復(fù)變函數(shù)第一講

1、課程名稱課程名稱復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換教教 材材復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(四版四版)西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室 編編總總 學(xué)學(xué) 時(shí)時(shí)48學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)聯(lián)系方式曹鴻鈞曹鴻鈞 課程簡介課程簡介積分變換積分變換(四版四版)東南大學(xué)數(shù)學(xué)系東南大學(xué)數(shù)學(xué)系 張?jiān)謴堅(jiān)?編編2013-2014學(xué)年學(xué)年 SY209 16:20-18:10（周一）；（周一）；14:10-16:00（單周三）（單周三）*每周一課后交作業(yè)*答疑時(shí)間：待定*成績=（平時(shí)成績+期中考試）*40%+期末考試*60%*公用郵箱： fubianhanshu_*密碼：bjtusy209對對 象象復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)

2、數(shù)的函數(shù)）復(fù)變函數(shù)（自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)）主要任務(wù)主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、共形映射等。共形映射等。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、學(xué)習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推推廣和發(fā)展廣和發(fā)展，它們之間有許多，它們之間有許多相似相似之處，之處，但又有但又有不同之處不同之處，在學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中要善于中要善于比較、區(qū)別比較、區(qū)別、特別要注、

3、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)意復(fù)數(shù)域上特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。果。復(fù)變函數(shù)與積分變換在電氣工程方面的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)與積分變換在電氣工程方面的應(yīng)用自動(dòng)控制理論中，數(shù)字信號系統(tǒng)，電力系統(tǒng)和模電方面有很多應(yīng)用，例如：積分變換可以把微分方程變微分方程變換為代數(shù)方程，求解方便。求線性系統(tǒng)的響應(yīng)，用積分變換不用考慮初始狀態(tài)，非常方便，可以實(shí)現(xiàn)時(shí)域時(shí)域和頻域頻域的變換，方便對諧波諧波進(jìn)行分析計(jì)算。使用復(fù)頻域的狀態(tài)變量解法可以方便的用計(jì)算機(jī)對系統(tǒng)進(jìn)行求解 。在物理學(xué)或力學(xué)中，復(fù)變函數(shù)用來建立平面場的數(shù)學(xué)模型，例如在流體力學(xué)中 ，平面流速場的速度分布可用復(fù)函數(shù) VV（z）Vx（x，y）Vy（x，y）來表示，

4、其中，Vx（x，y）和Vy（x ，y）是速度分量 ，V（z）稱為復(fù)速度。在靜電學(xué)中，平面靜電場也可以用復(fù)函數(shù) E（z）Ex（x，y）iEy（x，y）來表示，Ex（x，y）和Ey（x，y）是場強(qiáng)分量，E（z）稱為復(fù)場強(qiáng)。 背景背景復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時(shí)引進(jìn)的。復(fù)數(shù)是十六世紀(jì)人們在解代數(shù)方程時(shí)引進(jìn)的。為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)為使負(fù)數(shù)開方有意義，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對復(fù)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但在十八世紀(jì)以前，由于對復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又?jǐn)?shù)的概念及性質(zhì)了解得不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，所以，在歷史上

5、長時(shí)期人們把復(fù)數(shù)得到一些矛盾，所以，在歷史上長時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的看作不能接受的“虛數(shù)虛數(shù)”。直到十八世紀(jì)，。直到十八世紀(jì)，J.DJ.DAlembert(1717-1783)Alembert(1717-1783)與與L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義，澄清了復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體復(fù)數(shù)的概念，并且應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接力學(xué)等方面的一些問題。復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)接受，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。受

6、，復(fù)變函數(shù)論才能順利建立和發(fā)展。復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)是十九世紀(jì)奠定的。 A.L.Cauchy A.L.Cauchy （1789-1866)1789-1866)和和K.Weierstrass(1815-K.Weierstrass(1815-1897)1897)分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，分別應(yīng)用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，G.F.B.Riemann (1826-1866)G.F.B.Riemann (1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照性研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過他們的質(zhì)。他們是這一時(shí)期的三位代表人物。經(jīng)過他們的巨大努力，復(fù)變函

7、數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲巨大努力，復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論，且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體透到了數(shù)學(xué)的許多分支，同時(shí)，它在熱力學(xué)，流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用。二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理二十世紀(jì)以來，復(fù)變函數(shù)已被廣泛地應(yīng)用在理論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其論物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也日益密切。它分支的聯(lián)系也日益密切。第一講復(fù)數(shù)2013-09-02CH1 A 一般一般, , 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。1. 復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 定義定義 對任

8、意兩實(shí)數(shù)對任意兩實(shí)數(shù)x、y ,稱稱 z=x+iy或或z=x+yi為復(fù)數(shù)。為復(fù)數(shù)。稱為虛單位。稱為虛單位。其中其中ii,1 2 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z 的實(shí)部的實(shí)部 Re(z) = x ; 虛部虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0|22 yxz 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模0)Im()Re(0,222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其中其中 判斷復(fù)數(shù)相等判斷復(fù)數(shù)相等定義定義 z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的和、差、積和商為：的和、差、積和商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x

9、2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同與實(shí)數(shù)相同）即，）即，2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizz

10、zzz 3.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)定義定義 若若z=x+iy , 稱稱 z=x-iy 為為z 的共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).(conjugate).,)( ,43,55:1212121虛部虛部及它們的實(shí)部及它們的實(shí)部求求設(shè)設(shè)例例zzzziziz 574355:21 iiizz解解411:2 ii求求例例iii 11)(.,0aaaa . 3011-1nn現(xiàn)現(xiàn)實(shí)實(shí)多多項(xiàng)項(xiàng)式式的的零零點(diǎn)點(diǎn)成成對對出出也也是是其其根根則則的的根根是是實(shí)實(shí)系系數(shù)數(shù)方方程程證證明明若若例例zxxxznn 22212212212:. 4zzzzzz 證證明明例例& 1. 點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示& 2. 向量表示法向量表示法&

11、amp; 3. 三角表示法三角表示法& 4. 指數(shù)表示法指數(shù)表示法2 復(fù)數(shù)的表示方法復(fù)數(shù)的表示方法1. 點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示),(yxiyxz一一對對有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)易易見見， ),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)一一對對有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)任任意意點(diǎn)點(diǎn)系系，則則在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐標(biāo)標(biāo) 此此時(shí)時(shí)，表表示示的的點(diǎn)點(diǎn)，可可用用平平面面上上坐坐標(biāo)標(biāo)為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù).)(Pyxiyxz 平平面面復(fù)復(fù)平平面面或或平平面面虛虛軸軸軸軸實(shí)實(shí)軸軸軸軸zyx)(yxPiyxz，復(fù)平面上的點(diǎn)復(fù)平面上的點(diǎn) 點(diǎn)的表示：點(diǎn)的表示：A 數(shù)數(shù)z z與點(diǎn)與點(diǎn)z z同義同義. .,)(i

12、yxzOPyxOPyxPiyxz 表示表示可用向量可用向量，點(diǎn)點(diǎn)2. 向量表示法向量表示法A 00 OPzzyxrOPzArg:,|22記記作作輻輻角角模模： oxy(z)P(x,y)rz xy 稱向量的長度為復(fù)數(shù)稱向量的長度為復(fù)數(shù)z=x+iy的的模?；蚧蚪^對值絕對值；以正實(shí)軸以正實(shí)軸 為始邊為始邊, 以以 為終邊的角的為終邊的角的弧度數(shù)弧度數(shù) 稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的的輻角輻角.(z0時(shí)時(shí))OP向量向量輻角無窮多：輻角無窮多：Arg z=0+2k， kZ，xyzz/)Argtan(0 時(shí)，時(shí)， 0把其中滿足把其中滿足 的的0稱為輻角稱為輻角Argz的主值，的主值，記作記作0=argz。

13、A z=0z=0時(shí)，輻角不確定。時(shí)，輻角不確定。 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 計(jì)算計(jì)算argz(z0) 的公式的公式A 當(dāng)當(dāng)z z落于一落于一, ,四象限時(shí)，不變。四象限時(shí)，不變。 A 當(dāng)當(dāng)z z落于第二象限時(shí)，加落于第二象限時(shí)，加 。 A 當(dāng)當(dāng)z z落于第三象限時(shí)，減落于第三象限時(shí)，減 。 2arctan2 xy 212223oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由向量表示法知之間的距離之間的距離與與點(diǎn)點(diǎn)2112zzzz 3. 三角表示

14、法三角表示法)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx4. 指數(shù)表示法指數(shù)表示法得得公式公式再由再由 sincos:ieEuleri irez 25262728引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示，可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程（或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方（或不等式）表示；反之，也可由給定的復(fù)數(shù)方程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形。程（或不等式）來確定它所表示的平面圖形。例例1 用復(fù)數(shù)方程表示用復(fù)數(shù)方程表示:（1）過兩點(diǎn)）過兩點(diǎn) zj=xj+iyj (j=1,2)的直線；的直線；（2）中心在點(diǎn)）中心在點(diǎn)(0, -1), 半徑為半徑為2的圓。的圓。

15、oxy(z)Lz1z2z解解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0為半徑的為半徑的圓圓 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 對任意對任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R，則，則D是有界是有界區(qū)域區(qū)域；否則無界。；否則無界。閉區(qū)域閉區(qū)域 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,.D記記為為.,00為為半半徑徑的的圓圓內(nèi)內(nèi)所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)以以為為圓圓點(diǎn)點(diǎn)表表示示以以rzrzz .xyIm,Re軸軸的的直直線線軸軸和和表表示示分分別別平平行行于于 zz.,.,1020201幾個(gè)點(diǎn)幾個(gè)點(diǎn)只是邊界增加了一個(gè)或只是邊界增加了一個(gè)或它仍然是區(qū)域它仍

16、然是區(qū)域幾個(gè)點(diǎn)幾個(gè)點(diǎn)如果在其中去掉一個(gè)或如果在其中去掉一個(gè)或組成組成它的邊界由兩個(gè)圓周它的邊界由兩個(gè)圓周而且是有界的而且是有界的表示一個(gè)圓環(huán)表示一個(gè)圓環(huán)rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半復(fù)復(fù)平平面面表表示示右右半半復(fù)復(fù)平平面面 zz2. 簡單曲線（或簡單曲線（或Jardan曲線曲線),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)表表示示為為：平平面面上上一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線可可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;則曲線方程可記為：則曲線方程可記為：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22則則稱稱該該曲曲線線為為光光

17、滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。重點(diǎn)重點(diǎn) 設(shè)連續(xù)曲線設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，atb，對于對于t1(a，b), t2 a, b,當(dāng)當(dāng)t1t2時(shí)，若時(shí)，若z(t1)=z(t2)，稱稱z(t1)為曲線為曲線C的重點(diǎn)。的重點(diǎn)。 定義定義 稱稱沒有重點(diǎn)沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線的連續(xù)曲線C為簡單曲線或?yàn)楹唵吻€或 Jardan曲線曲線;若簡單曲線若簡單曲線C 滿足滿足z(a)=z(b)時(shí)，則稱時(shí)，則稱此曲線此曲線C是簡單是簡單閉閉曲線或曲線或Jordan閉閉曲線曲線 。 z(a)=z(b)簡單閉曲線簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線不是簡單閉曲線3. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì) 任一條簡單閉曲線任一條簡單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復(fù)，把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分：一個(gè)是有界區(qū)域，稱為界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個(gè)是無界區(qū)域，稱為的內(nèi)部；一個(gè)是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個(gè)是它們的