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1、第24章 圖形的相似一、知識要點(diǎn)1、 相似圖形: 2、 成比例線段:注:線段的比有順序性,線段成比例也有順序性;在求線段的比或是運(yùn)用線段成比例性質(zhì)時(shí),單位必須統(tǒng)一。3、 比例中項(xiàng):,則b叫做比例中項(xiàng)。4、 相似三角形:形狀相同,大小不一定相同的三角形。相似比:相似圖形(三角形)的對應(yīng)邊的比值。5、 全等三角形:形狀、大小都相同的三角形;相似比等于1時(shí)的相似三角形。全等三角形是特殊的相似三角形。6、 三角形的中位線及定理: 7、 三角形的重心及性質(zhì): 8、 梯形的中位線及定理: 9、 判斷四條線段是否成比例的方法:(1) 將四條線段按大小順序排列,計(jì)算前兩條線段的比與后兩條線段的比,若兩比相等,
2、則四條線段成比例;若不相等,則不成比例。(2) 計(jì)算最長線段與最短線段的積以及另兩條線段的積,若兩積相等,則四條線段成比例;若不相等,則不成比例。1“平行出比例”定理及逆定理:(1)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例;(1)(3)(2)幾何表達(dá)式舉例:(1) DEBC (2) DEBC (3) DEBC 2比例的基本性質(zhì): a:b=c:d Û Û ad=bc ; 3定理:“平行”出相似平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.幾何表達(dá)式舉例:DEBCADEABC4定理:“AA”出相似如果一個(gè)三角
3、形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似.幾何表達(dá)式舉例:A=A又AED=ACBADEABC5定理:“SAS”出相似如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似.幾何表達(dá)式舉例:又A=AADEABC 6“雙垂” 出相似:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似; 幾何表達(dá)式舉例:(1) ACCB又CDABACDCBDABC7相似三角形性質(zhì):(1)相似三角形對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例;(2)相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)中線的比,對應(yīng)角平分線、 周長的比都等于相似比;(3) 相似三角形面積的比,等于相似比的平方。(1)
4、 ABCEFG BAC=FEG (2) ABCEFG 又AD、EH是對應(yīng)中線(3) ABCEFG8、 位似圖形的性質(zhì):對應(yīng)頂點(diǎn)的連線經(jīng)過位似中心;對應(yīng)邊平行或在同一條直線上;對應(yīng)頂點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比。9、 位似圖形的畫法:確定位似中心,找關(guān)鍵點(diǎn),連線10、 表示物體的位置用坐標(biāo)確定位置;用角度和距離確定位置;11、 圖形的變換與坐標(biāo):平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、放大或縮小平移:左右平移、上下平移坐標(biāo)的變化軸對稱:關(guān)于x軸對稱、關(guān)于y軸對稱、關(guān)于原點(diǎn)對稱的坐標(biāo)變化放大或縮小:位似中心為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),放大或縮小后的各點(diǎn)坐標(biāo)變化三 常識:1三角形中,作平行線構(gòu)造相似形和已知中點(diǎn)構(gòu)造中位線是常用輔
5、助線.2相似形有傳遞性;即: 12 23 13四、位似1、位似圖形:如果兩個(gè)多邊形不僅相似,而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),且每組對應(yīng)邊互相平行,那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心,這時(shí)的相似比又稱為位似比2、掌握位似圖形概念,需注意:位似是一種具有位置關(guān)系的相似,所以兩個(gè)圖形是位似圖形,必定是相似圖形,而相似圖形不一定是位似圖形;兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè);兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè),也可能位于位似中心的同一側(cè);位似比就是相似比利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似3、位似圖形首先是相似圖形,所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)位似圖形是一種特殊的相似圖形,它又具有特殊的
6、性質(zhì),位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比(相似比)BACDE4、利用位似,可以將一個(gè)圖形放大或縮小作圖時(shí)要注意:首先確定位似中心,位似中心的位置可隨意選擇;確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn),如四邊形有四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),即它的四個(gè)頂點(diǎn);確定位似比,根據(jù)位似比的取值,可以判斷是將一個(gè)圖形放大還是縮?。环弦蟮膱D形不惟一,因?yàn)樗鞯膱D形與所確定的位似中心的位置有關(guān),并且同一個(gè)位似中心的兩側(cè)各有一個(gè)符合要求的圖形專題1 比例及成比例線段例1:如圖,ABC是頂角為36º的等腰三角形(底與腰的比為的三角形是黃金三角形),若ABC、BDC、DEC都是黃金三角形,已知AB=4,則DE= 例2:已知a、
7、b、c是ABC的三邊,滿足(1) 試求a、b、c的值;(2) 判斷ABC的形狀。專題2 相似三角形的判定例3:如圖,ABC是等邊三角形,CE是外角角平分線,點(diǎn)D在AC上,連結(jié)BD并延長與CE交于點(diǎn)E。(1)求證:ABDCED;(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的長。DCBAEFBCDAE專題3 相似三角形的性質(zhì)例4:在一長為8、寬為的矩形中,恰好截出三塊形狀相同、大小不等的直角三角形,且三角形的頂點(diǎn)都在矩形上。其中面積EDCBA最小的直角三角形的較短直角邊的長是 。專題4 相似三角形的應(yīng)用例5:如圖,AB=3AC,BD=3AE,又BDAC,點(diǎn)B、A、E在同一條直線上。(1) 求證:ABDC
8、AE;(2) 如果AC=BD,AD=BD,設(shè)BD=a,求BC的長。專題5 三角形、梯形的中位線D2C2B2A2D1C1B1A1DCBA例6:如圖,四邊形ABCD中,順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn),得到四邊形A1B1C1D1,在順次連結(jié)四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn),得到四邊形A2B2C2D2,如此進(jìn)行下去,得到四邊形AnBnCnDn.下列結(jié)論正確的有 (1) 四邊形A2B2C2D2是矩形;(2)四邊形A4B4C4D4是菱形;(3)四邊形A5B5C5D5的周長是;(4)四邊形AnBnCnDn的面積是。專題6 位似例7:如圖,正五邊形FGHMN是由正五邊形ABCDE經(jīng)過位似變換得到的,若AB:FG=2:3,則下列結(jié)論正確的是( )A、2DE=3MN B、3DE=2MN C、3A=2F D、2A=3F專題7 圖形在坐標(biāo)系中的變換例8:如下圖,在對RtOAB依次進(jìn)行位似、軸對稱和平移變換后得到.(1) 在坐標(biāo)紙上畫出這幾次變換相應(yīng)的圖形;(2) 設(shè)P(x,y)為OAB邊上任一點(diǎn),依次寫出這幾次變換后點(diǎn)P對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。xyABCACBQPCBA例9(分類討論):如圖,ABC中,C=90º,BC=8cm,5AC-3AB=0,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿BC方向以2cm/s的速度移動
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