七年級(jí)數(shù)學(xué)多邊形內(nèi)角和與外角和

1、 頂點(diǎn)頂點(diǎn)邊邊內(nèi)角內(nèi)角 在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做多邊形多邊形.頂點(diǎn)頂點(diǎn)內(nèi)角內(nèi)角邊邊對(duì)角線對(duì)角線這里所說的多邊形都指這里所說的多邊形都指凸多邊形凸多邊形外角外角外角外角 多邊形多邊形內(nèi)角的一邊內(nèi)角的一邊與與另一邊另一邊的的反向延長線反向延長線所組成的角叫所組成的角叫多邊形的外角多邊形的外角. 在在每一個(gè)頂點(diǎn)每一個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角一個(gè)外角,它們的和叫做這個(gè)它們的和叫做這個(gè)多邊形的外角和多邊形的外角和. 畫出多邊形中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線，寫出它的條數(shù)。畫出

2、多邊形中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線，寫出它的條數(shù)。01235(2) 180n 多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個(gè)的角叫做這個(gè)多邊形的外角(exterior angle) 在每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，它們的和在每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，它們的和叫做這個(gè)叫做這個(gè)多邊形的外角和. 一般地，一般地，在多邊形的任一頂點(diǎn)處在多邊形的任一頂點(diǎn)處按順按順( (逆逆) )時(shí)針方向可作外角，時(shí)針方向可作外角，n n邊形有邊形有n n個(gè)外角個(gè)外角. . 54321新知新知:探究探究在在n邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外

3、角，這些外角的和叫做這些外角的和叫做n邊形的外角和邊形的外角和n邊形外角和邊形外角和=結(jié)論：結(jié)論：n n邊形的外角和等于邊形的外角和等于360360-(n-2) 180=360 A1E BCD 2 3 4 5F nn n個(gè)平角個(gè)平角-n-n邊形內(nèi)角和邊形內(nèi)角和=n180 你能寫出每個(gè)圖形中對(duì)角線的總條數(shù)嗎？如果不行，請(qǐng)畫出所你能寫出每個(gè)圖形中對(duì)角線的總條數(shù)嗎？如果不行，請(qǐng)畫出所有對(duì)角線。有對(duì)角線。0259 太難畫了，能不全畫出太難畫了，能不全畫出對(duì)角線而計(jì)算出來嗎？對(duì)角線而計(jì)算出來嗎？ 你能告訴我二十邊你能告訴我二十邊形的對(duì)角線條數(shù)嗎？形的對(duì)角線條數(shù)嗎？五十邊形呢？一百邊五十邊形呢？一百邊形呢

4、？形呢？n n邊形呢？邊形呢？20歸納總結(jié)歸納總結(jié)邊數(shù)邊數(shù)34568n從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)的對(duì)角線的條數(shù)上述對(duì)角線分成上述對(duì)角線分成的三角形個(gè)數(shù)的三角形個(gè)數(shù)總的對(duì)角線條數(shù)總的對(duì)角線條數(shù)0101222353495620n-3n-2n(n-3)2 過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線過某個(gè)多邊形一個(gè)頂點(diǎn)的所有對(duì)角線, 將這個(gè)多邊形分成將這個(gè)多邊形分成5個(gè)三角形個(gè)三角形.這個(gè)多邊形這個(gè)多邊形 是幾邊形是幾邊形?它的內(nèi)角和是多少它的內(nèi)角和是多少?例例1.解解:依題意依題意, 這個(gè)多邊形是七邊形這個(gè)多邊形是七邊形,它的內(nèi)角和是它的內(nèi)角和是(72) 180=900例例2. 如果一個(gè)多邊形

5、的內(nèi)角和是如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440， 那么這是那么這是 邊形。邊形。十十 解：由解：由n邊形的內(nèi)角和公式可得邊形的內(nèi)角和公式可得（n 2） 180 = 1440 n 2 = 8 n = 10這是十邊形。這是十邊形。 方法小結(jié)：方法小結(jié)： 求多邊形的邊數(shù)、求多邊形的邊數(shù)、角度的常用方法角度的常用方法: 利用公式列方程利用公式列方程.例例3：6、若正、若正n邊形的一個(gè)內(nèi)角是邊形的一個(gè)內(nèi)角是144，那么，那么n= .解：由解：由n邊形的內(nèi)角和公式可得：邊形的內(nèi)角和公式可得：(n 2) 180 = 144n180n 360 = 144n180n 144n=36036n = 360n = 101

6、0例4一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的角和的3 3倍，它是幾邊形？倍，它是幾邊形？ 解：設(shè)這個(gè)多邊形是解：設(shè)這個(gè)多邊形是n n邊形，則它的內(nèi)角和邊形，則它的內(nèi)角和是是( (n n2)2)180180, ,外角和等于外角和等于360360，所以：所以：( (n n2)2)180=3180=3360360解得：解得：n n=8=8答答: :這個(gè)多邊形是八邊形這個(gè)多邊形是八邊形. . 課堂練習(xí)課堂練習(xí):1.1.一個(gè)多邊形的外角都等于一個(gè)多邊形的外角都等于6060，這個(gè)多邊形是，這個(gè)多邊形是n n邊形？邊形？ 解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛偷扔?60，所以根據(jù)題意，可知道這個(gè)多邊

7、形的邊數(shù)是：36060=6 .答:這個(gè)多邊形是六邊形. 2.2.下圖是三個(gè)完全相同的正多邊形拼成的無縫隙不重疊的下圖是三個(gè)完全相同的正多邊形拼成的無縫隙不重疊的圖形的一部分，這種多邊形是幾邊形？為什么？圖形的一部分，這種多邊形是幾邊形？為什么？ 解：設(shè)：這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為解：設(shè)：這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為x x，則由題圖得：則由題圖得：3 3x x=360=360. . x x=120=120. .再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式得：再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式得：n n120120=(=(n n2)2)180180. . 解得解得n n=6 . =6 . 答答: :( (略略) ) 學(xué)以致用學(xué)以致用

8、3、多邊形內(nèi)角和為、多邊形內(nèi)角和為1080則它是（則它是（ ）邊形）邊形。 2 2、十邊形的內(nèi)角和是（十邊形的內(nèi)角和是（ ） ; ; 如果十邊形的如果十邊形的各個(gè)內(nèi)角都相等，那么它的一個(gè)內(nèi)角是（各個(gè)內(nèi)角都相等，那么它的一個(gè)內(nèi)角是（ ） 4、多邊形內(nèi)角和為、多邊形內(nèi)角和為1800則它是（則它是（ ）邊形。）邊形。1、七邊形內(nèi)角和為（、七邊形內(nèi)角和為（ ）900 1440 十二十二 八八 144 求下列圖形中求下列圖形中x的值：的值：01400 x0 x(1)0 x0150012002X(2)0 x0120080075(3)C0 x0135ABDE0150060(4)ABCD課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1、

9、十二邊形的內(nèi)角和是_； 2、若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1620，則此多邊形的 邊數(shù)是_. 3、多邊形的邊數(shù)每增加一條，多邊形內(nèi)角和增加 _ 4、下列哪一個(gè)度數(shù)可成為某個(gè)多邊形的內(nèi)角和 ( ) A. 240 B.600 C. 1980 D. 2180 鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)1 1、如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角等于、如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角等于3030, ,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_。12n30=360n=12n邊形外角和邊形外角和=360 2 2、正五邊形的每一個(gè)外角等于、正五邊形的每一個(gè)外角等于_，每一，每一個(gè)內(nèi)角等于個(gè)內(nèi)角等于_。5X=360X=7272144解：設(shè)正五邊形的每一個(gè)外角度數(shù)為解：設(shè)正五邊形的每一個(gè)外角度數(shù)為x，由，由多邊形的外角和等于多邊形的外角和等于360度可得：度可得：所以每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為所以每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)為108 3 3、已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角、已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的和的2 2倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。 解：解： 設(shè)多邊形的邊數(shù)為設(shè)多邊形的邊數(shù)為n n 它的內(nèi)角和等于它的內(nèi)角和等于 (n-2)(n-2)180180， 多邊形外角和等于多邊形外角和等于360360， (n-2)(n-2)180180=2=2 360 360。 解得解得: n=6: