橢圓綜合測(cè)試題

1、創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 橢圓測(cè)試題之歐侯瑞魂創(chuàng)作 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 、選擇題: (本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分) 1、離心率為 3，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓的尺度方程是 2 (A)冬 9 2 (C)冬 36 2、動(dòng)點(diǎn) 2 y_ 5 2 y 20 2 (B)才 (D)蘭 36 2 y 5 2 y 20 2 1或 5 2 1或0 0 P 到兩個(gè)定點(diǎn) 8,則 P 點(diǎn)的軌跡為( F1F2 RE F1(-4，0)、F2 ) 2 y 9 2 y 36 (4, 0)的距離之和為 3、已知橢圓的尺度方程 A. ( ,10,0) 2 4、

2、已知橢圓 5 2 -1，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( 10 質(zhì)) C. (0, 3) D. ( 3,0) B. 2 -1上一點(diǎn) P 到橢圓的一焦點(diǎn)的距離為 9 到另一焦點(diǎn)的距離是( A. 2 5 3 2 2 5、 如果篤丄 1暗示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) a2 a 2 圍為( ) A. ( 2, )B. 2, 1 2, C.( 6、 關(guān)于曲線的對(duì)稱性的論述正確的是( y2 0的曲線關(guān)于 X 軸對(duì)稱 0的曲線關(guān)于 Y 軸對(duì)稱 10的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 的 曲 線 關(guān) (0, (2,) ) 3,則 P 的取值范 2 x 3 x 2 x 3 x xy 3 y xy 3 y 2 x 2 y 8 2 y k

3、b2 于 2 x 1 (a b 0,k 0 且 k 豐 1)與方程一2 a 占 八、 、 原 2 占 1 (a b 0)暗示的橢圓 b2 7、方程七 ka2 (). A.有相同的離心率 B.有共同的焦點(diǎn) C.有等長(zhǎng)的短軸長(zhǎng)軸 D.有相同的頂點(diǎn). y2 暑 2 1(ab0)的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)F且斜率為k(k0)的 b 2 B兩點(diǎn)若AF 3FB，則k () (B) , 2 (C) 3 x2 8、已知橢圓 a 直線與C相交于A、 (A) 1 (D) 2 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 9、若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 A

4、4 a 3 A. B. 5 5 B. C. 10、若點(diǎn) O 和點(diǎn) F 分別為橢圓 1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為橢圓上的任意一點(diǎn)，則 OP*FP的最大值為 A. 2 x2 11、橢圓 a B 2 乂 1 b2 在點(diǎn) P 滿足線段 AP 的垂直平分線過(guò)點(diǎn) （0,返（B）（ 0, 1 2 2 y x b與曲線y 3 4x x2有公共點(diǎn)，則 b 的取值范圍是（ 2.2,1 2,2B.1 . 2 ,3 (A) 12 若直線 a b0的右焦點(diǎn)為 F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為 A .在橢圓上存 F，則橢圓離心率的取值范圍是 （） 1 = 1 2(C) I 2 1，1)(D) 2，1) A. 1 C.-1,1

5、22D. 1 2.2,3 二、填空題：（本大題共 5 小題，共 20 分.） 13 若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 2 x 49 14 橢圓 2 1上一點(diǎn) P 與橢圓兩焦點(diǎn) F1, F2的連線的夾角為直角，則 24 RtA PF1F2 的 面積為 15 已知 且BF F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段 BF的延長(zhǎng)線交 2FD，貝U C的離心率為 . _ 2 x 16 已知橢圓c: y2 1的兩焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P（x0,y0）滿足0 2 | PF1|+PF2|的取值范圍為 C于點(diǎn)D , 2 2 y2 1,則 三、解答題：（本大題共 6 小題，共

6、 70 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步調(diào). 2 x 17. （10 分）已知點(diǎn) M 在橢圓 25 2 - 1上，M P垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線，垂足為 9 P，而且 M 為線段P P的中點(diǎn)，求 P點(diǎn)的軌跡方程 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 2 2 x 3 4 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 18.(12 分)橢圓 45 1(0 m 45)的焦點(diǎn)分別是Fi和F2，已知橢圓的離心率 過(guò)中心0作直線與橢圓交于 A，B 兩點(diǎn), 0為原點(diǎn)，若AABF2的面積是 20，求: (1)m 的值(2)直線 AB 的方程 2 2 X y 19( 12 分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓2 1 (a a b

7、b 0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò) F2的直線 l與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60， F1到直線丨的距離為2 3. (I)求橢圓C的焦距; (n)如果 AF2 2F2 B,求橢圓C的方程. 2 2 20 ( 12 分)設(shè)橢圓 C:篤每 1(a a b b 0)的左焦點(diǎn)為 F,過(guò)點(diǎn) F 的直線與橢圓 C 相交 于A , B 兩點(diǎn)，直線 I的傾斜角為 60。, AF 2FB . (I) 求橢圓 C 的離心率； 15 (II) 如果|AB|=，求橢圓 C 的方程. 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 21 ( 12 分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) B 與點(diǎn)

8、 A (-1,1 )關(guān)于原點(diǎn) 0 對(duì)稱，P 是動(dòng)點(diǎn), 1 且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于 - 3 (I )求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程； 的菱形的 面積為 4. (I)求橢圓的方程； (n)設(shè)直線 I與橢圓相交于分歧的兩點(diǎn) A、B，已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(-a, 0)(n)設(shè)直線AP和BP分別與直線 x=3 交于點(diǎn) M,N，問(wèn)：是否存在點(diǎn) P 使得 PAB 與厶 PMN的 面積相等？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。 2 x 22 (12 分)已知橢圓 a 1 ( ab0 )的離心率 3 e=, 連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳

9、叁拾日 yo)在線段 AB 的垂直平分線上，且 QA?QB 4 求y。的值. ? 橢圓參考答案 1選擇題: 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C C B C A B B C D D 8【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質(zhì)與第二定義 【解析】設(shè)直線 I為橢圓的有準(zhǔn)線，e 為離心率，過(guò) A，B 分別作 AA i，BBi垂直于 I， |AA卜削隔卜凹 Ai，B 為垂足，過(guò) B 作 BE 垂直于 AAi與 E,由第二定義得，已 e ， J? 9 解：設(shè)長(zhǎng)軸為疑軸為2氛 探筆為25則2+2=2x2& 即 ZJ + c 2b ( (4+ Gy * 務(wù)瑾等1

10、5e: * 2att- 3d: - 0 , EP切：十2於亠3 =0 n 2：實(shí)星二亠K舍兒逬B若I AB|= 一，求直線 1 的傾斜角; 5 (ii)若點(diǎn) Q(0, 由 得 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 2 2 10【解析】由題意，F(xiàn) (-1 , 0)，設(shè)點(diǎn) P (x0, y0),則有乞 互 1 ,解得 4 3 2 2 Xo yo 3(1 -)， 4 因?yàn)?FP (Xo 1,yo)，OP (Xo,yo)，所以 OP FP Xo(x 1) y。2 2 2 3(1普)=訃Xo 3，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為 C。 【命題意圖】本題考查橢圓的方程、幾何性

11、質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù) 的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算 能力。 11 解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn) P,使得線段 AP 的垂直平分線過(guò)點(diǎn) F , 即 F 點(diǎn)到 P 點(diǎn)與 A 點(diǎn)的距離相等 2 十 a 而 |FA| = c | PF| a-c, a+ c 即 ac c2w b2w ac+ c2 2 2 2 ac c a c 2 2 2 a c ac c 又 e (0, 1) 故 e !,1 2 答案：D2，因?yàn)?2 X。 2，所以當(dāng)X。 2時(shí), OP FP取得最大值 6，選 =OP FP Xo(Xo 1) 于是 a c, a + c

12、 c 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 12 （2010 湖北文數(shù)）y x b與曲線y 3 4x x2有公共點(diǎn)，貝 U b 的取值范圍是 A. 1 2 2,1 2 2B.1 23 C.-1, 1 2 2 D. 1 2 2,3 翼【答票】D 【解折】曲疑方程可化簡(jiǎn)為4QGW3）,和隸示IS心為C2, 3）豐徑九 】的半同，依據(jù)數(shù)形結(jié)鳥 當(dāng)直線廠工山與此半副目切時(shí)師S?足團(tuán)心估3） 劉直線 J=?；-5 EE離等于二解得i? - 1+ -1 - 2*/2 i因?yàn)槭窍掳雸A故可得心 d = l+275倍），當(dāng)亶統(tǒng)過(guò)3）時(shí)，解得b=3,故1-2。刖 n 所以D正確+ 二

13、、填空題：（本大題共 4 小題，共 16 分.） 13 若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 x2 y2 14 橢圓 1上一點(diǎn) P 與橢圓兩焦點(diǎn) F1, F2的連線的夾角為直角，貝 U RtA PF1F2的 49 24 面積為 15 （2010 全國(guó)卷 1 文數(shù)）（16）已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段 BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D ,且BF 2FD，則C的離心率為 _ . _ 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程 3 與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù) 形結(jié)合思想、方程思想，本題凸顯解析幾何的特點(diǎn): “數(shù)研究形，形助數(shù)”，利用幾何性質(zhì)可尋求

14、到簡(jiǎn) 化問(wèn)題的捷徑 【解析 1】如圖，| BF | b2c2 a, 作DD1 y軸于點(diǎn) D1,則由BF 2FD，得 |OF| | BF | 2 3 3 ,所以 | DD1 | |OF | c |DD1| |BD| 3 2 2 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 即XD 3C，由橢圓的第二定義得 2 2 |FD | e( c 3c2 a 2a 又由 |BF | 2| FD |,得 a 2a 3c2 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 二.填空題: .解答題: Xxo Xo x 2 2 y 2 y y0 y 因?yàn)閂 yo 25 9 2

15、 2 2 2 y 1 X y 所以 P 點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在 y軸上，尺度 ，把代入得 - 125 9 25 36 2 2 方程為 X y 1的橢圓 25 36 設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解2】設(shè)橢圓方程為第一尺度形式 2 y 2 1，設(shè) D X2,y2 b ,F 分 BD 所成的比為 2，Xc 0 2x2 X2 2y2 、， 3 yc b y2 3 0b 9 c2 4 a2 1 b2 4/ 1， 16( 2010 湖北文數(shù)) 2 1的兩焦點(diǎn)為吒丁2,點(diǎn)P(x0,y0)滿足0 y0 1,則 | PF1|+PF2|的取值范圍為 【答案】2,2 2 ,0 【解析】依題意知，點(diǎn) P在橢圓內(nèi)部畫出圖形, 由數(shù)形結(jié)

16、合可得，當(dāng) P 在原點(diǎn)處時(shí) (I PFi| 1 PF2 |)max 2，當(dāng) P 在橢圓頂點(diǎn)處時(shí)，取到 max (|PR| |PF2|)max 為 (2 1) 1) =2 2 ，故范圍為2,22 .因?yàn)?(Xo,yo)在橢圓2 1 的內(nèi)部，則直 x Xo yo 1 上的點(diǎn) (X, y)均在橢圓外，故此直線與橢圓不成能有交點(diǎn), 故交點(diǎn)數(shù)為 13 - 14 5 24 15 2,2 2 ,0 p(x, y)， m點(diǎn)的坐標(biāo)為(心丫0)，由題意可知 17解: 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 9 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 SFF2B 20，設(shè) B(x,y),則 SFZ 才吋站 4 4 B點(diǎn)的坐標(biāo)為

17、（3， 4），所以直線 AB 的方程為y x 或 y x 3 3 19（ 2010 遼寧文數(shù)）（20）（本小題滿分 12 分） 2 2 x y 設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C: r 2 1 (a b a b （I）求橢圓C的焦距; （n）如果 AF2 2F2 B,求橢圓C的方程. 解：（I）設(shè)焦距為 2c，由已知可得F1到直線 I的距離 3c 2 3,故c 2. 所以橢圓 C 的焦距為 4. （n）設(shè)A（x1, yj, B（X2, y2）,由題意知 0小 0,直線 l 的方程為y 、3（x 2）. 18.解： (1)由已知 e -上5 , a 45 3 5，得 c 5, a 3 所以m b2 a2

18、C 45 25 20 （2 ）根據(jù)題意SABF2 F2 2c 10，所以 y 4，把 y 2 x 4代入橢圓的方程 45 20 1，得 X 3，所以 0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò) F2的直線I與橢 圓C相交于A , B兩點(diǎn)，直線 l的傾斜角為60， F1到直線l的距離為2 3. 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 9 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 聯(lián)立 y 2 x 2 込(x 2), v2 得(3a2 1 b2 b2)y2 43b2y 3b4 0. 解得 y1 .3b2(2 2 a) 3a2 b2 , y2 ,3b2(2 2a) 3a2 b2 因?yàn)?AF2 2F2B,所以 2y2. 3b2(2 即

19、2 2 3a2 -2 2a) b Gb2(2 2a) 2 3a2 b2 得a 3而a2 b2 4,所以b .5. 故橢圓 C 的方程為 x2 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 B 兩點(diǎn)，直線 I的傾斜角為 60。, AF 2FB . (III) 求橢圓 C 的離心率； 15 (IV) 如果|AB|=，求橢圓 C 的方程 4 解： 設(shè) A(X1,yJ,B(X2,y2)，由題意知 y 0. (i)直線 I的方程為 y 3(x c)，其中c 、a2 b2 . 得離心率e 15，得 a=3, b 5. 橢圓 C 的方程為 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) B 與點(diǎn) A (-1,1 )關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱

20、，P 是動(dòng)點(diǎn), 1 BP 的斜率之積等于 - 3 (I )求動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程； (n )設(shè)直線 AP和 BP分別與直線 x=3交于點(diǎn) M,N,問(wèn)： 是否存在點(diǎn) P使得 PAB與厶 PMN 的 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日20 ( 2010 遼寧理數(shù)) (20)(本小題滿分 12 分) 2 設(shè)橢圓 C:篤 a b2 1(a b 0)的左焦點(diǎn)為 F,過(guò)點(diǎn) F 的直線與橢圓 C 相交于 A, 聯(lián)立 y 2 X a . 3( x c), v2 得(3a2 b2 1 b2)y2 2、3b2cy 3b4 解得 y1 、-3b2(c 2a) 3a2 b2 ,y2 、.3b2(c 2a) 3a2 b2

21、因?yàn)?AF 2FB , 所以 2y2. 即 3b2(c 2a) 2 2 3a b 2? 、.3b2(c 2a) 3a2 b2 (n)因?yàn)?AB 1; y2 2 4T3ab2 y1，所以 21 ( 2010 北京理數(shù)) (19)(本小題共 14 分) 12 分 且直線 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 面積相等？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y） 由題意得 化簡(jiǎn)得 x2 3y2 4(x 1). 2 2 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x 3y 4（x 1） （II）解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（X。，y。），點(diǎn)M , N得坐標(biāo)分別為 (3

22、, yM )，(3, yN ). j 1) X。 1 于是 占PMN得面積 又直線AB的方程為x y Q，| AB | 2 2， 于是厶PAB的面積 1 SPAB 1 AB rd 丨 x。y。1 2 又 I x。y。I o, （I）解：因?yàn)辄c(diǎn) B 與 A（ 1,1）關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，所以點(diǎn) B得坐標(biāo)為（1,1）. 則直線AP的方程為y 1 ?。▁ “，直線BP的方程為 令X 3得yM 4y。x。3 x。 1 yN 2 y0 x0 3 X。 1 S PMN YM YN |(3 x。) |x。 2 y。I (3 x。) 點(diǎn)P到直線AB的距離d I x。y。| 廠 S.PAB S- PMN時(shí)，得丨 y

23、I |x。y|(3 x。)2 Ix。2 1| 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 所以（3冷）2 =以。2 1I，解得I Xo 5。 3創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 因?yàn)?y/ 4，所以y。今 故存在點(diǎn)P使得也PAB與比PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo)為(, ). 3 9 解法二：若存在點(diǎn) P使得也PAB與吐PMN的面積相等，設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為(心y0) 為 4. (I)求橢圓的方程； (n)設(shè)直線 I與橢圓相交于分歧的兩點(diǎn) 4 (i)若| AB|= - ，求直線 I的傾斜角; I (ii)若點(diǎn)Q(0，y。)在線段 AB 的

24、垂直平分線上，且 QAQB=4 .求 y。的值. 【解析】本小題主要考查橢圓的尺度方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公 式、 直線的傾斜角、 平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)， 考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù) 形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運(yùn)算能力 .滿分 14 分. (I)解：由 e=- ，得 3a2 4c2.再由 c2 a2 b2，解得 a=2b. a 2I .33 1 則一| PAU PB |sin APB 2 因?yàn)?sin APB sin MPN 11 PM H PN |sin MPN . 2 所以器 |PN | |PB| |3 xo| |3 x| |x 1| 即(3 x。)2 |Xo2 1|，解得 X0 2 2 因?yàn)閤0 3y0 4，所以y 33 9 故存在使得也PAB PMN的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 22( 2010 天津文數(shù)) (21) (本小題滿分 14 分) (ab0 )的離心率 e-3，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積 2 A、B，已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(-a, 0). 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹年柒月貳叁拾日 1 創(chuàng)作時(shí)間：貳零貳壹