江蘇省鎮(zhèn)江市2015屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

1、 江蘇省鎮(zhèn)江市 2015 屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 一、填空題：本大題共 1414 小題，每小題 5 5 分，共 7070 分. .不需要寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案 直接填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)住置上. . 2 1 .記復(fù)數(shù)z = a bi(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)為 z = a - bi(a,b R)，已知z = 2 i，貝U z 口 _. 2. 設(shè)全集 U 二Z，集合 M1,2】P = =2,-1,0,1,21，則 PdeuM = . 3. 某校共有師生 1600 人，其中教師有 1000 人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從所有師生中抽取一個(gè)容量為 80 的樣本，則抽取學(xué)生的人數(shù)為 . . 2 2 4.

2、 若雙曲線 篤-占=1(a 0,b 0)的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距 a b 1 離等于焦距的-，則該雙曲線的漸近線方程是 . . 4 5. 已知向量 a = (2x -1, -1),b = (2, x 1), a _ b，則 x = . . 1 6執(zhí)行如圖流程圖，若輸入a =20,b ，則輸出a的值為 2 7.設(shè):,:為互不重合的平面， m, n是互不重合的直線，給出下列四 個(gè)命題： 若 m n,n 二： ,則 m ：； 若 m 二n 二圧，m ：，n ：，則/ :； 若/ - , m 二n 二，則 m n ； 若-:,， -m, n 二：s n _ m ,貝U n _ :; 其中正確命題的序

3、號(hào)為 . . b- &設(shè)m,n分別為連續(xù)兩次投擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)，且向量 ahm, n, b = 11,-1，則向量a,b的夾角為 銳角的概率是 _ . 9.設(shè)等比數(shù)列、an 的前n項(xiàng)和為Si，若S - 7, - 63,則a7 a8 a - - 10 .已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與圓C: x2 寸=2相交于A, B兩點(diǎn)，：ABC的面積為 1，則直線丨的 方程為 . . 11.若鈍角三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊長(zhǎng)度之比為 m，則m的取值范圍是 _. 12.若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f(x)=xl nx，則不等式f(x) ： -e的解集為 _. 1

4、 13曲線y (x : 0)與曲線y = l nx公切線(切線相同)的條數(shù)為 _ x 11 4 x 9 y 14 .已知正數(shù)x, y滿足 1，則 的最小值為 . . x y x _1 y _1 二、解答題：本大題共 6 小題，共 90 分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域.內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、 證明過(guò)程或演算步驟 15. (本小題滿分 14 分) 已知 ABC的面積為S，且AB A - ：2S. . (1) 求 sin A ； AB =3, AB AC = 2寸3，求 sin B . 16. (本小題滿分 14 分) 如圖，在三棱錐 D -ABC中，已知 BCD是正三角形, BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在

5、棱AC上，且AF -3FC. (1) 求三棱錐D - ABC的體積； (2) 求證：AC _平面DEF ; (3 )若M為DB中點(diǎn)，N在棱AC上，且 3 CN CA,求證：MN/ 平面 DEF . 8(2 )若 AB _ 平面 BCD , AB = BC = a , E 為 17. (本小題滿分 15 分) 某飛機(jī)失聯(lián)，經(jīng)衛(wèi)星偵查，其最后出現(xiàn)在小島 0附近現(xiàn)派出四艘搜救船 代B,C, D，為方便聯(lián)絡(luò), 船代B始終在以小島0為圓心，100 海里為半徑的圓上，船 A,B,C,D構(gòu)成正方形編隊(duì)展開(kāi)搜索，小 島0在正方形編隊(duì)外(如圖)設(shè)小島0到AB的距離為x，. AOB 船到小島0的距離為d . (1

6、)請(qǐng)分別求d關(guān)于x,.二的函數(shù)關(guān)系式d =g(x),d = f(：)；并分別寫(xiě)岀定義域; (2)當(dāng)A, B兩艘船之間的距離是多少時(shí)搜救范圍最大(即 d最大) (1) 求橢圓的方程； (2) 證明：直線 MN 必過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo); (3)若弦AB,CD的斜率均存在，求 FMN面積的最大值 19. (本小題滿分 16 分) 已知函數(shù) f (x) =4x -2x，實(shí)數(shù) s,t 滿足 f (s) f(t0 ,設(shè) a =2s 2t,b = 2sl (1) 當(dāng)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?L 1,1 時(shí)，求f (x)的值域； (2) 求函數(shù)關(guān)系式b=g(a)，并求函數(shù)g(a)的定義域； 18. (本小

7、題滿分 15分) 2 F(1,0),離心率為 ，過(guò)F作兩條互相垂直的弦 AB,CD (3) 求8s 8的取值范圍. 20. (本小題滿分 16 分) 已知數(shù)列 & 中，a1，在a1 ,a2之間插入 1 個(gè)數(shù)，在a2,a3之間插入 2 個(gè)數(shù)，在a3,a4之間插入 3 個(gè)數(shù)，在an,an 1之間插入n個(gè)數(shù)，使得所有插入的數(shù)和原數(shù)列 訂鳥(niǎo)中的所有項(xiàng)按原有位置順序構(gòu) 成一個(gè)正項(xiàng)等差數(shù)列 . (1)若a4 =19，求b 1的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列n 的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足，2Sn砲 =0(，為常數(shù))，求an 的通項(xiàng)公式江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末試題 第口卷（理科附加卷） 21. 【選做題】本題

8、包括 A,B,C,D 四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則 按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 A. （選修 4-1 :幾何證明選講） 如圖，圓O與圓P相交于代B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓O上，圓O的弦BC切圓P于點(diǎn)B,CP及其延長(zhǎng)線交 圓P于D,E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF_CE交CB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F若CD = 2,CB = 2.2，求EF的長(zhǎng). B. （選修 4-2 :矩陣與變換） C. （選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） p 7x =10cosq 已知直線丨的極坐標(biāo)方程為r sin（q -）=6，圓C的參數(shù)方程為 （q為參數(shù)） 3 ?y=10s inq （1） 請(qǐng)

9、分別把直線丨和圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程； （2） 求直線l被圓截得的弦長(zhǎng) D. （選修 4-5:不等式選講） 已知函數(shù)f （x） = x- 1 + x- 2 ,若不等式a+b + a- b ? a f （x）對(duì)任意a,b? R恒成立，求實(shí)數(shù)x的 取值范圍. 【必做題】第 22, 23 題，每小題 10 分，計(jì) 20 分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)已知矩陣M 0 ，試求曲線y =sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式 22. （本小題滿分 10 分） 已知A為曲線C : 4x2 - y + 1=0上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) M （-2,0），若AT = 2TM，求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程 23. （本小題滿分

10、10 分） 已知四棱錐P- ABCD的底面為直角梯形，AB/CD,?DAB 90癪PA 底面ABCD且 1 PA = AD = DC 二一AB = 1,M 是 PB 的中點(diǎn). 2 （1） 證明：平面PAD A平面PCD ； （2） 求AC與PB所成角的余弦值； （3） 求平面AMC與平面BMC所成二面角 （銳 余弦值.角）的 江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學(xué)期末考試參考答案 、填空題（每小題 5 分） 題號(hào) 答案 試題出處 知識(shí)點(diǎn) 能力 難度 1 34i ?？碱}改編 復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù) 運(yùn)算 易 2 2 -1,0 教材改編 集合的交集與補(bǔ)集 運(yùn)算 易 3 75 教材改編 分層抽樣 運(yùn)算 易 4 +屈 y

11、 =x 3 教材改編 雙曲線的幾何性質(zhì) 運(yùn)算 易 5 1 教材改編 向量的數(shù)量積 運(yùn)算 易 6 5 16 教材改編 算法流程圖 識(shí)圖 易 7 教材改編 立體幾何的判定和性質(zhì)定理 空間想象 中 8 5 12 原創(chuàng) 概率問(wèn)題，向量的夾角 運(yùn)算 中 9 448 教材改編 等比數(shù)列的性質(zhì)，求和 運(yùn)算 中 10 x 1 =0 , 3x 4y H5 =0 教材改編 直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直 線的距離公式 運(yùn)算 中 11 （2,訟） ?？碱}改編 正弦定理，角度范圍的確定 直覺(jué)，圖形分析 較難 12 (q, e) 原創(chuàng)題 函數(shù)的奇偶性，函數(shù)求導(dǎo)，函 數(shù)單調(diào)性 圖象分析 難 13 1 ?？碱}改編 函數(shù)求導(dǎo)，構(gòu)

12、造函數(shù)及畫(huà)新函 數(shù)圖像 轉(zhuǎn)化，運(yùn)算 難 14 25 ?？碱}改編 基本不等式求最值 轉(zhuǎn)化 難 二、解答題 15.解：（1） ABC 的面積為 S，且 AB = 2S , 二 bccosA = 2 丄 bcsi nA , . 2 2 分 2 sin A = 2 cos A , . 3 3 分 1 3 A 為銳角，且 sin2A cos2A=sin2A sin2 A sin2A=1, . 5 5 分 2 26 6 分 sinA 6 3 (2)設(shè)厶ABC中角 A,B,C 對(duì)邊分別為 a,b,c | AB|=c =3 , | AB AC|CB 二a =2 3 , 由正弦定理得: c sin C sin

13、A ，即 3 sin C 2、3 二 6 3 sinC 2，又:c：a,則 C 銳角, 2 7t - - 7 7分 9 9 分 1010 分 - - 11 11 分 . n n n sin B =si n(A ) =si nAcos cos As in 4 4 4 6 2 .3 2 2 3 、6 = 二 3 2 3 2 6 1212 分 1414 分 【說(shuō)明】本題是由模擬試題改編，考查三角形中的邊角關(guān)系、向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查正弦定理，三 角變換；考查學(xué)生的字母符號(hào)處理能力、運(yùn)算能力能力、書(shū)寫(xiě)表達(dá) 16.解: (1)因?yàn)?BCD是正三角形，且 AB =BC =a，所以S BCD 3 a,2 2

14、 分 4 因?yàn)锳B丄平面BCD , VDBC =VACD =- AB SCDJ 3 a2 a= 3界 5 5 分 3 3 4 12 (2)在底面ABC中，(以下運(yùn)用的定理不交代在同一平面中，扣 1 1 分) 取 AC 的中點(diǎn) H，連接 BH , AB 二 BC = BH _ AC, AF =3FC, = F為CH的中點(diǎn)， 二 EF / BH E為BC的中點(diǎn)， =EF _ACI|I)6 分 J BCD是正三角形，二 DE 丄 BC . AB 丄面 BCD, , 八 二 AB _ DE, (7 分) DE 面 BCD, 二.DE _ 面 ABC, ABlBC 二 B, AB,BC 面 ABC, (

15、),= DE 丄 AC,(9 分) ACU 面 ABC, AC 丄 EF, DE - EF 二 E, DE,EF 面 DEF , 二 AC _面 DEF .1010 分 (注意：涉及到立體幾何中的結(jié)論，缺少一個(gè)條件，扣 1 分，扣滿該邏輯段得分為止) 3 (3)當(dāng) CN CA 時(shí)，連 CM，設(shè) CM - DE =0，連 OF . 8 2 O為厶BCD的重心，=CO CM 3 2 當(dāng) CF 二一 CN 時(shí)- MN / OF ,(11 11 分) OF u 面 DEF , MN 二面 DEF, 二MN /面 DEF .1414 分 【說(shuō)明】本題是由?？碱}改編，考查錐體體積、垂直的判定、平行的判定；

16、考查空間想象能力和識(shí)圖 能力，規(guī)范化書(shū)寫(xiě)表達(dá)能力 17.解：設(shè) x的單位為百海里 (1)由.三 OAB = :- , AB = 20A cos A = 2cosA , AD = AB = 2cos, . 2 2 分 在厶 AOD 中，OD=f(:)二 OA2 OB2-2 OA OBcos(: J 3 3 分 =Jl +4cos2a +4cosasinot ； a a (0,-)(定義域 1 分) . 5 5 分 2 若小島 O 到AB的距離為 x , AB=2：12-x2 , 6 6 分 AD 2 AB 2 OD 二 g(x) = .(X：；)() 8 8 分 2 2 -.-x2 2x J-x

17、2 2 , (0,1) (定義域 1 分) 1010 分 2 2 (2) OD =4cos a+1+4cosasinot ； a 云(0 ) ，2 =4 1_cos2 - 1 4 弘2 - =2(si n2 隈亠 cos2:) 3 2 =22sin(2a +n)+3,a = (0,n). 4 2 當(dāng) 2a (n,5n)，貝 y 2a +n=n時(shí)，即丄，OD 取得最大值, 4 4 4 4 2 8 1111 分 - -1212 分 此時(shí) AB =2cos n = 2 8 1 +cos 衛(wèi) _ - 4 = 2 .2 (百海里). 1313 分 答：當(dāng)AB間距離 100 2 、2 海里時(shí)，搜救范圍最大

18、. 1414 分 【說(shuō)明】本題是原創(chuàng)題，考查余弦定理，三角恒等變換，數(shù)學(xué)建模的能力，選擇合適的模型求最值的 問(wèn)題. 18.解：（1）由題意：c=1,c -，則 a=對(duì)2,b=1,c=1,（每個(gè) 1 1 分） . 3 3 分 a 2 2 橢圓的方程為 y2 =1 4 4 分 2 y (2) AB,CD 斜率均存在，設(shè)直線 AB方程為：y=k(x_1), 5 5 分 3 x1 xo z x1 x2 AEJgSN (丁,k(丁一， y =k(x-1), x2 2y2 _2 =0, 2 2 2 2 得(1 2k )x -4k x 2k -2=0, 4k % X2 1 2k2 ， k2 NX 空 1 2

19、k M(, J， 1 2k 1 2k 將上式中的k換成 ，則同理可得: N(, J， k 2 k 2 如 1 2k 2 2 k2 得1，則直線 MN斜率不存在, 此時(shí)直線 MN過(guò)點(diǎn) (2,0)，下證動(dòng)直線 MN過(guò)定點(diǎn) P(2,0). 3 9 9 分(法一)若 直線MN斜率存在，則 k 2 2 12k 2 k -k 2 2k2 2 T 2 1 2k 2 k 2 斗(3k 3) 3 -k 2 2k4 -2 2 k -1 直線MN為 y-+ 3 -k - 2 (x 2 )， 2 k -1 2 k 2 k2 -1 2 3 2 k 2 3 k2 -1 2 3 2 k 1111 分 綜上，直線MN過(guò)定點(diǎn)

20、(2,0). 1212 分 (法二)動(dòng)直線MN最多過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，定點(diǎn)必在 x 軸上，設(shè)x = 2 2 與 x軸交點(diǎn)為 P (-,0)， 3 3 2 下證動(dòng)直線 MN過(guò)定點(diǎn) P(-,0). 3 當(dāng) k 時(shí)，kpM 二 _k 1 2k2 =3 k 2 k2 2 2 2 1 2k 3 1010 分 同理將上式中的k換成-丄，可得 k kpM 3 (-丄) k_ 2-丄 1 k2 1111 分 則 kpM二 kpN，直線MN過(guò)定點(diǎn) 2 P(2,0). 1212 分 2 (3)由第(2)問(wèn)可知直線 MN過(guò)定點(diǎn) P(2,0)， 11k 1 1 -k =2 312 k2 1 2 311 2k2

21、2 2 1 |k|(3 3k ) 1 |k|(k 1) 6(2 k2)(1 2k2) 2 2k4 5k2 2 (|k| 2 2k2 5 22 k 1 當(dāng)t =2時(shí) f(t)取得最大值，此時(shí) SAFMN取得最大值1，此時(shí)k=2 恒成立, 令 “2,3，得 4d(1d) 2(1d)： 6d(1 _d) +2(1 _d) 當(dāng)d =1 時(shí)，代入上式得二二1,】 2 代入式，得二1 4 (法三)由 2bn =d(bn bn)2(n _2), 得 2bn1 二 d(bn丄 bn2)2d(n _3), 2 1 -，得 2d =2d , d =1 ,代入上式得-, 1111 分 2 代入式，得 =1. 121

22、2 分 4 所以等差數(shù)列bn的首項(xiàng)為 b =1，公差為 d =1，則 bn = n . .1313 分 設(shè)a.中的第 n項(xiàng)為數(shù)列0中的第k項(xiàng)，則 a.前面共有a.的n -1 項(xiàng)，又插入了 故 an =bk =k 【說(shuō)明】本題是原創(chuàng)題，考查等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)、求和、簡(jiǎn)單遞推；考查一般與特殊思想、轉(zhuǎn)化 與劃歸思想；考查運(yùn)算能力；考查分析探究能力d =1, ,1 LL _2 1111 分 2 【或者:2d(1 -d)n 2(1 d) =2 弋 2 -d 二常數(shù)，貝 U 2d(1 d) =0，得 d =1 , 1212 分 1 2 3 (11 n - 1 卜吃 9 項(xiàng)，則: 2 k =(n 1) n

23、(n -1) 2 n2 n 1515 分 1616 分 0 第H卷理科附加卷 21.B 解: MN MN =1 |0 1 01 八 2 0 1 即在矩陣 MNMN 變換下 FL 2 J J 丿0 0】 _1 1 -x 2 1 o x x, y 2y , 2 代入得：in2x , 2 即曲線 y =sinx 在矩陣 MNMN 變換下的函數(shù)解析式為 y =2sin 2x . 21.C 解：(1 )由 sin(v =6 ，得:Qsin 3cosv) =6 2 3 .y -、3x =12，即 3x - y 12 =0 . 圓的方程為 x2 y2 =100 . (2)卜 d =6, r =10 , 弦長(zhǎng) I =2 100 -36 =16 . 2 22.解：設(shè) T(x, y), A(x,y)，則 4x -y，1 =0，