指數(shù)與指數(shù)冪的運算

1、指數(shù)與指數(shù)塞的運算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】i.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)哥的運算性質(zhì)(1)理解n次方根，n次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的根式計算；(2)能認(rèn)識到分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確 進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的互化；(3)能利用有理指數(shù)運算性質(zhì)簡化根式運算.2 .掌握無理指數(shù)哥的概念，將指數(shù)的取值范圍推廣到實數(shù)集；3 .通過指數(shù)范圍的擴(kuò)大，我們要能理解運算的本質(zhì)，認(rèn)識到知識之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，認(rèn)識到符號化思想 的重要性，在抽象的符號或字母的運算中提高運算能力；4 .通過對根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的關(guān)系的認(rèn)識，能學(xué)會透過表面去認(rèn)清事物的本質(zhì).【要點

2、梳理】要點一、整數(shù)指數(shù)哥的概念及運算性質(zhì)1 .整數(shù)指數(shù)哥的概念(a0,nZ*)2.運算法則(2)mna ；(3)mana(4)ab要點二、根式的概念和運算法則1 . n次方根的定義：若xn=y(n N , n>1 , y R),則x稱為y的n次方根.n為奇數(shù)時，正數(shù)y的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為y ;負(fù)數(shù)y的奇次方根有一個，是負(fù)數(shù)，記為Vy ；零的奇次方根為零，記為0 ；0.n為偶數(shù)時，正數(shù)y的偶次方根有兩個，記為 舊;負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為V02,兩個等式* - n1且 n N 時，va a；n n(2) %aa, (n為奇數(shù))|a|(n為偶數(shù))要點詮釋：要注意上述

3、等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別； 計算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值,尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時， 開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫成|a|的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯誤.要點三、分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的概念和運算法則為避免討論，我們約定 a>0 , n, m* m ，N ,且一為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)哥可如下定義: nn要點四、有理數(shù)指數(shù)哥的運算1 .有理數(shù)指數(shù)哥的運算性質(zhì)a 0, b 0, , Q(1) a a a ;(2) (a ) a ;(3)(ab) a b ;當(dāng)a>0, p為無理數(shù)時，ap是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)哥的運算性質(zhì)仍適用要點詮釋：(1)根式問題常利用指數(shù)哥的意義與運算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化

4、為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥運算；(2)根式運算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換.如 vnr (O21(3)哥指數(shù)不能隨便約分.如(4)4( 4)2.2.指數(shù)哥的一般運算步驟有括號先算括號里的； 無括號先做指數(shù)運算.負(fù)指數(shù)哥化為正指數(shù)塞的倒數(shù).底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用哥的形式表示，便于用指數(shù)運算性質(zhì).在化簡運算中，也要注意公式：a2-b2= (a b) (a+b), (aib) 2=a2±2ab+b2, (a+b)3 = a3±3a2b + 3ab2±b3, a3- b3= (

5、ab) (a2+ab+b2), a3+b3= (a+b) (a2ab+b2)的運用，能夠簡化運算.【典型例題】類型一、根式例1.求下列各式的值:(1)/7;(2對(10)2;(3)f；(4)J(a b)2.a b(a>b)【答案】-3；加； 3； 0(a=b)b a(a<b)【解析】熟練掌握基本根式的運算，特別注意運算結(jié)果的符號（1）5TW 3；（2） 4（ 10）2.10；（3） V（3）4 |3|3;a b（ a>b）（4） &a b）2 |a b| 0（a=b）b a（ a<b）【總結(jié)升華】（1）求偶次方根應(yīng)注意，正數(shù)的偶次方根有兩個， 例如，4的平方根是

6、 2，但不是 "2.（2）根式運算中，經(jīng)常會遇到開方與乘方兩種運算并存的情況，應(yīng)注意兩者運算順序是否可換，何時 可換.舉一反三：【變式1】計算下列各式的值:（1）3/（2）；（2）4/T97；（3）玳47；（4）8（a2）8.a 2(a 2)1) -2 ; (2) 3; (3) 4; ( 4)2 a(a 2)例 2.計算：（1） V52>/6,7 4打，6 4.2;【答案】2乏2亞.【解析】 對于（1）需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運算性質(zhì)求解.對于（2）,則應(yīng)分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1）15 2辰 j 4忌）6 4近=（,3）2 2 32（；&#

7、39;2）2 +,222 23 （ '3）2- , 22 2 2 2 （；2）2=.（3 、2）2,（2、3）2.（2- 2）2=| S 2 |+| 2 、S|-|2 、2|=石板+ 2 石-(2 舊 =2 2 1= T,2 12 1_：2 1/ 1"(.2 1)(.2 1) (,2 1)(. 2 1)=2 1.2 1=2x2【總結(jié)升華】對于多重根式的化簡，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全n次方，再解答，或者用整體思 一，一一 1想來解題.化簡分母含有根式的式子時， 將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例(2)中，-=.2 1的分子、分母中同乘以晨，1).舉一反三：變式1

8、】化簡：(1)JT272 如 匹3 .1物4 ；(2) vx2 2x 1 Jx2 6x 9(|x| 3)【答案】(1) J2 1 ; (2)2x 2( 3 x 1), 4(1 x 3).51135類型二、指數(shù)運算、化簡、求值例3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥形式表示下列各式(式中a>0)：(1) a2 Va ； (2) a3 ； (3) yaVa ； (4)【解析】先將根式寫成分?jǐn)?shù)指數(shù)扇的形式，再利用騫的運算性質(zhì)化簡即可.12 15(1) a2 .a a2 a2 a 2 a2;23211(2) a3 3a2 a3 a3 a 3 a3 ；1 13 13(3) vaTa (a a2)2 (a2)2 a4；(

9、4) 解法一：從里向外化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥2(x21y)212xy2243 x21=山土（。3斤x5=y46y3xx y x112【總結(jié)升華】此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用時，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里, 舉一反三：manVam（a 0, m,n N，且n 1）.用分?jǐn)?shù)指數(shù)哥寫出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡.當(dāng)所求根式含有多重根號高清課程：指數(shù)與指數(shù)運算例1【變式1】把下列根式用指數(shù)形式表示出來,并化簡(1) a 22a ；Jx_ ,x 3 xx5=y4解法二：從外向里化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥.【答案】（1） 210a10； （2） x【變式2】把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)哥:(1) #8& ； (2) VaVa(a

10、0)； (3)b3 3b2 ； (4)3/x(5/x2 )3a4113b3 ； x 5【解析】（1）683722323 22(2)b(3)2211b3 b3 b5；13(a2)x x：_ 1=39,x5例4.計算：19-(x5)31x51(1)(0.0081)4(8)81 0.25(3,8(2) 73 3 33 2463 9433331125 4 ( 36)2 6 (47 3(37.【答案】3; 0; 21【解析】(1)原式=(0.3) 1(2)原式=73 3 63 31(13 323 333原式=-5+6+4-(3-)=2 ;注意：(1)運算順序(能否應(yīng)用公式);舉一反三：【變式1】計算下列

11、各式：1 -(8)3(6)0 80.254.2112; a .(1)( 1)(1)原式=831 (23)4(2)原式1a3(a 8b)(a3)2 2a3b31(2b3)2【變式2】計算下列各式:(4)215.6【答案】21+ 4(2)103指數(shù)為負(fù)先化正;,3)612%a彳a313)612b3(3)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥.a(2) -a341石 8a"b23 ab24b%(11a31(3了32 272233112；高清課程：指數(shù)與指數(shù)運算0 6 3(1.03)0 (3)3【解析】原式=16+ . 6 +5+2 .6 + . 6 =21+-例5.化簡下列各式.21-x45x 3y5 3-x

12、361m 21m2 ； 0.091a31(aW13 (a 8b)1 -(2扭)3a.m m 1 2(2)一7廠;m 2 m22(3)(0.027)3271250.529同一字母的化為該字母的指數(shù)運算;(2)對字【解析】(1)即合并同類項的想法，常數(shù)與常數(shù)進(jìn)行運算， 母運算的理解要求較高，即能夠認(rèn)出分?jǐn)?shù)指數(shù)的完全平方關(guān)系;(3)具體數(shù)字的運算，學(xué)會如何簡化運算215x 3y21x3y11x45 ( 4)124x°y65124y6|)1)6)1m m(2)-m 21m22m22(3)(0.027)3271m 2131m21122m21257290. 5=(3 0.027)21252725

13、9 =0.095 -=0.093舉一反三：【變式1 化簡:3 xy2(、. xy)3 .57【答案】x6y61【解析】原式=xy2(x211y2)33(xy233 1x2 y2)357x6y6.注意：當(dāng)n為偶數(shù)時，Van|a|a(a 0)a(a 0)22【變式2】化簡x y22x 3 y 3xy 2xy2【解析】應(yīng)注意到 x 3與x 2之間的關(guān)系，對分子使用乘法公式進(jìn)行因式分解,原式22(x3)3 (y3)322x 3 y 322(x3)3 (y*)322x 3 y 3(x23)22222(y%)2 (x3)2 x*y32(y *)222(xy) 3xy【總結(jié)升華】根式的化簡結(jié)果應(yīng)寫為最簡根式

14、.（1）被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；（2）被開方數(shù)分母為1 ,且不含非正整數(shù)指數(shù)哥；（3）被開方數(shù)的每個因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù).【變式3】化簡下列式子：(1)3 石(2)“虛 2 通(3)Jx22x 1 收2 、.2 .3【答案】2,2.6； 4歷 4 2； 2x(x 1)2(x1).2(3 、3). 2(3. 3), 2(3 、3)解析(1)原式 =-7)"2 ,4 2 .132 ( 3 1)23 .'33x23x 1、2(3 ,3)22(12 6 3) 2 2©(3 .3)(33)6(2)Q(418 4 2) 2 (4 18)2 24 18 4 2 (4 2)2.

15、18 2418-22 3:2 24 62、2 4.2 2 6 0由平方根的定義得：“治2；6 418 4 2Q 3 x3-3x2-3x-1, x2 2x 1 |x 1|3 (x1)3 x 1x 1(x1)x 1(x1)x2 2x 1 3 x3 3x2 3x 1高清課程：指數(shù)與指數(shù)運算例42x(x2(x1)1)331122cxx3 例6.已知x2 x 23 ,求2的值.x x213從已知條件中解出 x的值，然后代入求值，這種方法是不可取的，而應(yīng)設(shè)法從整體尋求結(jié)果11與條件x2 x 23的聯(lián)系，進(jìn)而整體代入求值.1 1Q x2 x 23, x 2 x 1 9, x x 1 72 222x 2 x

16、49, x x 453 311x2 x 2 3 (x2 x 2)(x 1x1)3-22-x x 247 2二 3 (7 1) 3 15 1-4545 3【總結(jié)升華】 對于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或“化簡后代換”方法求值.本題的關(guān)鍵是先求3x22的值，然后整體代入.舉一反三：【變式1求值:1(1)已知x25,(2)已知a>0b>0 ,且43xa =b , b=9a【解析】熟練掌握騫的運算是關(guān)鍵問題1由x25 ,兩邊同時平方得x+2+x-1=25 ,整理得:x+x-1=23則有x2 123 ; x(2)a>0 ,8. a9b>0199

17、8-2a3ab=b '. . (a鞏固練習(xí)一、選擇題1.若xL 則 J1 6x 39x2等于（A. 3xB.1 3x2.若aA.1B.5 C. -13.計算40A.324.化簡5.A 16A.a1b)babT1(9a)9C. (1 3x)2D.非以上答案4 (2D.1 23 2調(diào)的結(jié)果是（B.16C. 64D.12813212 1612%結(jié)果是1326.若 a 1,b二、填空題B. 12 32C.11321D.212 32B.a8C.a4D. a2B. 22、2則abC. 2a b的值等于（D.27 37 37.計算48.化簡 b(2 ；b1)(1b 2)=_19.( 2)(223)3

18、 =10.若 a3 一-b,化簡7(412ab三、解答題11.計算：2(1)1253134331620.02735030.0016412.計算下列各式:(1) (0.064)(2)3116 0.75 | 0.01|2；a(2)a2bb2b-1a212a21b21b213.計算:x2 x311x3 1x 1x3 12x31x3 1鞏固練習(xí)一、選擇題1.化簡A.1 121322 12.計算4/1A.3213223B.163.若 a 1,b 0,A. . 612 16B. 112 32124C.11322. 2”的結(jié)果是（C. 64B. 24.下列各式中錯誤的是（A.B.C.D.D.1282.2C.結(jié)果是1D.-2132a b的值等于（D.22a512x4 y1a 15 1(a