橢圓定義與幾何意義有關習題及答案

1、橢圓定義與幾何意義習題及答案、選擇題 （每小題4分，共40分）1.y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍.若方程x+與=1（a>b>0）上一點A關于原點的對稱點為b+ky2=2表示焦點在A. (0, +s)B.(0, 2)C. (1, +s)D.(0,1)2.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，滿足MIFu . MfT 0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（A. (0,1)1(0, - C。事 D A23 .已知橢圓x2臺1的左焦點是F1,右焦點是F2，點P在橢圓上,如果線段PF1的中點在軸上，那么PF1 :|PF2的值為4 .已知橢圓的兩個焦點為F1（y'5,0）,F2（

2、V5,0）, m是橢圓上一點，若MF1 MF2 0 ,MF1MF28,則該橢圓的方程是（2(A) xy(B)2(C) xr(D)25.設橢圓， m2 y2 n1(m0, n 0）的右焦點與拋物線8x的焦點相同，離心率為則此橢圓的方程為（2A. -122 L16B.2 x162工1122C .482L 16464 48B, F為其右焦點，若AJ BF,設N AB任，且 運力則該橢圓離心率 的取值范圍為()A 冬1) B .噂，爭 C . , 1)D .9,§ 227.設拋物線y同，離心率為5,則此橢圓的方程為 2二 L 1B. 16 12 2px(p 0)的焦點F恰好是橢圓 t 4 1

3、 a b 0的 a b右焦點，且兩條曲線的交點的連線過點 F ,則該橢圓的離心率為(A)3 ,2(Q 2 1228.在橢圓土 營地b0)上有一點M 下2是橢圓的兩個焦點,若|MFi| IMF2I 2b2,則橢圓離心率的范圍是()A.(°，學B.噂,1)C.學1)D.、,2,1)2 x9.設橢圓m22 y2 n1(m 0, n 0)的右焦點與拋物線2y 8x的焦點相22二匕1A. 12 162 xC. 482 y64D.6448210.在橢圓二a24 1(a b 0)上有一點M, E,F2是橢圓的兩個焦點, b若IMF" IMF2I 2b2,則橢圓離心率的范圍是()A.(0停

4、B.學1) C.號,1)D.五,1)二、填空題 (共4小題，每小題4分)11.已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的焦點F1、F2,點P是C1與C2的一個公共點，PF1F2是一個以PF1為底的等腰三角形，1PF11 4，C13的離心率為，則C2的離心率 為。2212.設F1、F2是橢圓二二1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且PR：94PF=2： 1,則APFR的面積等于1上的點P到它的兩個焦點F1、F2的距離之比PF1 :|PF2 2:73 ,且PF1F2(0),則 的最大值2為.1 4 . 如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓22” 41(a b 0)的左頂點為A ,左焦點為F ,上頂點為B ,若

5、 a bBAO BFO 90°,則橢圓的離心率是.三、解答題(共44分，寫出必要的步驟),»,，一一，,一，、22_ ,15 .(本小題滿分10分)已知點P (4, 4),圓C: (x m) y 5(m 3)(I)求m的值與橢圓E的方程；uuur ujir(n)設Q為橢圓E上的一個動點，求AP AQ的取值范圍. 22C ： f 4 1(a b 0),16 .(本小題滿分10分)已知橢圓a b經(jīng)過點M-2,72-1 ),離心率為2 。過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓 C交 于異于M的另外兩點P、Q(I )求橢圓C的方程；(II ) PMQ能否為直角？證明你的結論；(II

6、I )證明：直線PQ的斜率為定值，并求這個定值。 22C : 2 當 1(a b 。),一、，17.(本小題滿分12分)已知橢圓 a b經(jīng)過點M(-2,42-1 ),離心率為2。過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓 C交 于異于M的另外兩點P、Q。(I )求橢圓C的方程；(II )試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結論18.(本小題滿分12分)已知橢圓G、拋物線C2的焦點均在x軸 上，Ci的中心和C2的頂點均為原點O,從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中:x324y2百042(I )求Ci、C2的標準方程;(n)請問是否存在直線i滿足條件：過C2的焦點f ；與Ci交皿 uur不同

7、兩點M、N,且滿足OM ON ?若存在，求出直線l的萬程；若不存在，說明理由.答案一、選擇題I. D2, C3. D4. C5. B6. B7. C8. B9. B10. B二、填空題II. 3 12. 413.-14. -5-32三、解答題15.解：(I )點A代入圓C方程，得(3 m)2因為nx3,m= 1. 2分 圓 C： (x 1)2 y2 5 .設直線PF的斜率為k,則 PF： y k(x 4) 4 , 即 kx y 4k 4 0 .因為直線PF與圓C相切，所以1k 0 4k 4|布. k2 1解得k U,或k -. 22當k=U時，直線PF與x軸的交點橫坐標為 登，不合題意，舍 2

8、11去.當k=-時，直線PF與x軸的交點橫坐標為一4, 2所以 c=4. Fi (一4, 0), F2 (4, 0).2a = AF + AF=5短 衣 6夜，a 3應，a2=18, b2=2.22橢圓E的方程為：土上1.182(H) AP (1,3),設 Q (x, y) , AQ (x 3,y 1),LUU UULTAP AQ (x 3) 3(y 1) x 3y 6 .22因為二匕 1 ,即 x2 (3y)2 18 ,182而 x2 (3y)2>2|x| |3y | ,一 18W 6xy <18.則(x 3y)2 x2 (3y)2 6xy 18 6xy 的取值范圍是0, 36.

9、x 3y的取值范圍是6, 6.所以APAQ x 3y 6的取值范圍是12, 0.4116. (I)由面殳a2 + b2，由、解得a2=6, b2 = 3, 橢圓C的方程為? 十q=1.63(H)記 P(x1 , y1)、Q(x2, y2).設直線MP勺方程為y+1 = k(x +2),與橢圓C的方程聯(lián)立，得(1 +2k2)x2+(8k2 4k)x+8k28k 4=0,一2, x1是該方程的兩根,則一2x18k2-8k-4 x1 1 + 2k2 '-4k2 + 4k + 21 + 2k2設直線MQ勺方程為y+1 = -k(x + 2),同理得x2 =-4k2-4k+21 + 2k2因 y

10、1 + 1 = k(x1 +2) , y2+1 = - k(x2 + 2),8k故 kPQ=y1-y2 k(x1 +2) +k(x2 +2) x1 x2x1 x2k(x1 +x2 + 4)x1 x21 + 2k21 + 2k2因此直線PQ的斜率為定值.17.一 41(I)由題設，得a2+b2=1，且浮由、解得a2=6, b2 = 3,橢 圓 C 的 方 程x26y231. 3分(II)設直線MP勺斜率為k,則直線MQ勺斜率為一k,假設/ PM直角，則 k ( k) = 1, k=± 1.若k=1,則直線M昉程y+1 = (x+2),與橢圓C方程聯(lián)立，得x2 + 4x + 4=0,該方

11、程有兩個相等的實數(shù)根-2,不合題意;同理，若k=1也不合題意.故 / PMQ 不 可 能 為 直角. 6分(田)記 P(x1 , y1)、Q(x2, y2).設直線MP勺方程為y+1 = k(x +2),與橢圓C的方程聯(lián)立，得 (1 +2k2)x2+(8k2 4k)x+8k28k 4=0,8k28k4-4k2 + 4k + 2一2, x1是該方程的兩根,則一2x1.x1 =1 + 2k2 '1 + 2k2設直線MQ勺方程為y+1 = -k(x + 2),驗證4個點知(3 ,20)、(4 ,4 )在拋物線上，易求同理得x2 4k24k+2(ab 0),把點（2, 0）（金,手代人得:4

12、a2 a12b2解得a： 42C1方程為人 4（H）法一:假設存在這樣的直線l過拋物線焦點F（1,0）,設直線l的方程為x 1 my,兩交點坐標為 M (X1,y1),N(X2,y2),x 1 my由x22消 去 x7 y 1(m 4)y 2my 3 0, 7分.2m3.m，y1y2 2X1X2 (1 m% )(1 my2) 1 m(y y2) m V1V22, 2m 234 4m1 m 2m 2 -2m 4 m 4 m 49分.uuuuULUT 0(*)由 OM ON,即 OM ON 0,得 X1X2 y1y22將代入（*）式,得*0，11分所以假設成立，即存在直線l滿足條件，且l的方程為：

13、y 2x 212分法二：容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意;當直線l斜率存在時，假設存在直線l過拋物線焦點F(1,0),設其方程為yk(x1),與 C1 的交點坐標為 M (x1,y1),N(x2,y2)2x 2.7 y 1y k(x 1)(1 4k2)x28k2x4(k2于是x1x221 4k2x1x24(k2 1)1 4k2V1V2 k(x1 1) k(x1 1), 2k xx2 (x1 x2)1yy22kir1 4k8k21 4k21)3k21 4k210分由湍r ON,即而 ON 0,得 x1x2 y1y20(*)22將、代入（*）式，得如1 4k 1 4kk2 41 4k22；11分所以存在直線l滿足條件，且l的方程為：y2x 2或12分22x y-二-二 1(a b 0)與橢圓E: a2 b2 ()有一個公共點A (3, 1), F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1