特殊行列式及行列式計算方法總結(jié)

1、.特殊行列式及行列式計算方法總結(jié)一、幾類特殊行列式1.上（下）三角行列式、對角行列式（教材P7 例 5、例 6）2. 以副對角線為標準的行列式a11a12a1n000a1n0a1n00a2, n0a21a2201a2na2, n 1000an 1,2an 1,n000ann00 01an 1,n00an1an 2an ,n 1an1annn ( n1)(1) 2a1n a2,n 1an13. 分塊行列式（教材 P14 例 10）一般化結(jié)果：AnCn mAn0n mAnBm0m nBmCm nBm0n mAnCn mAn( 1)mnAn BmBmCm nBm0m n4. 范德蒙行列式（教材 P1

2、8 例 12）注： 4 種特殊行列式的結(jié)果需牢記！以下幾種行列式的特殊解法必須熟練掌握！ ！二、 低階行列式計算二階、三階行列式對角線法則 （教材 P2、P3）三、 高階行列式的計算【五種解題方法】1) 利用行列式定義直接計算特殊行列式；2) 利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）擴展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進行計算適用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素， 并且非零元素的代數(shù)余子式很容易計算；4) 遞推法或數(shù)學(xué)歸納法；5) 升階法（又稱加邊法）.【常見的化簡行列式的方法】1. 利用行列式定義直接計算特殊行列式例 1 （ 2001 年考研題

3、）0001000200D019990002000000000002001分析：該行列式的特點是每行每列只有一個元素，因此很容易聯(lián)想到直接利用行列式定義進行計算。解法一：定義法D(1) (n 1,n 2,.,2,1, n) 2001! ( 1)0 1 2 . 1999 0 2001! 2001!解法二：行列式性質(zhì)法利用行列式性質(zhì) 2 把最后一行依次與第 n-1,n-2,2,1 行交換（這里 n=2001），即進行 2000 次換行以后，變成副對角行列式。00002001000102001 100200200112001(20011)D (1)( 1)22001! 2001!(1)01999000

4、20000000解法三：分塊法0001000200D199900002000000000002001利用分塊行列式的結(jié)果可以得到.000100202000(2000-1)D =2001=2001 (-1)22000!=2001！01999002000000解法四：降階定理展開按照每一行分別逐次展開，此處不再詳細計算。2. 利用行列式的性質(zhì)將高階行列式化成已知結(jié)果的特殊行列式例 21 a11111 a11D11 b111111 b分析：該行列式的特點是1 很多，可以通過 r1r2 和 r3r4 來將行列式中的很多 1化成 0.解：aa00110011 00D11 a 1111 a 11r2r10

5、a 11abab00bb0011r4r100 111111 b1111 b00 11 b1100r4r30a112b2ab001a1000b例 3a13a12b1a1b12b13a23a22b2a2 b22b23， (ai 0)Da32b3a3 b32b33a33a43a42b4a4 b42b43分析：該類行列式特點是每行a 的次數(shù)遞減， b 的次數(shù)增加。特點與范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性質(zhì)將D 化成范德蒙行列式。解：.1( b1 )( b1 )2a1a11( b2 )( b2 )2D a13a23a33 a43a2a2( b3 )( b3 )21a3a31( b4 )( b4 )

6、2a4a43333V (b1,b2b3,b4)a1 a2a3 a4a2,a4a1a33333(bibj)a1 a2a3 a4aia j1 ji4( b1 )3a1( b2 )3a2( b3 )3a3( b4 )3a4練習(xí)：（11-12 年 IT 專業(yè)期末考試題）111若實數(shù) x, y, z 各不相等，則矩陣 Mxyz 的行列式 M _x 2y 2z 23. 利用行列式的行（列）擴展定理以及行列式的性質(zhì)，將行列式降階進行計算例 4ab0000ab00Dn000abb000a分析：該行列式特點是a 處于主對角線， b 在 a 后的一個位置，最后一行中b 是第一個元素， a 是最后一個元素。解：按第

7、一列展開：ab000b0ab00a bD n a ( 1)1 1( 1)n 1b000aba b0000aa an 1( 1)n 1b bn 1an( 1) n 1 bn練習(xí)：（11-12 年期中考試題）.xy0000xy0000x00D n000xyy000x4. 行（列）和相等的行列式例 5abbD nbabbba分析：該行列式的特點是主對角線上元素為a ，其余位置上都是 b ?？蓪⒌?2,3，n 列加到第 1 列上。（類似題型：教材P12 例 8，P27 8(2)）解：1bb1bbDn1ab1a b0 a ( n 1)b a ( n 1)b1ba10a b a(n 1)b( a b)n

8、15. 箭頭形（爪行）行列式例 601111200D 1030100n分析：該類行列式特點是第一行、第一列及主對角上元素不為0，其余位置都為0.解此類行列式方法，是將行列式化成上三角行列式。解：分別從第 2,3, ,n 列提出因子 2,3，n，然后將第 2,3,n 列分別乘以 -1，再加到第 1 列上。.0111n111123ni2i23n111000100nD n! 10 10n!0010n! i 2(i )10010001注：爪形行列式非常重要， 很多看似復(fù)雜的行列式通過簡單變化以后都可以化成爪形行列式進行計算！練習(xí)：1) 教材習(xí)題 P28: 8(6)2) （11-12 年期末考試題）a2

9、3(n 1)n2a00030a00Ann 100a0n000a3) （11-12 年 IT 期末考試題）xa1a 2a n 1a nx1000x0200D n 1x00n 10x000n例 7x1a2a3ana1x2a3anD a1a2x3ana1a2a3xn分析：該類行列式特點是每一行只有主對角線上的元素與第一個元素不同。解：.x1a2a3ana1x1x2 a200D a1x10x3 a30a1x100xnanx1a2a3anx1a1x2 a2x3 a3xn an( x1a1) ( x2a2 )( xn an )110010101001naia2an1aix2 a2xn ani 1 xi(

10、x1 a1) ( x2 a2 ) ( xn an )010001nnai( xi ai )1i 1 xiaii 16. 遞推法或數(shù)學(xué)歸納法該方法用于行列式結(jié)構(gòu)具有一定的對稱性，教材P15 例 11 就是遞推法的經(jīng)典例題。利用同樣的方法可以計算教材P27 8(4)。7. 升階法通常計算行列式都采用降階的方法，是行列式從高階降到低階， 但是對于某些行列式，可以通過加上一行或一列使得行列式變成特殊行列式，再進行計算。例 8 （教材 P28 8(6)）1+a11111+a21Dn =, (ai 0)111+an分析：該題有很多解法，這里重點介紹升階法。因為行列式中有很多1，因此可以增加一行 1，使得行

11、列式變成比較特殊或者好處理的行列式。注意：行列式是方形的，因此在增加一行以后還要增加一列，以保持行列式的形狀。 為了使行列式的值不改變，因此增加的列為1,0,0,0.1111111101+a111-1a100定理 3ri -r1n1Dn = 011+a21= -10a20 =a1a2 .an (1+)i =1ai0111+an-100an例 9（教材 P27 6(4)）1111abcdD=b2c2d 2a2a4b4c4d 4分析：此行列式可以應(yīng)用性質(zhì) 6 將行列式化為上三角行列式， 也可以對比范德蒙行列式的形式，通過添加一行和一列把行列式變成范德蒙行列式以后再進行計算。解法一：ra2 r1111430b ac ad ar3 ar2D0b(ba)c(ca)d (da)r2ar10 b2 (b2a2 ) c2 (c2a2 ) d 2 (d 2a2 )按第一111=(ba)( ca)( da)bcd列展開b2 (bc2 (c a)d 2 (da)a)c2c1100c3(ba)(ca)(da)bcbd bc1b2 (b a) c2 ( c a) b2 (b a) d 2 (d a) b2 (b a)按第一cbd b行展開 (ba)( ca)( da)2(c a) b2(b a) d