解直角三角形復(fù)習(xí)教案(1)

1、第十四章 解直角三角形一、銳角三角函數(shù)（一）、基礎(chǔ)知識1銳角三角函數(shù)定義。在直角三角形ABC中，C=900，設(shè)BC=a，CA=b，AB=c，銳角A的四個三角函數(shù)是： sin A = , cos A = , tan A = ，cotA=這種對銳角三角函數(shù)的定義方法，有兩個前提條件：（1）銳角A必須在直角三角形中，且C=900； （2）在直角三角形 ABC 中，每條邊均用所對角的相應(yīng)的小寫字母表示。 否則，不存在上述關(guān)系2同角三角函數(shù)間的關(guān)系：（1）平方關(guān)系： sin2A + cos2A = 1； (2) 商的關(guān)系: tanA =； cot A = （3）倒數(shù)關(guān)系： tan A = 3互余兩角三角

2、函數(shù)間的關(guān)系： sin=cos(900-) cos=sin(900-) tan=cot(900-) cot=tan(900-) 通常我們把正弦函數(shù)和余弦函數(shù)叫做互為余函數(shù)，即正弦函數(shù)是余弦函數(shù)的余函數(shù)，余弦函數(shù)也是正弦函數(shù)的余函數(shù)，同樣，也把正切函數(shù)和余切函數(shù)叫做互為余函數(shù)。 上面的四個公式，就可以概括成一句話：一個銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)。 4特殊角的三角函數(shù)值： 00300450600900sin01cos10tan01不存在cot不存在105銳角三角函數(shù)的增減性 正弦函數(shù)和正切函數(shù)是增函數(shù)；余弦函數(shù)和余切函數(shù)是減函數(shù)。6銳角三角函數(shù)值的范圍：0<sin<1，0<

3、;cos<1, tan>0， cot>0 （二）、典型例題例 1：已知在ABC中，C=900，a、b、c分別為A、B、C的對邊，且ba=7， c=13。求ABC中較小銳角的四個三角函數(shù)。 解：ba=7 (b-a)2=49 a2+b2-2ab=49 a2+b2=c2 a2+b2=132 a2+b2=169 1692ab=49 ab=60 (a+b)2=(ba)2+4ab (a+b)2=72+240 (a+b)2=289 a+b>0 a+b=17 由、： a=5, b=12 a<b A 是較小的銳角sin A = cos A = = tan A = cot A = 例

4、 2：已知在ABC中，C=900，sinA=tanB，求cosA的值. 解法一： C=900，sinA=tanB a2=bc a2+b2=c2bc+b2=c2b2+bcc2=0 b1 ,b2 b>0b cosA =解法二： sinA=tanB tanB=cotA cot AsinAsin2A=cosA sin2A+cos2A=1 cosA+cos2A=1 cos2A+cosA1=0cosA cosA>0cosA , 說明：解法一是根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求 cosA 的值，即求的值，解法二是利用c三角函數(shù)間的關(guān)系，建立關(guān)于 cosA 的一元二次方程，從而求出 cosA 的值，解法一是基

5、本的解法，解法二具有一定的靈活性，對于培養(yǎng)同學(xué)的解題能力有好處。 例3 :已知cot+=5, 00< < 900,求cos的值。解： cot+=5+=5 cos+1= 5sin(cos+1)2=25sin2 (cos+1)2=25(1cos2) 26cos2+2cos24=0 13cos2+cos12=0 (13cos12)(cos+1)=0 cos>0 cos+1>0 13cos12=0 cos=說明：本題的條件中沒有說明角在直角三角形中，所以不能通過邊的比求 cos，只能利用有關(guān)的公式建立關(guān)于 cos的方程，從而求出 cos的值。例 4：比較cos230，tan23

6、0，sin230，cot230的大小。 解： tan 230< tan 300= cos230 > cos300=tan230<cos230sin230<=tan230cot230=tan670>1 cot230>cos230sin230<tan230<cos230<cot230說明：銳角三角函數(shù)比大小，有以下幾種情況： 若是同名三角函數(shù)比大小，則利用銳角三角函數(shù)的增減性比大??； 若是異名三角函數(shù)比大小，則化為同名三角函數(shù)進行比較。 若異名三角函數(shù)不能化成同名三角函數(shù)，則需要利用一些“中間量”來比大小，本例題就屬于這種類型。 tan230與

7、cos230比大小時，是利用了兩個中間量，即和；cot230與cos230比大小時，是利用了一個中間量 1。 例 5：比較cos250，tan240，sin230，cot220的大小。 解：tan 240 < tan 300= cos 250 > cos300=tan240<cos250sin230<=tan230<tan240 cot220>1>cos250 sin230<tan240<cos250<cot220 二、解直角三角形（一）、基礎(chǔ)知識1、直角三角形各元素之間的關(guān)系（1）、邊之間的關(guān)系：（2）、角之間的關(guān)系：A+B=900

8、（3）、邊、角之間的關(guān)系：sin A = , cos A = , tan A =，cotA=2、幾個常用術(shù)語（1）、仰角、俯角 （2）、坡度、坡角（3）、方位角 （4）、水平距離、垂直距離3、常見基本類型（1）、測量問題（2）、坡度問題（3）、航行問題（4）、面積問題(三)基本模型圖（二）、典型例題例 1：如圖，在ABC中，C=900，D為BC中點，DEAB于E，AE=7，tanB=,求DE的長解：C=900，DEAB于EtanB=設(shè) DE=k,BE=2k(k>0)=kD 為 BC 中點 BC=2BD=在 RtABC 中 tanB=AC=BC=AB2=AC2+BC2 （AE+BE）2=A

9、C2+BC2 （7+2k）2=（）2+（）23k2-4k-7=0 (3k-7)(k+1)=0 k>0 k+1>0 3k-7=0 k=DE=注(1)使用條件tanB時，必須將B放入一個直角三角型中，使其成為一個內(nèi)角，才可將tanB轉(zhuǎn)化為兩條線段的比,本題中，第一次將其放入RtBDE中，得到=,第二次將B放入RtABC中，得到ACBC 。(2) 解題中若出現(xiàn)線段比，一般情況下可設(shè)出"份數(shù)"，如本題中，=，所以設(shè), DE=k BE=2k，這樣可以使線段之間的關(guān)系明確。 例 2如圖，在ABP中，N為AB中點，APN=900，NPB=300，求A的正切函數(shù)值. 解法一：

10、過 N 作 MNPN，交 PB 于 M P在 RtNPM 中 NPM=300 M = PN=MN A N B APN=900，N為AB中點 MN AP AP=2MN tanA=C解法二： 過 B 點作 BCAP，交 AP 延長線于 C APN=900NPC=900PNPB=300BPC=600 BC=PC A N BN 為 AB 中點 PN/BC P 為 AC 中點AC=2PC 在 RtABC 中 tan A=注：求一個銳角的三角函數(shù)值，一般情況下都要將這個銳角置于一個直角三角形中，解法一是將A 置于 RtAPN 中，解法二是置于 RtABC 中，已知條件中如有特殊角，也要將其置于直角三角形中

11、，解法一是將NPB 置于 RtNPM 中，解法二是將NPB 的余角BPC 置于 RtBPC 中，這樣才可以將銳角的三角函數(shù)與直角三角形的邊的比聯(lián)系起來. 本題還可以有其它解法. 例 3：如圖，四邊形 ABCD 和四邊形 MNBE 均為正方形，MC 交 AB 于 F，已知 sinMCN= ,求cotAME的值。解：ME/NC EMF=MCN sin EMF = sin MCN = 設(shè) EF=5k, MF=13k 在 RtEMF 中 A DE 由勾股定理：ME=12kMF MN=BE=NB=ME=12k NBCFB / MN = = BC=·BN=·12k=k AE=AB-BE =BC-BE=k-12k=k cotAME =。例 4：如圖，在ABC 中，AB=AC，ADBC 于 D，BEAC 于 E，CFAB 于 F，且AD=BE+