2011年（湖南理）含詳解

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類(lèi)）本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6頁(yè)，時(shí)量120分鐘，滿分150分。參考公式：（1），其中為兩個(gè)事件，且， （2）柱體體積公式，其中為底面面積，為高。 （3）球的體積公式，其中為求的半徑。一選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的。1.若，為虛數(shù)單位，且，則（ ）A B C D 答案：D解析：332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖1因，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可知。2.設(shè)，則“”是“”則（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分又不必要條件 答案：A解析：

2、因“”，即，滿足“”，反之“”，則，或，不一定有“”。3.設(shè)圖一是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）A B C D 答案：B解析：有三視圖可知該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體和球構(gòu)成的組合體，其體積。4.通過(guò)隨機(jī)詢(xún)問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛(ài)好402060不愛(ài)好203050總計(jì)6050110由算得附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828參照附表，得到的正確結(jié)論是（ ）A在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C有以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別

3、有關(guān)”D有以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” 答案：C解析：由，而，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選C.5.設(shè)雙曲線的漸近線方程為，則的值為（ ）A4 B3 C2 D1答案：C解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為，故可知。6. 由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（ ）A B1 C D答案：D解析：由定積分知識(shí)可得，故選D。7. 設(shè)，在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值小于2，則的取值范圍為（ ）A B C D答案：A解析：畫(huà)出可行域，可知在點(diǎn)取最大值，由解得。8.設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)，則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為（ ）A1 B C D答案：D解析：由題，不妨令，則，令解得，因時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，達(dá)到

4、最小。即。 二填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每小題5分，共35分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上。一、選做題（請(qǐng)考生在第9、10、11三題中任選兩題作答，如果全做，則按前兩題記分）9.在直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，曲線的方程為，則與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 。 答案：2解析：曲線，由圓心到直線的距離，故與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.10.設(shè),則的最小值為 。答案：9解析：由柯西不等式可知。11.如圖2，是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑，,垂足為D, 與相交與點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為 。答案：解析：由題可知，,得,，又，

5、所以.二、必做題（1216題）12、設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則答案：25解析：由可得，所以。13、若執(zhí)行如圖3所示的框圖，輸入，則輸出的數(shù)等于 。答案：解析：由框圖的算法功能可知，輸出的數(shù)為三個(gè)數(shù)的方差，則。14、在邊長(zhǎng)為1的正三角形中，設(shè)，則。答案：解析：由題，所以。15、如圖4， 是以為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形（陰影部分）內(nèi)”，則（1）；（2）答案：（1）；（2）解析：（1）由幾何概型概率計(jì)算公式可得；（2）由條件概率的計(jì)算公式可得。16、對(duì)于，將表示為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，為0或1.記為上述表示中為0

6、的個(gè)數(shù)，（例如，：故）則（1） （2）答案：（1）2；（2）解析：（1）因，故；（2）在2進(jìn)制的位數(shù)中，沒(méi)有0的有1個(gè)，有1個(gè)0的有個(gè)，有2個(gè)0的有個(gè)，有個(gè)0的有個(gè)，有個(gè)0的有個(gè)。故對(duì)所有2進(jìn)制為位數(shù)的數(shù)，在所求式中的的和為：。又恰為2進(jìn)制的最大7位數(shù)，所以。三解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.（本小題滿分12分）在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足.（I）求角的大??；（II）求的最大值，并求取得最大值時(shí)角的大小解析：（I）由正弦定理得因?yàn)樗裕↖I）由（I）知于是 取最大值2綜上所述，的最大值為2，此時(shí)18. 某商店試銷(xiāo)某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日

7、銷(xiāo)售量（件）0123頻數(shù)1595試銷(xiāo)結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷(xiāo)售量的分布規(guī)律不變），設(shè)某天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率。(）求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率；（）記X為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。解析：（I）P（“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”）=P（“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量為0件”）+P（“當(dāng)天商品銷(xiāo)售量1件”）=。（II）由題意知，的可能取值為2，3.；故的分布列為23的數(shù)學(xué)期望為。19.（本題滿分12分）如圖5，在圓錐中，已知的直徑的中點(diǎn)（I）證明：（II）求二面角的余弦值解：（I）連接，因?yàn)?為的中點(diǎn)，所以

8、.又因?yàn)閮?nèi)的兩條相交直線，所以而，所以。（II）在平面中，過(guò)作于，由（I）知，,所以又所以.在平面中，過(guò)作連接,則有，從而，所以是二面角的平面角在在在在,所以。故二面角的余弦值為。20. 如圖6，長(zhǎng)方形物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向作勻速移動(dòng)，速度為，雨速沿E移動(dòng)方向的分速度為。E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量包括兩部分：（1）P或P的平行面（只有一個(gè)面淋雨）的淋雨量，假設(shè)其值與×S成正比，比例系數(shù)為；（2）其它面的淋雨量之和，其值為，記為E移動(dòng)過(guò)程中的總淋雨量，當(dāng)移動(dòng)距離d=100，面積S=時(shí)。（）寫(xiě)出的表達(dá)式（）設(shè)0v10,0c5，試根據(jù)c的不同取值范圍，確定移動(dòng)速度，使總淋

9、雨量最少。解析：（I）由題意知，E移動(dòng)時(shí)單位時(shí)間內(nèi)的淋雨量為，故.（II）由(I)知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故。(1)當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的減函數(shù).故當(dāng)時(shí)，。(2) 當(dāng)時(shí)，在上，是關(guān)于的減函數(shù)；在上，是關(guān)于的增函數(shù)；故當(dāng)時(shí)，。21. (本小題滿分13分） 如圖7，橢圓的離心率為，軸被曲線 截得的線段長(zhǎng)等于的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。（）求，的方程；（）設(shè)與軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與相交于點(diǎn)A,B,直線MA,MB分別與相交與D,E.（i）證明：；(ii)記MAB,MDE的面積分別是.問(wèn)：是否存在直線,使得=?請(qǐng)說(shuō)明理由。解析：（I）由題意知，從而，又，解得。故，的方程分別為。（II）（i）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)為，

10、則直線的方程為.由得，設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是。又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以故，即。（ii）設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為又直線的斜率為 ，同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為.于是由得，解得或，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；又直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)于是因此由題意知，解得 或。又由點(diǎn)的坐標(biāo)可知，所以故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和。22.（本小題滿分13分） 已知函數(shù)() =，g ()=+。 （）求函數(shù)h ()=()-g ()的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由； （）設(shè)數(shù)列滿足，證明：存在常數(shù)M,使得對(duì)于任意的，都有 .解析：（I）由知，而，且，則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)有零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn)解法1：，記，則。當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)?，則在內(nèi)有零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；從而在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。解法2：，記，則。當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。因此在內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。（II）記的正零點(diǎn)為，即。（1）當(dāng)時(shí)，由，即.而，