概率論復(fù)習(xí)題答案

1、一、單項(xiàng)選擇題1已知隨機(jī)變量 X在(1, 5)之間服從均勻分布，則其在此區(qū)間的概率密度為(C )A. B. C. D 42已知二維隨機(jī)變量(X, Y)在(X>0,Y>0,X+Y<1之間服從均勻分布，則其在此區(qū)間的概 率密度為(B )A. 0 B. 2 C. D 13已知二維隨機(jī)變量(X, Y)在(X>0,Y>0,X+Y<2之間服從均勻分布，則其不在此區(qū)間的 概率密度為(A )A. 0 B. 2 C. 1 D 44已知P(A尸，則P(A A)的值為( D )(A)(B)(C) 0(D) 15已知P(A尸，則P(AA)的值為( C )(A) 1(B)(C) 0(

2、D)6. A, B, C是任意事件，在下列各式中，成立的是( C )a. A B=a bb. A B=abC. A BC=(A B)(A C) D. (A B)(A B )=AB7設(shè)隨機(jī)變量 XN(3,16),則PX+1>5為(B )A.B. 1 -C.(4 )D.(-4)8 設(shè)隨機(jī)變量 XN(3,16), YN(2,1),且 X、Y 相互獨(dú)立，則 PX+3Y<10為( A )A.B. 1 -C.(0 )D.(1)9.已知隨機(jī)變量 X在區(qū)間(0, 2)的密度函數(shù)為，則其在此區(qū)間的分布函數(shù)為( C )22A. X B. C. X D. x10已知隨機(jī)變量 X在區(qū)間(1,3)的密度函數(shù)

3、為，則x>3區(qū)間的分布函數(shù)為( B )22A. X B. 1 C. X D. 011 .設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 PX=n=,n=0,1,2則稱隨機(jī)變量X服從(B ) e n!A.參數(shù)為入的指數(shù)分布B.參數(shù)為入的泊松分布C.參數(shù)為入的二項(xiàng)式分布D.其它分布12 .設(shè)f (x)為連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)，則f (x)值的范圍必'須( B )。(A) 0 網(wǎng)x)居 1(B) 0 留x);(C) f (x)國(guó) 1(D) 沒(méi)有限制13 .若兩個(gè)隨機(jī)事件 A和B同時(shí)出現(xiàn)的概率 P(AB)=0,則下列結(jié)論中正確的是 (C )(A) A和B互不相容.(B) AB是不可能事件.(C)

4、AB未必是不可能事件.(D) P(A)=0或P(B)=0.14.設(shè)f (x)為連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)，則( D )。(A) 0 網(wǎng)x)號(hào) 1(B) P (a< X<b) = f (b);(C) lim f (x) 1；(D) f (x)dx 1x15.在下列Z論中，錯(cuò)誤的是(B ).(A)若 X B(n, p),則E(X) np.(B)若 X U 1,1 ,則 D(X) 0. 2X(C)若X服從泊松分布，則D(X) E(X) .(D)若XN(,),則N(0,1).16.設(shè)隨機(jī)事件A, B滿足關(guān)系A(chǔ) B ,則下列表述正確的是().(A)若A發(fā)生，則B必發(fā)生.(B) A , B同

5、時(shí)發(fā)生.(C)若B發(fā)生，則A必不發(fā)生.(D)若A不發(fā)生，則B一定不發(fā)生.17.設(shè)A, B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且0 P(A)1,則下列命題正確的是).(A)若 P(AB) P(A),則 A, B 互斥.(B)若 P(B A) 1,則 P(AB) 0.(C)若 P(AB) P(AB) 1則 A,B 為對(duì)立事件.(D)若 P(B|A)1,則B為必然事件.18.設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(D ).(A) (X, Y)的邊緣分布仍然是正態(tài)分布(B) X與Y相互獨(dú)立等價(jià)于 X與Y不相關(guān).(C) (X, Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量.(D)由(X, Y)的邊緣分布可完全確定(X Y)的聯(lián)合分

6、布19.設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布，下列結(jié)論中正確的是(B ).(A) (X, Y)的邊緣分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(B) X與Y不相關(guān)等價(jià)于 X與Y相互獨(dú)立.(C) (X, Y)是二維離散型隨機(jī)變量.(D) X與丫相互獨(dú)立則其相關(guān)系數(shù)為120.設(shè)Fi(X), F2(x)分別為隨機(jī)變量X1和X2的分布函數(shù)，為使F(x) aF1 (x)bF2(x)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則a,b應(yīng)取(A ).2 u(B)a -,b3(C)a 2,b32；1 .(D)a -,b23.21 .設(shè)X與Y均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則(A) E(X+Y) =0;(B) D(X+Y)=2;(C) X+YN(0,1);(D) X與丫

7、相互獨(dú)立22 .設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，且0<P(B)<1,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(A ).(A) A與B 一定互斥.(B) P( AB) P(A)P(B).(C) P(A|B) P(A).(D) P(AU B) P(A) P(B)P(A)P(B).23.設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且都服從 N(),則下列各式中正確的是(D ).(A) E(XY)E(X)E(Y).(B)E(XY)2.2(C) D(XY)D(X)D(Y) .(D)D(XY)224 .在下列Z論中，錯(cuò)誤的是(C ).(A)若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，則 D(X)=np(1-p)(B)若隨機(jī)變量X服從區(qū)間(-3,3)上

8、的均勻分布，則 D(X)=3(C)若X服從指數(shù)分布，則D(X) E(X).H2 iX(D)若 X N(,),則N(0,1).25 .設(shè)F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若b>a,則F(b)-F(a內(nèi)下列( C )等價(jià)。A. Pa < X < b D. Pa w X < b C. Pa < X & b B. Pa w X < b26 .設(shè)F(x)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若b>0,則F(b)與下列( D )不等價(jià)。A. P X < b D. P-8 < X < b C. F(b)-F(8)B. F" )-F(b)27 .設(shè)

9、XN(0,4) , YN(0,4)，以下(C )的概率有可能不為0A. PX = 2Bo PX=2 | Y>1 C. PX>1 | Y=2 D. PX=2 , Y>2 28 . PX>2,Y>3與以下(C )的式子等價(jià)A. PX>2PY>3 Bo PX>2 + PY>3 C. PX>2Y>3 D. PX>2Y>329 .在下列結(jié)論中，(D )不是隨機(jī)變量 X與Y不相關(guān)的充分必要條件(A) E(XY)=E(X)E(Y).(B) D(X+Y)=D(X)+D(Y).(C) Cov(X,Y)=0.(D) X 與 丫相互獨(dú)立.

10、30設(shè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，他們的聯(lián)合密度函數(shù)為f (x, y),聯(lián)合分布函數(shù)為F(x, y),邊緣密度函數(shù)分別為fX(x)、fY(y),邊緣分布函數(shù)分別為FX(x)、FY(y),則不成立的 式子是 D.A.PX>2,Y>2=PX>2 PY>2 B. F (x, y) FX (x)FY(Y)C. f(x, y)fX(x) fy(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)、填空題1 已知 P( A)= , P(B)=, P(AB)=,則 P(A B)2,2.已知隨機(jī)變量 X的分布律如下。設(shè) Y X 1,則PY=0的概率為()X |-101P|3.已知隨機(jī)變量 X的分布律為如

11、下，則 E(X為，D(X)為。X |134P|1(x 1), 0 x 2, 一4設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為 f(x) 4'，則PX<1為。0,其他.5、設(shè)A,B,C是三個(gè)隨機(jī)事件，試以事件運(yùn)算關(guān)系來(lái)表示A,B,C未同時(shí)發(fā)生(ABC)。6、已知 P(A B) 0.8, P(B) 0.7,則 P(AB)=()。7、 8件產(chǎn)品中含有兩件次品，從中任取三件，則恰有一件次品的概率為(1328)。8、設(shè)隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布 B(n, p),且其數(shù)學(xué)期望和方差分別為E(X) 6,D(X) 3.6,則 n (15 ), p ()。9、設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，已知 X,Y的方差分別為 D

12、(X) 25, D(Y) 16 ,相關(guān)系數(shù)為刈 0.4。則 D(3X 2Y)(193)。10.設(shè)A, B, C是三個(gè)隨機(jī)事件.事件：A不發(fā)生，B, C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為A(BUC)12 .在三次獨(dú)立的重復(fù)試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率相同.已知至少成功一次的概率為19 ,27則每次試驗(yàn)成功的概率為1/3.13 .設(shè)隨機(jī)變量X,與Y的相關(guān)系數(shù)為0.5, E(X) E(Y) 0, E(X2) E(Y2) 2,則E(X Y)2=6.14 .設(shè) P(AB)=P( AB ),且 P(A)=p,則 P(B)=1-p ox215 .設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為F(x) 1 e , x 0,則E(3X+5

13、)= 0, 其它1116.設(shè) D(X)=D(Y)=2, Cov(X,Y)=1,則 D(2X-Y)=6。17 .已知 P(A)=, P(B) 0.3,P(AU B) 0.4,則 P(AB) =18.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，且E(X-1)(X-2)=1 ,則參數(shù)=19.1 e 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)30,x 0,貝U E(2X+5)=11 o其它20.設(shè) D(X)=4, D(Y)=9, XY 0.5 ,則 D (3X-2Y)=66。21.布設(shè)隨機(jī)變量XN(-1, 5), YN(1, 2),且X與Y相互獨(dú)立，則 X-2Y服從 N(-3,13) 分22 .設(shè)隨機(jī)變量23 .設(shè)隨機(jī)

14、變量X N(0,10)，則P |X| < 12 的概率大約為X N(5,10)，則 P X-5<0 的概率為24 .已知隨機(jī)變量X、Y的分布律為如下,X |134r P I 人八EL,且相互獨(dú)立，則其聯(lián)合分布律為Y |0325 .設(shè)隨機(jī)變量X、Y的概率密度函數(shù)分別為3x2,f (x)=0,0 x 1其他g(y)= 4y3, 0,0 y 1,其他，且相互獨(dú)聯(lián)合概率密度函數(shù)為(f(x,y)2312x y ,0,y 1,0 x其他，26.某甲乙丙三個(gè)向某目標(biāo)獨(dú)立同時(shí)射擊一次, 標(biāo)的概率為其擊中目標(biāo)概率分別為,一則三個(gè)全擊中目27.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合概率密度f(wàn) (x, y)kx2

15、 y3, 0 y 1,0 x 10,其他,則常數(shù)k的值為 _12_28 .設(shè)隨機(jī)變量XB(4,的二項(xiàng)式分布(PXk Ckpk(1 p)n k),則 PX=3的值為()ke1,一 一，_229 .設(shè)隨機(jī)變量XP(2)的泊松分布(PX k ),則PX=1的值為( 2e )k!30 . A, B, C是任意事件，在下列各式中，不成立的是( D )A. A AAb. A A AAC. A BC=(A B)(A C) D. AB A B三、計(jì)算題1.甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)某飛機(jī)進(jìn)行射擊，他們擊中目標(biāo)概率分別為、，如果三個(gè)射手獨(dú)立地同時(shí)發(fā)射，問(wèn)(1)甲擊中，乙、丙沒(méi)擊中飛機(jī)的概率(2)至少一人擊中飛機(jī)的概率

16、(3)至少一人沒(méi)擊中飛機(jī)的概率(4)恰好一人擊中飛機(jī)的概率解 設(shè)A、B、C分別表示甲、乙、丙三人擊中飛機(jī)事件。則 P(A尸,P(B)=,P(C)=P(A) 0.3,P(B) 0.2,P(C) 0.1(1) P(BCA) P(B)P(C)P(A) 0.2 0.1 0.7 0.014(2) P(A U B U C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC尸 P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(A)P(C)+2P(A)P(B)P(C)= * + * +*+*=或P(A U B U C) P(ABC) 1 P(ABC) 1 P(A

17、)P(B)P(C)1 0.3* 0.2* 0.1 0.994 P(A B C) P(ABC) 1 P(ABC) 1 P(A)P(B)P(C)1 0.9* 0.8* 0.7 0.504(4)P(aBc aBc Abc) p(ABc) p(aBC) p(abC)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)0.3* 0.2* 0.9 0.7* 0.2* 0.1 0.3* 0.8* 0.1 0.0923).如果 B A,則計(jì)算 P(AB)、P(A B)答 1). P(AB)= P(A)P(B)=1/2 * 1/5=1/10P(A B)=P(A) + P(B) -P(AB

18、)=1/2+ 1/5 -1/10=3/52) . P(AB)= 0P(A B)=P(A) + P(B) -P(AB)=1/2+ 1/5 - 0=7/103) . P(AB)= P(A)= 1/5P(A B)=P(A) + P(B) -P(AB)=P ( B)=1/23.設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布率如下：1) .求a的值。 2).求X的分布函數(shù)3).求隨機(jī)變量 Y=X2 1的概率分布4).求 PX<2, P<X<4, P丫>5,5) PX<| XW1X |-1134P | a答 1). a=1 -=2) .當(dāng) x<01F(x)=0;當(dāng)-1<x<1F

19、(x)=PX=-1=;當(dāng) K x<3F(x)=PX=-1+PX=1=+=;當(dāng) 3< x<4F(x)= PX=-1+PX=1+PX=3=+ + =;當(dāng) xR 4 F(x)=PX=-1+PX=1+PX=3+PX=4=+=10,x10.25,-1x 1F(x)0.55,1 x 30.85,3x41, x 43).Y I 2P I10174) PX<2= PX=-1+PX=1=+=P<XQ=F(4)-F=PY>5=PY=9+PY=17=+=5)PX 3.5 |X 10.25 0.30.25 0.3 0.15PX 3.5 X 1PX 1 11 14PX 1 PX 3P

20、X 1 PX 3 PX 44.已知產(chǎn)品的正品率為，現(xiàn)有這樣一批產(chǎn)品100件(1)用二項(xiàng)分布分別求這批產(chǎn)品中恰好有2件正品與恰好有 2件次品的概率。(列出式子就可以)。(2)用泊松分布求這批產(chǎn)品中恰好有2件次品的概率。答 根據(jù)題意，設(shè)隨機(jī)變量 X表示恰好兩件正品，則 n=100,p=,k=2, 若隨機(jī)變量 Y表示恰好兩件次品，則 n=100,p=,k=2。(1)PX 2 Cnkpk(1 p)n k C1O0 0.992 0.0198 PY 2 C；(1 p)kPn kC00 0.012 0.9998 0.185(2)設(shè)隨機(jī)變量 Y表示恰好兩件次品X=np=100*=1 , k=2PY 2k!2!

21、10.1842e5.設(shè)隨機(jī)變量 XN(4,9) , YN(2,1) (1)計(jì)算 PX<7、PX>3、P0<X間 (2) PX+4Y>13(1).PX7)PX 3) 1P0 X 5X 4P-TX 4 3 4PX 3 1 P 丁1335 40 4()()(0.333) 133(0.333)(1.333)(0.333)(2)設(shè)Z=X+4Y,U隨機(jī)變量Z也是服從正態(tài)分布.則 E(Z)=E(X+4Y)=E(X)+4E(Y)=4+8=12D(Z)=D(X+4Y)=D(X)+16D(Y)=9+16=25 則 ZN(12,25).PX 4Y 13) PZ 13Z 1213 12 Z 1

22、2P P 0.2) 1555(0.2)6.某廠由甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為5:3:2,各車間產(chǎn)品的合格率依次為90%, 80%, 70% 。現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件，求： 1).取到不合格產(chǎn)品的 概率；2).若取到的是不合格品，求它是由甲車間生產(chǎn)的概率。3).若取到的是合格品，求它是由甲車間生產(chǎn)的概率。答：設(shè)事件A,B,C分別表示甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)，事件 依題意 P(A)=, P(B)=,P(C)=0.2 ; P(H|A)=, P(H|B尸,P(H|C)= 則 P(H|A)=1-P(H|A)= 1 -=1) P(H)=P(A)* P(H|A) + P(B)* P(

23、H|B) + P(C)* P(H|C)=* + * + * =P(H )=1-P(H)=2) P(A| H ) = P(H |A)P(A) / P( H )=* / =5/17 =3)P(A|H) = P(H|A)P(A) / P(H) = * = 45/83 =H表小產(chǎn)品合格率0, x 07.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為F(x) x2, 0 x 1 ,1, x 1求：(1) X 的概率密度 f(x) ; (2)PX< U X> (3)數(shù)學(xué)期望 E X2 E(X)解：(1)根據(jù)分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系F (x) f(x),可得f(x)2x, 0 x 1,0, 其它.=1- E

24、X2 E(X) E(X2) E(X)"x8設(shè)二維隨機(jī)變量(X"聯(lián)合概率密度f(wàn) (x,y)=y3 0,2,0 y其他，1,(1)計(jì)算X和丫的邊緣概率密度f(wàn)X(x), fY(y)(2)問(wèn)隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立為什么 求概率 P X<1, PX>1,Y<(4)求條件概率 P Y<|X>1, P Y=0| X<2 (5)求條件概率密度f(wàn)y|x ( y |x)(6)求 E(X),E(Y) , D(X), D(Y)(7)求 E(XY)(8)求協(xié)方差Cov(X,Y)相關(guān)系數(shù)xy1.答案：當(dāng)0Vx<2fx (x)f(x,y)dy1x y , d

25、y0 32 .xy y /2|02x62x 1 -fx (x)x0,其它fy(y)f(x, y)dx23dx0 32_x /2 xy|22 2y32 2y八fy(y)T0 y0,其它(2)隨機(jī)變量X與Y不是相互獨(dú)立，因 f (x, y)不等于兩個(gè)邊緣概率密度相乘。f(x, y)fx (x) fY(y)PX 11 2x 1 dx0 6x10PX 1,y0.5：Tdydx2(xy1 ly2 /2) 0.5dx24x 1 dx1 242x224724(4) P Y 0.5|X1PX 1,YPX0.51PX 1,Y 0.51 PX 17/2471 1/316P Y=0| X<2=0;當(dāng)0 x 2

26、時(shí),0 yfYiX(y |x)f(x, y)(x y)/3即，當(dāng)0fY|X (y | x)(6) E(Y2)_ 2E(X )fX (x)2x 2y2x 10,其它(2x1)/62x 2y2x 1,02y fY(y)dy22 y -2ydy2y334y237_182x 1 ,dx64 x26169EX=xfX (x)dx2x 1 , dx6c 322x x3261191EY= 0 y"dy32y333DXE(X2)(EX)2DY22E(Y2) (EY)27181694(%(9)2381311622e(xy)032x x181 x y xydydx032320(x2y2/2 "

27、")dx 023x2 2x , dx01811710812(8) Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= 一3Cov(X,Y)刈D(X)D(Y)10/81233181 162(2)求X和Y的邊緣分布律(3)問(wèn)隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立為什么(4) 求概率 P Y>-1, P 0<X<3 , Y 0(5)求條件概率 PY>0 |X<2,PY<1|X=2(6)求 EX,EY , DX, DY(7)求協(xié)方差Cov(X,Y)相關(guān)系數(shù)xy(8)求 E(X-2Y+3) , D(X-2Y-2)(9)求概率 PX-Y=1, PX>Y(10)求Z=X

28、+Y分布律，U=MinX,Y分布律答案：(1) A=1 - - - =(2)Y'XX 02-1P i.XX |02P I隨機(jī)變量Y的邊緣分布律丫 |-101P I不獨(dú)立， 因?qū)θ我鈏, j有Pij不等于Pi.*(4) P Y>-1=PY=1+PY=0=+=P0<X<3 , Y 0=PX=2,Y=-1+PX=2,Y=0=+=(5) PY 0|X 2PX 2,Y 0 PX 0,Y 1PX 2PX 0005 0PY 1 |X2 PX 2,Y 1P PX 2PX 2,Y 0 PX 2,Y1PX 20.15 0.30.65913(6) EX=0*+2*=EY=(-1)* + 0

29、*+1* =_2_2_DX E(X ) (E(X)(0* 0* 0.35 2* 2* 0.65) (1.3)* (1.3)2.3 1.69 0.91_2_2_DY E(Y ) (E(Y)( 1)* ( 1)* 0.4 0* 0*0.4 1*1* 0.2 ( 0.2)* ( 0.2) 0.56(7) E(XY)= 0*(-1)* + 0*0* + 0*1*0 + 2*(-1)* + 2*0* + 2*1*=Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=Cov(X,Y) 1.383xy '.D(X)D(Y) . 0.91* 0.56(8)求 E(X-2Y+3)=E(X)- 2E(Y) +

30、 3= - 2*+3 =D(X-2Y-2)=D(X)+4D(Y)-2Cov(X,Y)= +4* *=(9) PX-Y=1= PX=0,Y=-1+PX=2,Y=1= + =3PX>Y=PX=0,Y=-1+PX=2,Y=-1 + PX=2,Y=0 + PX=2,Y=1 =+=(10)PZ=-1=PX=0,Y=-1= , PZ=0=PX=0,Y=0=PZ=1=PX=2,Y=-1 + PX=0,Y=1= + 0=,PZ=2=PX=2,Y=0= , PZ=3=PX=2,Y=1=Z=X+Y | -10123P |PU=-1=PX=0,Y=-1 + PX=2,Y=-1 =+=, PU=0=PX=0,Y

31、=0 +PX=0,Y=1+PX=2,Y=0 = + 0 + =PU=1=PX=2,Y=1=U=Min(X,Y) |010設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合概率密度f(wàn) (x,y)=20.75x y, 0 x 2,0 y 1,0,其他,關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)X(x), fY(y)(2)問(wèn)隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立為什么求概率 P X>1, PX>1,Y<(4)求條件概率 P Y<|X>1, P Y=0| X<2(5)求條件概率密度£丫供(y |x)(6)求 E(X),(7)求 E(XY)E(Y) , D(X), D(Y)(8)求協(xié)方差Cov(X,Y)

32、相關(guān)系數(shù)xy答案: fX(x)c ri- 2，0.75x ydy2075x2(J2) 102” 0.375x28fX (x)fY(y)2 _0.375x ,0 x20,其它32X 20.75x ydx 0.75y()|0 2y3fY(y)2y,0 y 10,其它(2)隨機(jī)變量X與Y是相互獨(dú)立，因 f (x,y)等于兩個(gè)邊緣概率密度相乘。f(x, y) fX(x)fY(y)P X 120.75x ydydx221 0.75x2(5)|0dx2 20.375x2dx130.375 |1230.875 - 80.5P X 1,y 0.5C ri- 2，0.75x ydydx222 3y 0.5, x

33、 () |0 dx2 .x dx3|2 0.2187532732(4) P Y 0.5|X1PX 1,Y 0.5PX17/320.257/8P Y=0| X<2=0;當(dāng)0 x 2時(shí),0 yfYiX(y |x)f (x, y)fX (x)20.75x2y20.375x22y即，當(dāng)0fYiX (y | x)2y,0 y0,其它2(6) E(Y2)2y fy(y)dy2y3dy_ 2E(X )20.375x dx5-3x ,2 12.105EX=xfX (x)dx3x28dx3x432|21.51EY= 0 y 2 ydy2y33|0DX E(X2)(EX)DY E(Y2)(EY)212 .3

34、o7 (2)1 ,2 2一(一)2 3320118(7)因X,Y獨(dú)立E(XY尸E(X)E(Y)=*(23)=1Cov(X,丫尸E(XY)-E(X)E(Y)=0_Cov(X,Y)_ 0xy0D(X)D(Y)03C(1)求常數(shù)C(2)求X和Y的邊緣分布律(3)問(wèn)隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立為什么(4)求概率 P X>0, P2 X >, Y 1(5)求條件概率 PY>1 |X<2,PY<1|X=2(6)求 EX,EY , DX, DY(7)求 E(2X-3Y) , D(2X-Y+4)(8)求協(xié)方差Cov(X,Y)相關(guān)系數(shù)xy(9)求概率 PX-Y=1,PX>Y(1

35、0)求Z=X+Y分布律，V=MaxX,Y分布律(11)求 PX<2|XM答案：(1) C=1(2)X'Y'X01203CP i.1隨機(jī)變量X的邊緣分布律X |012P|隨機(jī)變量Y的邊緣分布律Y |03P|獨(dú)立， 因?qū)θ我鈏, j有Pij=Pi. *(4) P X>0=PX=1+PX=2=+=(5) PY 1|X 2PX 2,Y 1PX 2P2 X > , Y 1=PX=2,Y=0+PX=1,Y=0=+=PX 1,Y 3 PX 0,Y 3PX 1 PX 00.18 0.12 0.60.3 0.2PY 1 |X 2PX 2,Y 1PX 2,Y 00.2PX 2PX

36、 20.50.4(6) EX=0*+1*+2*=EY=0* + 3* =_2_2_DX E(X ) (E(X)(0* 0* 0.2 1*1*0.3 2*2* 0.5) (1.3)* (1.3)2.3 1.69 0.61DY E(Y2) (E(Y)20* 0* 0.4 3*3* 0.6 1.8* 1.8 2.16(7)求 E(2X-3Y)=2E(X)- 3E(Y)= 2* - 3* =D(2X-Y+4)=4D(X)+D(Y)= 4* + =(8)因隨機(jī)變量X、Y獨(dú)立Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)= E(X)E(Y)-E(X)E(Y)=0;xy =0；(9) PX-Y=1=PX=1

37、,Y=0=PX>Y=PX=1,Y=0+PX=2,Y=0=+=(10)PZ=0=PX=0,Y=0= , PZ=1=PX=1,Y=0=PZ=2=PX=2,Y=0=,PZ=3=PX=0,Y=3=PZ=4=PX=1,Y=3=PZ=5=PX=2,Y=3=Z=X+Y | 012345P |PV=0=PX=0,Y=0= , PV=1=PX=1,Y=0=PV=2=PX=2,Y=0=PV=3=PX=0,Y=3+PX=1,Y=2+PX=2,Y=3=+=V=Max(X,Y) |0123P |(11) PX2 |X 1PX 2X1PX 1PX 00.22PX 0 PX 20.2 0.57kxy, 0 x 2,0

38、 y 1,12設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合概率密度f(wàn) (x,y尸則0,其他，(1)求常數(shù)k(2)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度f(wàn)x(x), fY(y)(3)問(wèn)隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立為什么(4)求概率 P X>1, P>X>1,Y<求 EX EY , DX, DY(6)求 E(2X-3Y) , D(3X-Y), E(2XY)答案:(1)1210 ° kxydydx1 dy02kxkx22dx ()0 24k=1(2)當(dāng) 0WxW21y2 1、，一fx (x)0 xydy x (5)0 x/2,x為其他值時(shí)，fx (x) 0當(dāng) 0WyW 1-2x2 2、，一fY

39、(y)° xydx y() 2y, y為其他值時(shí)，fY(y)fx(x), fY(y)分別為 x/2 與 2y;(3)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，因f (x,y)等于兩個(gè)邊緣概率密度相乘。當(dāng) 0WyW 1,當(dāng) 0WxW 2f(x, y)fx(x)fY(y) =xy其他 f(x, y) fx (x) fy(y)=02 12 y2 1o xydydx x() dx2x dx1 2(4)Px 1 P1 x 2,0 y 1或22 xPx 1 P1 x 21 fx(x)dx 1 2dx 3/41.5 0.51.5 xP1.5 x 1,Y 0.5 P1.5 x 1,0 Y 0.51 0 xydydx

40、1 -dx 5/64 E(Y2) ；y2fY(y)dy：2y3dy 魚(yú)：1004 0 222 22 xE(X )0x fx(x)dx 。萬(wàn) dx 22EX= 0 xfx(x)dx2Wdx0 211EY= 0 yfY (y)dy 0 2 yydyDX E(X2) (EX)2 2 (g)22212 2DY E(Y2) (EY)2 - (-)2232/329118(6) E(2X-3Y)=2EX - 3EY =2*43 - 3*2/3= 2/3 因X,Y相互獨(dú)立D(3X-Y)=9DX + DY = 9*29 + 1/18 = 37/18E(2XY)=2E(X)E(Y)=2*(43)*(2/3)=16

41、/913設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)聯(lián)合分布律為'Sy''x01201/61/121/1211/3C1/6(1)求常數(shù)C(2)求X和丫的邊緣分布率(3)問(wèn)隨機(jī)變量X與Y是否相互獨(dú)立為什么(4)求概率 P X>1, P2 X > 1, Y 1(5)求 EX, EY , DX, DY(6)求 E(2X-3Y) , D(4X-Y)(7)求概率 PX+Y=2, PX>Y(8) W=X+Y的分布律。答案：(1) C=1-1/6 - 1/12 -1/12 - 1/3 -1/6 =1/6(2)邊緣分布率為(黑色部分)VxX01201/61/121/121/311/31/

42、61/62/3P i.1/21/41/41獨(dú)立，因?qū)θ我鈏, j有Pij=Pi.(4) P X>1=PX=2,Y=0+PX=2,Y=1=112 + 1/6 =1/4P2 X > 1, Y 1= PX=2,Y=0+PX=2,Y=1=112+1/6=1/4(5) EX=Pi. Xi =0*1 /2+ 1*1/4+ 2* 1/4=34EY= P.j yj =0*1/3 + 1*2/3 =Z311/16DX E(X2) (E(X)2 (02* 1/2 12* 1/4 22*1/4) (3/4)2_2_22_ 2_2_DY E(Y2) (E(Y)2 02*1/3 12*2/3 (2/3)2

43、2/9(6)求 E(2X-3Y)=2EX - 3EY= 2* 34 - 3* 2/3 =因X,Y相互獨(dú)立D(4X-Y)=16DX+DY= 16*1116 + 2/9= 101/9E(2XY)=2EX *EY= 2*34 * 2/3 =1(7) PX+Y=2=PX=1,X=1+PX=2,Y=0=/14PX>Y=PX=1,Y=0+PX=2,Y=0+PX=2,Y=1=12+1/12+1/6=1/3(8) P(W=0)=P(X=0,Y=0)=6;P(W=1)=P(X=0,Y=1)+ P(X=1,Y=0月什/12 =5/12P(W=2)=P(X=2,Y=0)+ P(X=1,Y=1J12 +1/6

44、=312P(W=3)=P(X=2,Y=1)=/6分布律為：W=X+Y0123P1/63123121/614 請(qǐng)分別寫(xiě)出(0-1)分布、二項(xiàng)式分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的分 布律或概率密度、期望與方差(教材P255)15設(shè)袋中有10個(gè)球，編號(hào)從110，任取一球記錄其號(hào)碼。設(shè)事件 A取出的號(hào)碼大于等于7,事件B取出的號(hào)碼為偶數(shù)，事件 C取出的號(hào)碼為6、7或10(1)分別寫(xiě)出事件A、B、C的樣本空間。(2)分別寫(xiě)出事件AB、BC AC ABC勺樣本空間 根據(jù)第(1)、(2)小題的樣本空間計(jì)算 P(A),P(B),P(C),P(AB), P(BC),P(AC), P(ABC) 的概率

45、(直接寫(xiě)出答案)(4)事件A、B、C是否相互獨(dú)立，為什么(5)根據(jù)第(3)小題用A, B, C的關(guān)系運(yùn)算表示下列各事件并計(jì)算其概率1). A，眩生，C不發(fā)生；2). A, B , C中至少有一個(gè)發(fā)生；3). A, B, C都不發(fā)生；4). A, B, C恰好有兩個(gè)發(fā)生；5). A發(fā)生，B與C不發(fā)生；6) A,B,g不多于1個(gè)發(fā)生。7) A發(fā)生，B不發(fā)生；答案：(1) A=7,8,9,10, B=2,4,6,8,10, C=6,7,10(2) AB=8,10, BC=6,10, AC=7,10, ABC=10(3) P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(AB)=,P(BC)=,P(AC)=,

46、P(ABC)=(4) P(ABC)=, P(A)P(B)P(C)=因P(ABC)不等于P(A)P(B)P(C)所以事件A、B、C不是相互獨(dú)立(5)1) .P(ABC) P(AB) P(ABC) 0.2 0.1 0.12) .P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 0.4 0.5 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.73) .P(ABC) 1 P(A B C) 1 0.7 0.34) .P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) P(AB) P(ABC) P(AC) P(ABC) P(BC) P(ABC

47、) P(AB) P(AC) P(BC) 3P(ABC) 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 5).P(ABC) P(AB) P(ABC) P(A) P(AB) P(AC) P(ABC) 0.4 0.2 0.2 0.1 0.16).A, B, C中不多于一個(gè)發(fā)生，就是A, B, C中恰好2個(gè)發(fā)生或A, B, C三個(gè)都發(fā) 生的逆向，根據(jù)第(4)小題A, B,C中恰好2個(gè)發(fā)生的概率為0.3,而A, B,C三個(gè)都發(fā) 生的概率P(ABC) 0.1P(ABC ABC ABC ABC) 1 0.3 0.1 0.67)P(AB) P(A) P(AB) 0.4 0.2 0.216 設(shè)A,B是兩個(gè)事件，且 P(A)=1/2, P(B)=1/31 .如果A、B獨(dú)立,則計(jì)算P(A B)、P(AB)2 .如果A、B互斥,則計(jì)算P(A B)、P(AB)3 .如果 AB,則計(jì)算 P(A B)、P(AB)答案：1. P(AB)= P(A)P(B)=1/2 * 1/3=1/6P(A B)=P(A) + P(B) -P(AB)=1/2+ 1/3 - 1/6=2/32. .P(AB)= 0P(A B)=P(A) + P(B) -P(AB)=1/2+ 1/3 - 0=5/63. P(AB)= P(B)= 1/3P(A B)=P(A) + P(B) -P(AB)=P (A)=1/217設(shè)有三個(gè)