金融數(shù)學(xué)課件--(4)收益率

1、1收益率收益率 Yield Rate孟生旺中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院2問題：問題：已知一個項目的現(xiàn)金流，如何評價其收益的好壞？方法一：凈現(xiàn)值法方法一：凈現(xiàn)值法（net present value，NPV）凈現(xiàn)值大于零，表示項目有利可圖。凈現(xiàn)值越大，表示項目的收益越好。0( )ntttNPV iv R資金流入的現(xiàn)值資金流出的現(xiàn)值1. 現(xiàn)金流分析現(xiàn)金流分析3方法二：收益率法方法二：收益率法當(dāng)資金流入的現(xiàn)值與資金流出的現(xiàn)值相等時，所對應(yīng)的利率 i 稱為收益率收益率（yield rate）或 內(nèi)部報酬率內(nèi)部報酬率（internal rate of return，IRR）資金流入的現(xiàn)值與資金流出的現(xiàn)值之差就是

2、凈現(xiàn)值，所以收益率也是使得凈現(xiàn)值為零的利率：收益率越大，表示項目的收益越高。0( )0ntttNPV iv R4 例例: 如果期初投資20萬元，可以在今后的5年內(nèi)每年末獲得5萬元的收入。假設(shè)投資者A所要求的年收益率為7%，投資者B所要求的年收益率為8%，試通過凈現(xiàn)值法和收益率法分別分析投資者A和投資者B的投資決策。 解：解：（1）該項目的凈現(xiàn)值為按A所要求的收益率7%計算，凈現(xiàn)值為0.5萬元，大于零，可投資。按B所要求的收益率8%計算，凈現(xiàn)值為 0.036萬元，小于零，不可投資。5|205 a 5（2）如果令凈現(xiàn)值等于零，即可以計算出該項目的收益率為7.93%，大于A所要求的收益率（7%），可

3、行小于B所要求的收益率（8%），不可行5|2050a 6例：例：下面的投資項目哪個更加有利： A）投資5年，每年的收益率為9 B）投資10年，每年的收益率為8解：解：無法比較。項目A結(jié)束后，可以再投資5年，這時需要考慮再投資的收益率。 結(jié)論：結(jié)論：使用收益率來比較各種投資方案只有當(dāng)所有方案的的投資期限都相同時才有效。7收益率的唯一性收益率的唯一性l思考：思考：對于一組確定的現(xiàn)金流，它的收益率是否總是存在且唯一？l答案：答案：由于收益率是高次方程的解，所以有可能不存在，也可能存在但不唯一。8例（不存在）：例（不存在）： ，求收益率。解解: 凈現(xiàn)值凈現(xiàn)值為由于 ，因此該方程無實數(shù)解，不存在收益率。

4、 012100,230,133RRR 2( )100230133NPV ivv 2(1)2.3(1) 1.330ii22.34 1.330.03 9 收益率唯一性的條件收益率唯一性的條件準(zhǔn)則一準(zhǔn)則一：計算資金凈流入，如果資金凈流入只改變過一次符號，收益率將是唯一的。準(zhǔn)則二準(zhǔn)則二：用收益率計算資金凈流入的累積值 ，如果始終為負(fù)，直至在最后一年末才為零，那么這個收益率就是唯一的。（見下頁例，收益率為9.98396% ）10年度資金流出資金流入 資金凈流入R t資金凈流入的累積值0101010.0011110.9121438.4331436.1741434.1251432.266440合計15205

5、投資項目的資金流出和資金流入投資項目的資金流出和資金流入 56210340ttvvv 11 多重收益率情況下的凈現(xiàn)值多重收益率情況下的凈現(xiàn)值思考：思考：當(dāng)收益率不唯一時，無法用收益率比較投資項目的優(yōu)劣。那么，是否可以用凈現(xiàn)值比較呢？回答：回答：不行。當(dāng)收益率不唯一時，凈現(xiàn)值不再是利率的單調(diào)遞減函數(shù)。例：例：某人在第一年初向一基金投資1000元，在第一年末，他抽走年初投資的1000元本金，并從該基金中借出1150元，在第二年末，他向該基金償還了1155元清帳。試計算該項投資的收益率。12解：解：該題的資金凈流入可列示如下： 時間： 0 1 2 凈流入： 1000 2150 1155假設(shè)收益率為i

6、，則根據(jù)題意可建立下述方程： 1000+ 2150(1 + i)1 1155(1 + i)2 = 0上述方程兩邊同時乘以(1 + i)2，并變形可得：011)1 (1021)1 (20 5ii13l所以 20(1 + i) 21 = 0 10(1 + i) 11 = 0l從此可以求得兩個不同的收益率：5%和10%。l項目的凈現(xiàn)值如下頁圖示。14l如果投資者要求5%以下的收益率，凈現(xiàn)值小于零，項目不可行。l如果投資者要求5%10%的收益率，凈現(xiàn)值大于零，項目又是可行的！l如果要求10%以上的收益率，凈現(xiàn)值小于零，項目又不可行。152. 再投資收益率再投資收益率再投資：投資收入按新的利率進(jìn)行投資。

7、例：例：考慮兩種可選的投資項目A）投資5年，每年的利率為9B）投資10年，每年的利率為8如果兩種投資在10年期間的收益無差異，計算項目A在5年后的再投資收益率應(yīng)為多少？5510(1 0.09) (1)(1 0.08) 7.0 % 1 ii16例：例：有一筆1000萬元的貸款，期限為10年，年實際利率為 9%，有下面三種還款方式： 本金和利息在第10年末一次還清；每年末償還當(dāng)年的利息，本金在第10年末歸還。在10年內(nèi)每年末償還相同的金額。l假設(shè)償還給銀行的款項可按7的利率再投資，試比較在這三種還款方式下銀行的年收益率。17解解:（1）貸款在10年末的累積值為 價值方程： i9101000 1.0

8、92367.36101000 (1)2367.36i18（2）所有付款在第10年末的累積值為 價值方程： i=8.42%101000(1)2243.48i10|0.07100090100090(13.8164)2243.48s19（3）所有付款在第10年末的累積值為 價值方程： i=7.97%101000(1)2152.85i10|0.0710|0.091000(155.82)(13.8164)2152.88sa203. 基金的利息度量：基金的利息度量：幣值加權(quán)收益率幣值加權(quán)收益率(dollar-weighted yield rate ) 基金的利息度量基金的利息度量(Interest mea

9、surement of a fund) ： 幣值加權(quán)收益率(dollar-weighted yield rate )：投資者 時間加權(quán)收益率(time-weighted yield rate )：經(jīng)理人21幣值加權(quán)收益率：簡單近似幣值加權(quán)收益率：簡單近似 假設(shè)假設(shè)：本金在當(dāng)期的變化是平穩(wěn)的。 符號符號（僅考慮一個時期） 期初的本金余額：A0 期末累積值：A1 當(dāng)期產(chǎn)生的利息： I 期末的本金余額：(A1 I) 當(dāng)期的平均本金余額：(A0 + A1 I )/2 當(dāng)期的收益率可近似表示為 01012()/2IIiAAIAAI22幣值加權(quán)收益率：精確計算幣值加權(quán)收益率：精確計算 假設(shè)：期初的本金為A

10、0，在時刻t的新增投資為Ct，投資收益率為i，在期末的累積值可表示為（僅考慮一個時期） (1)0(1)(1)tttAiCi注注：時刻t的新增投資額Ct 產(chǎn)生收益的時間長度為(1 t) 用A1表示期末的累積值，則有(1)01(1)(1)tttAiCiA注：注：Ct 0表示增加投資； Ct 0表示減少投資。 解此方程即可求得收益率 i23幣值加權(quán)收益率：近似計算幣值加權(quán)收益率：近似計算 對于不足一個時期的新增投資，用單利代替復(fù)利，即令 itit)1 (1)1 ()1(1)00(1)(1)(1)1(1) tttttAiCiAiCt i則期末累積值可表示為1000()(1)(1)ttttttAACIi

11、ACtACt001(1)()tttti ACtACA240(1)ttIiACt對近似公式的解釋：對近似公式的解釋：（1）分母是加權(quán)平均本金余額，以本金產(chǎn)生利息的時間長度為權(quán)數(shù)。（2）如果進(jìn)一步假設(shè)新增投資發(fā)生在期中，即t = 0.5，則00.5ttIiAC這就是前述最簡單的一個近似公式。022ttIAC002()ttIAAC012()IAAI25投資期限超過投資期限超過1年的情形年的情形 已知投資期是從0到n，第n期末的累積值為An 。第j期的新增投資為Cj ，在復(fù)利方式下，第n期末的累積值為 通過數(shù)值方法可以解出幣值加權(quán)收益率 i。 注：注：當(dāng) 時，不能使用單利假設(shè)來近似計算。0(1)(1)

12、nnjnjjAAiCi1nj26 如果假設(shè)新增投資是連續(xù)的，即如果假設(shè)新增投資是連續(xù)的，即Ct 是是 t 的連續(xù)函數(shù)。的連續(xù)函數(shù)。用At表示時刻t的累積值，則 解釋解釋：在時刻t的累積值等于初始本金積累t個時期，加上新增投資Cs積累到時刻t。00(1)(1)ttt stsAAiCids274. 基金的利息度量：基金的利息度量： 時間加權(quán)收益率時間加權(quán)收益率（time-weighted rates of interest） 幣值加權(quán)收益率： 受本金增減變化的影響。而本金的增減變化由投資者決定。 可以衡量投資者的收益，但不能衡量經(jīng)理人的經(jīng)營業(yè)績。 時間加權(quán)收益率：扣除了本金增減變化的影響后所計算的

13、一種收益率。 衡量經(jīng)理人的業(yè)績。28時間加權(quán)收益率（時間加權(quán)收益率（i）的一般公式）的一般公式1212101111(1)(1)(1)(1)TnTnnnnnAAAAijjjAACACAC期初的本金為A0。在第 k 個時間區(qū)間末的累積值為Ak，新增投資為Ck（k = 1, 2, , n）。在期末T 的累積值為AT295. 收益分配收益分配 問題：問題： 基金是由不同的個體投資者組成。 在每個年度末，如何把基金的利息收入分配給每個投資者？ 分配方法：分配方法： 投資組合法 投資年度法30投資組合法投資組合法(portfolio methods) 適用情況適用情況：基金的收益率水平一直保持恒定 方法方法：按照基金的平均收益率，以及每個投資者的投資額和投資時間，向每個投資者分配利息收入。 例：例：如果基金的收益率一直保持在6%的水平，某個投資者的投資額是10000元，存入基金的時間是9個月，那么應(yīng)該分配給他的利息收入應(yīng)該是10000(1 + 0.06)0.75 10000 = 446.71（元）31 存在的問題存在的問題：在短期內(nèi)，簡單易行。如果投資期限較長，收益率波動較大，可能不公平。 例：例： 假設(shè)假設(shè)：基金在最近3年的平均年收益率為8， 當(dāng)年的收益率達(dá)到了10， 如果對新投資者仍然以8分配收益， 結(jié)果結(jié)果：可能會使其放