八年級(jí)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)（學(xué)案）

1、 2013-2014學(xué)年度八年級(jí)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)1、用提公因式法把多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】 如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，根據(jù)乘法分配律的逆運(yùn)算，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式. 提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法.它的理論依據(jù)就是乘法分配律.多項(xiàng)式的公因式的確定方法是： （1）當(dāng)多項(xiàng)式有相同字母時(shí)，取相同字母的最低次冪. （2）系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，公因式可以是數(shù)、單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式.下面我們通過例題進(jìn)一步學(xué)習(xí)用提公因式法因式分解【分類解析】1. 把下列各式因式分解 （1） （2）2. 利用提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算過程 例：計(jì)算3. 在多項(xiàng)式恒等變形中的

2、應(yīng)用 例：不解方程組，求代數(shù)式的值.4. 在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例：證明：對(duì)于任意自然數(shù)n，一定是10的倍數(shù).5、中考點(diǎn)撥： 例1.因式分解 例2分解因式：題型展示：例1. 計(jì)算：例2. 已知：（b、c為整數(shù)）是及的公因式，求b、c的值.例3. 設(shè)x為整數(shù)，試判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，請(qǐng)說明理由.【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式： （1） （2）（n為正整數(shù)） （3） 2. 計(jì)算：的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 3. 已知x、y都是正整數(shù)，且，求x、y.4. 證明：能被45整除. 5. 化簡(jiǎn)：，且當(dāng)時(shí)，求原式的值.2、運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】 把乘法公式反過來，就可以得到因式分解的公式

3、. 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 補(bǔ)充：歐拉公式： 特別地：（1）當(dāng)時(shí)，有 （2）當(dāng)時(shí)，歐拉公式變?yōu)閮蓴?shù)立方和公式. 運(yùn)用公式法分解因式的關(guān)鍵是要弄清各個(gè)公式的形式和特點(diǎn)，熟練地掌握公式.但有時(shí)需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合、變形后，方可使用公式. 用公式法因式分解在求代數(shù)式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應(yīng)用.因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運(yùn)用它，對(duì)今后的學(xué)習(xí)很有幫助.下面我們就來學(xué)習(xí)用公式法進(jìn)行因式分解【分類解析】 1. 把分解因式的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 2. 在簡(jiǎn)便計(jì)算、求代數(shù)式的值、解方程、判斷多項(xiàng)式的整除等方面的應(yīng)用例：已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式是

4、，求的值.3. 在幾何題中的應(yīng)用.例：已知是的三條邊，且滿足，試判斷的形狀.4. 在代數(shù)證明題中應(yīng)用例：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù).5、中考點(diǎn)撥： 例1：因式分解：_. 例2：分解因式：_.題型展示： 例1. 已知：， 例2. 已知， 求證： 例3. 若，求的值.【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式：（1） （2）（3）2. 已知：，求的值.3. 若是三角形的三條邊，求證：4. 已知：，求的值. 5. 已知是不全相等的實(shí)數(shù)，且，試求 （1）的值；（2）的值.4、用分組分解法進(jìn)行因式分解【知識(shí)精讀】 分組分解法的原則是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運(yùn)用公式.使用這種方法的關(guān)鍵在于分組適當(dāng)，

5、而在分組時(shí)，必須有預(yù)見性.能預(yù)見到下一步能繼續(xù)分解.而“預(yù)見”源于細(xì)致的“觀察”，分析多項(xiàng)式的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)姆纸M是分組分解法的關(guān)鍵. 應(yīng)用分組分解法因式分解，不僅可以考察提公因式法，公式法，同時(shí)它在代數(shù)式的化簡(jiǎn)，求值及一元二次方程，函數(shù)等學(xué)習(xí)中也有重要作用. 下面我們就來學(xué)習(xí)用分組分解法進(jìn)行因式分解.【分類解析】1. 在數(shù)學(xué)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明題中的應(yīng)用 例1. 把多項(xiàng)式分解因式，所得的結(jié)果為（ ） 例2. 分解因式2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用例：已知三條線段長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿足3. 在方程中的應(yīng)用例：求方程的整數(shù)解4、中考點(diǎn)撥 例1.分解因式：_. 例2分解因式：_ 例3. 分解因式：_5、題型展

6、示： 例1. 分解因式： 例2. 已知：，求ab+cd的值. 例3. 分解因式：【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 填空題： 2. 已知：3. 分解因式：4. 已知：，試求A的表達(dá)式. 5. 證明：5、用十字相乘法把二次三項(xiàng)式分解因式【知識(shí)精讀】 對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法，重點(diǎn)是運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解.掌握這種方法的關(guān)鍵是確定適合條件的兩個(gè)數(shù)，即把常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)數(shù)的積，且其和等于一次項(xiàng)系數(shù). 對(duì)于二次三項(xiàng)（a、b、c都是整數(shù)，且）來說，如果存在四個(gè)整數(shù)滿足，并且，那么二次三項(xiàng)式即可以分解為.這里要確定四個(gè)常數(shù)，分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是1的類型復(fù)雜，因此一般要借助畫十字交叉線的辦法來確定. 下

7、面我們一起來學(xué)習(xí)用十字相乘法因式分解.【分類解析】 1. 在方程、不等式中的應(yīng)用 例1. 已知：，求x的取值范圍. 例2. 如果能分解成兩個(gè)整數(shù)系數(shù)的二次因式的積，試求m的值，并把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式. 2. 在幾何學(xué)中的應(yīng)用 例. 已知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬為x、y，周長(zhǎng)為16cm，且滿足，求長(zhǎng)方形的面積. 3、在代數(shù)證明題中的應(yīng)用 例. 證明：若是7的倍數(shù)，其中x，y都是整數(shù)，則是49的倍數(shù).4、中考點(diǎn)撥 例1.把分解因式的結(jié)果是_. 例2.因式分解：_5、題型展示 例1. 若能分解為兩個(gè)一次因式的積，則m的值為（ ） A. 1B. -1C. D. 2 例2. 已知：a、b、c為互不相等的數(shù)，且滿

8、足.求證： 例3. 若有一因式.求a，并將原式因式分解.【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式：（1） （2） （3）2. 在多項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式的因式？3. 已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求k的值，并把原式分解因式.4. 分解因式： 5. 已知：，求的值.7、因式分解小結(jié)【知識(shí)精讀】 因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn). 1. 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式； 2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式

9、，也可以表示多項(xiàng)式； 5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫成冪的形式； 6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟.即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法；下面我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容.【分類解析】1. 通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的 例1. 分解因式2. 通過變形達(dá)到分解的目的 例1. 分解

10、因式3. 在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項(xiàng)式的值一定是非負(fù)數(shù)4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式： 中考點(diǎn)撥： 例1.在中，三邊a,b,c滿足求證： 例2. 已知：_題型展示： 1. 若x為任意整數(shù)，求證：的值不大于100. 2. 將【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式： 2. 已知：的值.3. 矩形的周長(zhǎng)是28cm，兩邊x,y使，求矩形的面積.4. 求證：是6的倍數(shù).（其中n為整數(shù)）5. 已知：a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且，求a+b+c的值. 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較的大小.10、分式的運(yùn)算【知識(shí)精讀】 1. 分式的乘除法法則 ； 當(dāng)分子、分母是多項(xiàng)式時(shí)，先進(jìn)行因式分解再約分. 2

11、. 分式的加減法 （1）通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，且取各分式分母的最簡(jiǎn)公分母. 求最簡(jiǎn)公分母是通分的關(guān)鍵，它的法則是： 取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)； 凡出現(xiàn)的字母（或含有字母的式子）為底的冪的因式都要取； 相同字母（或含有字母的式子）的冪的因式取指數(shù)最高的. （2）同分母的分式加減法法則： （3）異分母的分式加減法法則是先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減. 3. 分式乘方的法則： （n為正整數(shù)） 4. 分式的運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在分式方程，求代數(shù)式的值，函數(shù)等方面有重要應(yīng)用.學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)問題： （1）注意運(yùn)算順序及解題步驟，把好符號(hào)關(guān)； （2）整式與分式的運(yùn)算，根據(jù)題目特點(diǎn)

12、，可將整式化為分母為“1”的分式； （3）運(yùn)算中及時(shí)約分、化簡(jiǎn)； （4）注意運(yùn)算律的正確使用； （5）結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或整式.下面我們一起來學(xué)習(xí)分式的四則運(yùn)算.【分類解析】 例1：計(jì)算的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 例2：已知，求的值. 例3：已知：，求的值 例4：已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且，那么的值是多少？ 例5：化簡(jiǎn)： 例6、計(jì)算： 例7、已知：，則_.中考點(diǎn)撥： 例1：計(jì)算： 例2：若，則的值等于（ ） A. B. C. D. 【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 已知：，則的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，求的值.3. 計(jì)算：4. 若，試比較A與B的大小. 5. 已知：，求證：.

13、11、公式變形與字母系數(shù)方程【知識(shí)精讀】 含有字母系數(shù)的方程和只含有數(shù)字系數(shù)的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的兩邊，這個(gè)式子的值不能為零. 公式變形實(shí)質(zhì)上是解含有字母系數(shù)的方程 對(duì)于含字母系數(shù)的方程，通過化簡(jiǎn)，一般歸結(jié)為解方程型，討論如下： （1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為關(guān)于x的一元一次方程，解為： （2）當(dāng)時(shí)，分以下兩種情況： <1>若，原方程變?yōu)?，為恒等時(shí)，此時(shí)x可取任意數(shù)，故原方程有無數(shù)個(gè)解； <2>若，原方程變?yōu)?，這是個(gè)矛盾等式，故原方程無解. 含字母系數(shù)的分式方程主要有兩類問題：（一）求方程的解，其中包括：字母給出條件和未給出條件：（二

14、）已知方程解的情況，確定字母的條件. 下面我們一起來學(xué)習(xí)公式變形與字母系數(shù)方程 【分類解析】 1. 求含有字母系數(shù)的一元一次方程的解 例1. 解關(guān)于x的方程 2. 求含字母系數(shù)的分式方程的解 例2. 解關(guān)于x的方程 3. 已知字母系數(shù)的分式方程的解，確定字母的條件 例3. 如果關(guān)于x的方程有唯一解，確定a、b應(yīng)滿足的條件. 4. 在其它學(xué)科中的應(yīng)用（公式變形） 例4. 在物理學(xué)中我們學(xué)習(xí)了公式，其中所有的字母都不為零.已知S、t，試求a. 5、中考點(diǎn)撥 例1. 填空：在中，已知且，則_. 例2.在公式中，已知P、F、t都是正數(shù)，則s等于（ ）6、題型展示： 例1. 解關(guān)于x的方程 例2. 解關(guān)

15、于x的方程. 例3. 已知，求z.（）【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 解關(guān)于x的方程，其中.2. 解關(guān)于x的方程.3. a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程的解等于零？4. 已知關(guān)于x的方程有一個(gè)正整數(shù)解，求m的取值范圍. 5. 如果a、b為定值，關(guān)于x的一次方程，無論取何值，它的根總是1，求a、b的值.12、分式方程及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程. 2. 解分式方程的一般步驟： （1）在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化成整式方程； （2）解這個(gè)整式方程； （3）驗(yàn)根：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，看結(jié)果是否等于零，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的增根，必須舍去，但對(duì)

16、于含有字母系數(shù)的分式方程，一般不要求檢驗(yàn). 3. 列分式方程解應(yīng)用題和列整式方程解應(yīng)用題步驟基本相同，但必須注意，要檢驗(yàn)求得的解是否為原方程的根，以及是否符合題意. 下面我們來學(xué)習(xí)可化為一元一次方程的分式方程的解法及其應(yīng)用.【分類解析】 例1. 解方程：例2. 解方程例3. 解方程：例4. 解方程：5、中考題解： 例1若解分式方程產(chǎn)生增根，則m的值是（ ） A. B. C. D. 6、題型展示：例1. 輪船在一次航行中順流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小時(shí)；在另一次航行中，用相同的時(shí)間，順流航行40千米，逆流航行70千米.求這艘輪船在靜水中的速度和水流速度例2. m為何值時(shí)，關(guān)于x的

17、方程會(huì)產(chǎn)生增根？【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以v千米/小時(shí)的速度步行，走了a小時(shí)后改乘汽車，又過b小時(shí)到達(dá)乙地，則汽車的速度（ ） A. B. C. D. 2. 如果關(guān)于x的方程 A. B. C. D. 3 3. 解方程：4. 求x為何值時(shí)，代數(shù)式的值等于2？ 5. 甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)共同完成一項(xiàng)工程，乙隊(duì)先單獨(dú)做1天后，再由兩隊(duì)合作2天就完成了全部工程.已知甲隊(duì)單獨(dú)完成工程所需的天數(shù)是乙隊(duì)單獨(dú)完成所需天數(shù)的，求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成各需多少天？13、分式總復(fù)習(xí)【知識(shí)精讀】 【分類解析】1. 分式有意義的應(yīng)用 例1. 若，試判斷是否有意義.2. 結(jié)合換元法、配方法、拆項(xiàng)

18、法、因式分解等方法簡(jiǎn)化分式運(yùn)算. 例2. 計(jì)算： 例3. 解方程：3. 在代數(shù)求值中的應(yīng)用 例4. 已知與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值.4. 用方程解決實(shí)際問題 例5. 一列火車從車站開出，預(yù)計(jì)行程450千米，當(dāng)它開出3小時(shí)后，因特殊任務(wù)多停一站，耽誤30分鐘，后來把速度提高了0.2倍，結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的地，求這列火車的速度.5. 在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)中，都會(huì)遇到有關(guān)公式的推導(dǎo)，公式的變形等問題.而公式的變形實(shí)質(zhì)上就是解含有字母系數(shù)的方程. 例6. 已知，試用含x的代數(shù)式表示y，并證明.6、中考原題： 例1已知，則M_. 例2已知，那么代數(shù)式的值是_.7、題型展示： 例1. 當(dāng)x取何值時(shí)，

19、式子有意義？當(dāng)x取什么數(shù)時(shí)，該式子值為零？ 例2. 求的值，其中.【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 當(dāng)x取何值時(shí)，分式有意義？2. 有一根燒紅的鐵釘，質(zhì)量是m，溫度是，它放出熱量Q后，溫度降為多少？（鐵的比熱為c）3. 計(jì)算：4. 解方程：5. 要在規(guī)定的日期內(nèi)加工一批機(jī)器零件，如果甲單獨(dú)做，剛好在規(guī)定日期內(nèi)完成，乙單獨(dú)做則要超過3天.現(xiàn)在甲、乙兩人合作2天后，再由乙單獨(dú)做，正好按期完成.問規(guī)定日期是多少天？ 6. 已知，求的值.3、三角形及其有關(guān)概念【知識(shí)精讀】 1. 三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形. 2. 三角形中的幾條重要線段： （1）三角形的角平分線（三條

20、角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心） （2）三角形的中線（三條中線的交點(diǎn)叫重心） （3）三角形的高（三條高線的交點(diǎn)叫垂心） 3. 三角形的主要性質(zhì) （1）三角形的任何兩邊之和大于第三邊，任何兩邊之差小于第三邊； （2）三角形的內(nèi)角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角，等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和； （4）三角形中，等角對(duì)等邊，等邊對(duì)等角，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角； （5）三角形具有穩(wěn)定性. 4. 補(bǔ)充性質(zhì)：在中，D是BC邊上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn)，則. 三角形是最常見的幾何圖形之一，在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中都有廣泛的應(yīng)用.三角形又是多邊形的一種，而且是最簡(jiǎn)單的多邊

21、形，在幾何里，常常把多邊形分割成若干個(gè)三角形，利用三角形的性質(zhì)去研究多邊形.實(shí)際上對(duì)于一些曲線，也可以利用一系列的三角形去逼近它，從而利用三角形的性質(zhì)去研究它們.因此，學(xué)好本章知識(shí)，能為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 5. 三角形邊角關(guān)系、性質(zhì)的應(yīng)用【分類解析】 例1. 銳角三角形ABC中，C2B，則B的范圍是（ ） A. B. C. D. 例2. 選擇題：已知三角形的一個(gè)外角等于160°，另兩個(gè)外角的比為2:3，則這個(gè)三角形的形狀是（ ） A. 銳角三角形B. 直角三角形C. 鈍角三角形D. 無法確定 例3. 如圖，已知：在中，求證：. 例4. 已知：三角形的一邊是另一邊的兩倍.求證：

22、它的最小邊在它的周長(zhǎng)的與之間.中考點(diǎn)撥： 例1. 選擇題：如圖是一個(gè)任意的五角星，它的五個(gè)頂角的和是（ ） A. 50B. 100C. 180D. 200 例2. 選擇題：已知三角形的兩邊分別為5和7，則第三邊x的范圍是（ ） A. 大于2B. 小于12C. 大于2小于12D. 不能確定 例3. 已知：P為邊長(zhǎng)為1的等邊內(nèi)任一點(diǎn).求證：題型展示： 例1. 已知：如圖，在中，D是BC上任意一點(diǎn)，E是AD上任意一點(diǎn).求證： （1）BECBAC； （2）ABACBEEC. 例2. 已知：如圖，在中，是的外角，AF、BF分別平分EAB及ABD.求證：AFB45° 【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 已知：三角

23、形的三邊長(zhǎng)為3，8，求x的取值范圍. 2. 已知：中，D點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上，使，求和間的關(guān)系為？ 3. 如圖，中，的平分線交于P點(diǎn)，則 （ ） A. 68°B. 80°C. 88°D. 46° 4. 已知：如圖，AD是的BC邊上高，AE平分. 求證： 5. 求證：三角形的兩個(gè)外角平分線所成的角等于第三個(gè)外角的一半.6、全等三角形及其應(yīng)用【知識(shí)精讀】1. 全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形；兩個(gè)全等三角形中，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).互相重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫對(duì)應(yīng)角.2. 全等三角形的表示方法：若ABC和ABC是全等的三角形

24、，記作 “ABCABC其中，“”讀作“全等于”.記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.3. 全等三角形的的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；4. 尋找對(duì)應(yīng)元素的方法（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)找如果兩個(gè)三角形全等，那么，以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角；以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的邊是對(duì)應(yīng)邊.通常情況下，兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母都寫在對(duì)應(yīng)的位置上，因此，由全等三角形的記法便可寫出對(duì)應(yīng)的元素.（2）根據(jù)已知的對(duì)應(yīng)元素尋找全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（3）通過觀察，想象圖形的運(yùn)動(dòng)變化狀況，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系.通過對(duì)兩個(gè)全等三角形各種不同位置關(guān)系的觀察和分

25、析，可以看出其中一個(gè)是由另一個(gè)經(jīng)過下列各種運(yùn)動(dòng)而形成的.翻折 如圖（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直線AO翻折180°得到的；旋轉(zhuǎn) 如圖（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到的；平移 如圖（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的.5. 判定三角形全等的方法：（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊公理（2） 推論：角角邊定理6. 注意問題：（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a: 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA；b :

26、有兩邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等，即SSA.全等三角形是研究?jī)蓚€(gè)封閉圖形之間的基本工具，同時(shí)也是移動(dòng)圖形位置的工具.在平面幾何知識(shí)應(yīng)用中，若證明線段相等或角相等，或需要移動(dòng)圖形或移動(dòng)圖形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知識(shí).【分類解析】全等三角形知識(shí)的應(yīng)用（1） 證明線段（或角）相等 例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC（2）證明線段平行例2：已知：如圖，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，DE=BF，AF=CE.求證：ABCD（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等例3：如圖，在 ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，取AB的中

27、點(diǎn)E，連接CD和CE. 求證：CD=2CE (4)證明線段相互垂直例4：已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，ADC、BDO為等腰三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論.5、中考點(diǎn)撥：例1如圖，在ABC中，ABAC，E是AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)ED，并延長(zhǎng)ED到點(diǎn)F，使DFDE，連結(jié)FC求證：FA例2 如圖，已知 ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AE=BD，連接CE、DE.求證：EC=ED題型展示：例1 如圖，ABC中，C2B，12.求證：ABACCD【實(shí)戰(zhàn)模擬】1. 下列判斷正確的是（ ）（A）有兩邊和其中一

28、邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（B）有兩邊對(duì)應(yīng)相等，且有一角為30°的兩個(gè)等腰三角形全等（C）有一角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（D）有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2. 已知：如圖，CDAB于點(diǎn)D，BEAC于點(diǎn)E，BE、CD交于點(diǎn)O，且AO平分BAC求證：OBOC3. 如圖，已知C為線段AB上的一點(diǎn)，DACM和DCBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn).求證：DCEF是等邊三角形.4.如圖，在ABC中，AD為BC邊上的中線求證：AD<(AB+AC)5. 如圖，在等腰RtABC中，C90°，D是斜邊上AB上任一點(diǎn)，AECD于E，BFC

29、D交CD的延長(zhǎng)線于F，CHAB于H點(diǎn)，交AE于G求證：BDCG9、等腰三角形【知識(shí)精讀】（）等腰三角形的性質(zhì) 1. 有關(guān)定理及其推論 定理：等腰三角形有兩邊相等； 定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）. 推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合. 推論2：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.等腰三角形是以底邊的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形； 2. 定理及其推論的作用 等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用

30、的依據(jù)之一.等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù).（二）等腰三角形的判定 1. 有關(guān)的定理及其推論 定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”.） 推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形. 推論2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形. 推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半. 2. 定理及其推論的作用. 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三

31、角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn). 3. 等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過它來證明線段或角的倍分問題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來定.【分類解析】 例1. 如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CECD，DMBC，垂足為M.求證：M是BE的中點(diǎn).例2. 如圖，已知：中，D是BC上一

32、點(diǎn)，且，求的度數(shù).例3. 已知：如圖，中，于D.求證：.4、中考題型： 1.如圖，ABC中，ABAC，A36°，BD、CE分別為ABC與ACB的角平分線，且相交于點(diǎn)F，則圖中的等腰三角形有（ ） A. 6個(gè) B. 7個(gè) C. 8個(gè) D. 9個(gè) 2.已知：如圖，在ABC中，ABAC，D是BC的中點(diǎn)，DEAB，DFAC，E、F分別是垂足.求證：AEAF.5、題形展示： 例1. 如圖，中，BD平分.求證：.【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 選擇題：等腰三角形底邊長(zhǎng)為5cm，一腰上的中線把其周長(zhǎng)分為兩部分的差為3cm，則腰長(zhǎng)為（ ） A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不對(duì) 2. 如圖

33、，是等邊三角形，則的度數(shù)是_.3. 求證：等腰三角形兩腰中線的交點(diǎn)在底邊的垂直平分線上. 4. 中，AB的中垂線交AB于D，交CA延長(zhǎng)線于E，求證：.14、如何做幾何證明題【知識(shí)精讀】 1. 幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用.幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系.這兩類問題常常可以相互轉(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題. 2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法： （1）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決； （2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)

34、論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止； （3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達(dá)到證明目的. 3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形.在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的.【分類解析】1、證明線段相等或角相等 兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系.很多其它

35、問題最后都可化歸為此類問題來證.證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到. 例1. 已知：如圖所示，中，. 求證：DEDF 例2. 已知：如圖所示，ABCD，ADBC，AECF.求證：EF2、證明直線平行或垂直 在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置.證兩直線平行，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明.證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°，或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三線合一”來證. 例3. 如圖所示，設(shè)BP、CQ是的內(nèi)角平

36、分線，AH、AK分別為A到BP、CQ的垂線.求證：KHBC 例4. 已知：如圖4所示，ABAC，. 求證：FDED3、證明一線段和的問題 （一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段.（截長(zhǎng)法） 例5. 已知：如圖6所示在中，BAC、BCA的角平分線AD、CE相交于O.求證：ACAECD （二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長(zhǎng)線段.（補(bǔ)短法） 例6. 已知：如圖7所示，正方形ABCD中，F(xiàn)在DC上，E在BC上，.求證：EFBEDF 4、中考題：如圖所示，已知為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D，延長(zhǎng)BA到E，并且使AEBD

37、，連結(jié)CE、DE.求證：ECED題型展示： 證明幾何不等式：例題：已知：如圖所示，.求證：【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 已知：如圖所示，中，D是AB上一點(diǎn)，DECD于D，交BC于E，且有.求證： 2. 已知：如圖所示，在中，CD是C的平分線.求證：BCACAD 3. 已知：如圖13所示，過的頂點(diǎn)A，在A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ.設(shè)M為BC的中點(diǎn). 求證：MPMQ 4. 中，于D，求證：15、三角形總復(fù)習(xí)【知識(shí)精讀】 1. 三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角和定理； 2. 三角形中三邊之間的關(guān)系定理及其推論； 3. 全等三角形的性質(zhì)與判定； 4. 特殊三角形的性質(zhì)與判定（如等腰三角形）

38、； 5. 直角三角形的性質(zhì)與判定. 三角形一章在平面幾何中占有十分重要的地位.從知識(shí)上來看，許多內(nèi)容應(yīng)用十分廣泛，可以解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；從證題方法來看，全等三角形的知識(shí)，為我們提供了一個(gè)及為方便的工具，通過證明全等，解決證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等，從而解決平行、垂直等問題.因此，它揭示了研究封閉圖形的一般方法，為以后的學(xué)習(xí)提供了研究的工具.因此，在學(xué)習(xí)中我們應(yīng)該多總結(jié)，多歸納，使知識(shí)更加系統(tǒng)化，解題方法更加規(guī)范，從而提高我們的解題能力.【分類解析】 1. 三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用 例1. 如圖1，已知中，于D，E是AD上一點(diǎn). 求證： 2. 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用 例2. 已知：如圖2，在

39、中，AM是BC邊的中線. 求證： 3. 角平分線定理的應(yīng)用 例3. 如圖3，BC90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分ADC.求證：AM平分DAB. 4. 全等三角形的應(yīng)用 （1）構(gòu)造全等三角形解決問題 例4. 已知如圖4，ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，BDC是頂角（BDC）為120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，它的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結(jié)MN.求證：的周長(zhǎng)等于2. （2）“全等三角形”在綜合題中的應(yīng)用 例5. 如圖5，已知：點(diǎn)C是FAE的平分線AC上一點(diǎn)，CEAE，CFAF，E、F為垂足.點(diǎn)B在AE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在AF上.若AB21，AD9

40、，BCDC10.求AC的長(zhǎng).5、中考點(diǎn)撥 例1. 如圖，在中，已知B和C的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DEBC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BDCE9，則線段DE的長(zhǎng)為（ ） A. 9B. 8C. 7D. 66、題型展示 例1. 已知：如圖6，中，ABAC，ACB90°，D是AC上一點(diǎn)，AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E，.求證：BD平分ABC 例2. 某小區(qū)結(jié)合實(shí)際情況建了一個(gè)平面圖形為正三角形的花壇.如圖7，在正三角形ABC花壇外有滿足條件PBAB的一棵樹P，現(xiàn)要在花壇內(nèi)裝一噴水管D，點(diǎn)D的位置必須滿足條件ADBD，DBPDBC，才能使花壇內(nèi)全部位置及樹P均能得到水管D的噴水，問BPD為多

41、少度時(shí)，才能達(dá)到上述要求？【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 填空：等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12cm和21cm，則這個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為_. 2. 在銳角中，高AD和BE交于H點(diǎn)，且BHAC，則ABC_. 3. 如圖所示，D是的ACB的外角平分線與BA的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).試比較BAC與B的大小關(guān)系.4. 如圖所示，ABAC，BAC90°，M是AC中點(diǎn)，AEBM.求證：AMBCMD 5. 設(shè)三個(gè)正數(shù)a、b、c滿足，求證：a、b、c一定是某個(gè)三角形三邊的長(zhǎng).16：二次根式的概念【知識(shí)要點(diǎn)】 二次根式的定義：形如的式子叫二次根式，其中叫被開方數(shù)，只有當(dāng)是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，才有意義【典型例題】

42、 【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_（填序號(hào)）舉一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A、 B、 C、 D、2、在、中是二次根式的個(gè)數(shù)有_個(gè)【例2】若式子有意義，則x的取值范圍是 舉一反三：1、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是（ ） A、x>3 B、x3 C、 x>4 D 、x3且x42、使代數(shù)式有意義的x的取值范圍是 3、如果代數(shù)式有意義，那么，直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限【例3】若y=+2009，則x+y= 舉一反三：1、若，則xy的值為（ ）A1 B1 C2 D32、若x、y都是實(shí)數(shù)，且y=，求xy的值

43、3、當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。17：二次根式的性質(zhì)【知識(shí)要點(diǎn)】 1. 非負(fù)性：是一個(gè)非負(fù)數(shù) 注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到 2. 注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫成完全平方的形式： 3. 注意：（1）字母不一定是正數(shù)（2）能開得盡方的因式移到根號(hào)外時(shí)，必須用它的算術(shù)平方根代替（3）可移到根號(hào)內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外 4. 公式與的區(qū)別與聯(lián)系 （1）表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù) （2）表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù) （3）和的運(yùn)算結(jié)果

44、都是非負(fù)的【典型例題】 【例4】若則 舉一反三：1、若，則的值為 。2、已知為實(shí)數(shù)，且，則的值為（ ）A3B 3C1D 13、已知直角三角形兩邊x、y的長(zhǎng)滿足x240，則第三邊長(zhǎng)為.4、若與互為相反數(shù)，則。 （公式的運(yùn)用）【例5】 化簡(jiǎn)：的結(jié)果為（ ）A、42a B、0 C、2a4 D、4舉一反三：1、 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式: = ；= 2、 化簡(jiǎn)：=_ （公式的應(yīng)用）【例6】已知,則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）A、 B、 C、D、 舉一反三：1、根式的值是( )A-3 B3或-3 C3 D92、已知a<0，那么2a可化簡(jiǎn)為（ ） Aa Ba C3a D3a3、若，則等于（ ）A. B. C. D

45、. 4、若a30，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 2a7 (D) 72a5、化簡(jiǎn)得（ ） （A）2（B）（C）2（D）6、當(dāng)al且a0時(shí)，化簡(jiǎn) 7、已知，化簡(jiǎn)求值：【例7】如果表示a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么化簡(jiǎn)ab+ 的結(jié)果等于（ ） A2b B2b C2a D2a【例8】化簡(jiǎn)的結(jié)果是2x-5，則x的取值范圍是（ ）（A）x為任意實(shí)數(shù) （B）x4 （C） x1 （D）x1舉一反三：若代數(shù)式的值是常數(shù)，則的取值范圍是（ ）或【例9】如果，那么a的取值范圍是（ ） A. a=0 B. a=1 C. a=0或a=1 D. a1 舉一反三：若，則的取值范圍是（

46、）（A） （B） （C） （D）【例10】化簡(jiǎn)二次根式的結(jié)果是（ ）（A） (B) (C) (D)舉一反三：1、把二次根式化簡(jiǎn)，正確的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 2、把根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)：當(dāng)0時(shí)， ； 。18：最簡(jiǎn)二次根式和同類二次根式【知識(shí)要點(diǎn)】1、最簡(jiǎn)二次根式：（1）最簡(jiǎn)二次根式的定義：被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式；分母中不含根號(hào)2、同類二次根式（可合并的根式）：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個(gè)根式?！镜湫屠}】 【例11】在根式1) ，最簡(jiǎn)二次根式是（ ） A1) 2) B3) 4) C1) 3) D1) 4)舉一反三：1、中的最簡(jiǎn)二次根式是 。2、下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）ABCD3、下列根式不是最簡(jiǎn)二次根式的是()A.B.C.D.4、下列各式中哪些是最簡(jiǎn)二次根式，哪些不是？為什么？ (1) (2) (3) (4) (5) (6)5、把下列各式化為最簡(jiǎn)二次根式： (1) (2) (3)【例12】下列根式中能與是合并的是( )A. B. C.2 D. 舉一反三：1、下列各組根式中，是可以合并的根式是（ ） A、 B、 C、 D、2、在二次根式：； ； ；中，能與合并的二次根式是 。3、如果最簡(jiǎn)二次根式與能夠合