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1、第2課時(shí)不等式的證明第十二章12.2不等式選講NEIRONGSUOYIN內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)題型分類 深度剖析課時(shí)作業(yè)1基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)PART ONE(1)作差比較法知道abab0,ababb,只要證明_即可,這種方法稱為作差比較法.(2)作商比較法由ab0 1且a0,b0,因此當(dāng)a0,b0時(shí),要證明ab,只要證明_即可,這種方法稱為作商比較法.1.比較法知識(shí)梳理ZHISHISHULIZHISHISHULIab02.綜合法從已知條件出發(fā),利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理,經(jīng)過(guò)推理論證,最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明方法叫做綜合法,即“由因?qū)Ч钡姆椒?3.分析法從待證不等式出發(fā),
2、逐步尋求使它成立的充分條件,直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等),從而得出要證的不等式成立,這種證明方法叫做分析法,即“執(zhí)果索因”的方法.4.反證法先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點(diǎn),結(jié)合已知條件,應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等,進(jìn)行正確的推理,得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論,以說(shuō)明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立.5.放縮法證明不等式時(shí),通過(guò)把不等式中的某些部分的值放大或縮小,簡(jiǎn)化不等式,從而達(dá)到證明的目的.1.綜合法與分析法有何內(nèi)在聯(lián)系?提示綜合法往往是分析法的相反過(guò)程,其表述簡(jiǎn)單、條理清楚,當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí),通常把分析法和綜合法
3、結(jié)合起來(lái)使用,以分析法尋找證明的思路,而用綜合法敘述、表達(dá)整個(gè)證明過(guò)程.2.分析法的過(guò)程中為什么要使用“要證”,“只需證”這樣的連接“關(guān)鍵詞”?提示因?yàn)椤耙C”“只需證”這些詞說(shuō)明了分析法需要尋求的是充分條件,符合分析法的思維是逆向思維的特點(diǎn),因此在證題時(shí),這些詞是必不可少的.【概念方法微思考】(2)用反證法證明命題“a,b,c全為0”的假設(shè)為“a,b,c全不為0”.()(3)若實(shí)數(shù)x,y適合不等式xy1,xy2,則x0,y0.()(4)若ma2b,nab21,則nm.()題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)基礎(chǔ)自測(cè)JICHUZICEJICHUZICE123456題
4、組二教材改編1234562.已知a,bR,ab2,則 的最小值為A.1 B.2 C.4 D.8解析因?yàn)閍,bR,且ab2,1234563.若a,b,mR,且ab,則下列不等式一定成立的是解析因?yàn)閍,b,mR,且ab.4.已知abc0,abbcac0,abc0,用反證法求證a0,b0,c0時(shí)的反設(shè)為A.a0,b0,c0,c0C.a,b,c不全是正數(shù) D.abcb1,xa ,yb ,則x與y的大小關(guān)系是A.xy B.xb1,得ab1,ab0,123456A.abc B.acb C.bca D.cab2題型分類深度剖析PART TWO題型一用綜合法與分析法證明不等式證明因?yàn)閤0,y0,xy0,師生共
5、研師生共研證明因?yàn)閍,b,c0,只需證明(abc)23.即證a2b2c22(abbcca)3,而abbcca1,故需證明a2b2c22(abbcca)3(abbcca),即證a2b2c2abbcca.a2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)成立,所以原不等式成立.用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?,用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”,它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過(guò)程,表述簡(jiǎn)單、條理清楚,所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí),往往用分析法找思路,用綜合法寫步驟,由此可見,分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化,互相滲透,互為前提,充分利用這一辯證關(guān)系,可以增加解題思路,開闊視野.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(2017
6、全國(guó))已知a0,b0,a3b32,證明:(1)(ab)(a5b5)4;證明(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a4b42a2b2)4ab(a2b2)24.(2)ab2.證明因?yàn)?ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)所以(ab)38,因此ab2.題型二放縮法證明不等式即|2xy4|a.師生共研師生共研原不等式成立.(1)在不等式的證明中,“放”和“縮”是常用的證明技巧,常見的放縮方法有:思維升華(2)使用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)證明不等式時(shí),常與放縮法結(jié)合在一起應(yīng)用,利用放縮法時(shí)要目標(biāo)明確,通過(guò)添、拆項(xiàng)后,適當(dāng)放縮.跟蹤訓(xùn)練2設(shè)f(x)x
7、2x1,實(shí)數(shù)a滿足|xa|1,求證:|f(x)f(a)|2(|a|1).證明|f(x)f(a)|x2xa2a|xa|xa1|xa1|xa2a1|xa|2a1|1|2a|12(|a|1),即|f(x)f(a)|2(|a|1).3課時(shí)作業(yè)PART THREE基礎(chǔ)保分練1234561.已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)當(dāng)a2時(shí),解不等式f(x)7|x1|;解當(dāng)a2時(shí),不等式為|x2|x1|7,解得x2或x5.不等式的解集為(,25,).123456證明由f(x)1,即|xa|1,解得a1xa1,而f(x)1的解集是0,2,1234562.已知函數(shù)f(x)|x3|.(1)求不等式f(x)x1的解集M;解
8、當(dāng)x3時(shí),|x3|x1等價(jià)于x3x1,不等式恒成立,所以x3;當(dāng)x3時(shí),|x3|x1等價(jià)于3x1,所以1x3,綜上可知,不等式f(x)1.123456(2)設(shè)a,bM,證明:(a21)(b21)2a22b2.證明因?yàn)?a21)(b21)(2a22b2)(ab)2a2b212a22b2(ab)2a2b21(a21)(b21),又因?yàn)閍,bM,所以a1,b1,因此a21,b21,a210,b210,所以(a21)(b21)0,所以原不等式(a21)(b21)2a22b2成立.1234563.已知函數(shù)f(x)|x5|,g(x)5|2x3|.(1)解不等式f(x)g(x);解由題意得原不等式為|x5|2x3|5,綜上可得1x3.原不等式的解集為x|1x0,b0,且a2b22.123456123456123456123456當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)取等號(hào).5.(1)如果關(guān)于x的不等式|x3|x2|5,參數(shù)m的取值范圍為(5,).123456證明a2b22ab(
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