勻速直達(dá)B市，已知兩地鐵路線長(zhǎng)400 km，為了安全，兩列車之間的距離不得小于（)2 km，那么這批貨物全部運(yùn)到B市，最快需要( )A.6 h B.8 h C.10 h D.12 h解

4、析:第一列貨車到達(dá)B市的時(shí)間為h，由于兩列貨車的間距不得小于()2 km,所以第17列貨車到達(dá)時(shí)間為+8，當(dāng)且僅當(dāng),即a100(km/h)時(shí)成立，所以最快需要8 h,故選擇B.答案:B二、填空題7.已知a、bR,a+b+a2+b224,則a+b的取值范圍是_.解析:a2+b22ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”，2（a2+b2)(a+b)2,即a2+b2 (a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”.24-(a+b)a2+b2 (a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”,即(a+b)2+2(a+b)-480.解關(guān)于a+b的二次不等式，得-8a+b6.答案:-8a+b68.已知x,yR+，且x+4y1,且xy的最大值為_

5、.解析:xyx4y,當(dāng)且僅當(dāng)x4y時(shí)取等號(hào).答案:9.已知a,b,c都是正實(shí)數(shù),且滿足log4(16a+b),則使4a+bc恒成立的c的取值范圍是_.解析:由條件知,16a+babb,4a+b.由0,得a1.令a-1t,則4a+b20+1636,當(dāng)且僅當(dāng)t,即t2時(shí)取“”.因此要使不等式4a+bc恒成立,只要c36.又因?yàn)閏為正數(shù),因此c(0,36.答案:(0,36三、解答題10.已知a,b,c都是正數(shù),且a+b+c1,求證:9.證明:a,b,c都是正數(shù),且a+b+c1,3+2+2+29,當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào).9.11.（1）已知a,b是正常數(shù)，ab,x,y(0,+),求證：,并指出等號(hào)成立

6、的條件.(2)求函數(shù)f(x),x(0,)的最小值,指出取最小值時(shí)x的值.(1)證明:a,b,x,y都是正數(shù),()(x+y)a2+b2+a2+b2+2ab(a+b)2,當(dāng)且僅當(dāng),即bxay時(shí)取“”.,當(dāng)且僅當(dāng)bxay時(shí)等號(hào)成立.(2)解：0x,01-2x1.由(1),知f(x),當(dāng)且僅當(dāng)32x2（1-2x)，即x(0,)時(shí)取“”.x時(shí),f(x)的最小值為25.12.某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制,房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)a米,房屋正面的造價(jià)為400元/m2,房屋側(cè)面的造價(jià)為150元/m2,屋頂和地面的造價(jià)費(fèi)用合計(jì)為5 800元,如果墻高為3 m,且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用.(1)把房屋總造價(jià)y表示成x的函數(shù),并寫出該函數(shù)的定義域.(2)當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度為多少時(shí),房屋的總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少?解:(1)由題意，可得y3()+5 800900()+5 800(0xa).(2)y900()+5 800900+5 80013 000,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x4時(shí)取等號(hào).若a4,則當(dāng)x4時(shí),y有最小值13 000;當(dāng)0a4,任取x1,x2(0,a且x1x2,y1-y2900()+5 800-900()-5 800900(x1-x2)+16(),x1x2a,x1-x20,x1x2a216.y1-y20.y900()+5 800在(0,a上是減函數(shù)