2412垂直于弦的直徑（教案）

1、24.1.2垂直于弦的直徑【知識(shí)與技能】1.通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生理解圓的軸對(duì)稱性.2.掌握垂徑定理及其推論.理解其證明，并會(huì)用它解決有關(guān)的證明與計(jì)算問(wèn)題.【過(guò)程與方法】通過(guò)探索垂徑定理及其推論的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法.【情感態(tài)度】1.結(jié)合本課特點(diǎn)，向?qū)W生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育和美育滲透.2.激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的興趣和欲望.【教學(xué)重點(diǎn)】垂徑定理及其推論，會(huì)運(yùn)用垂徑定理等結(jié)論解決一些有關(guān)證明，計(jì)算和作圖問(wèn)題.【教學(xué)難點(diǎn)】垂徑定理及其推論.一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)你知道趙州橋嗎？它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度

2、（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37.4m，拱高（弧的中心點(diǎn)到弦的距離）為7.2m.你能求出主橋拱的半徑嗎？（圖：課本第82頁(yè)圖24.1-7）【教學(xué)說(shuō)明】趙州橋問(wèn)題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)系，了解我國(guó)古代人民的勤勞與智慧，要解決此問(wèn)題需要用到這節(jié)課的知識(shí)，這樣較好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，開(kāi)啟了學(xué)生的思維，成功地引入新課.二、思考探究，獲取新知1.圓的軸對(duì)稱性問(wèn)題1用紙剪一個(gè)圓，沿著圓的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手操作，歸納出圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸.2.垂徑定理及其推論問(wèn)題2 請(qǐng)同學(xué)們完成下列問(wèn)題：如右圖，AB是

3、O的一條弦，作直徑CD.使CDAB，垂足為E.（1）右圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，其對(duì)稱軸是什么呢？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)說(shuō)理由.【教學(xué)說(shuō)明】問(wèn)題（1）是對(duì)圓的軸對(duì)稱性這一結(jié)論的復(fù)習(xí)與應(yīng)用，也是為問(wèn)題（2）作下鋪墊，垂徑定理是根據(jù)圓的軸對(duì)稱性得出來(lái)的.問(wèn)題（2）可由問(wèn)題（1）得到，問(wèn)題（2）由學(xué)生合作交流完成，培養(yǎng)他們合作交流和主動(dòng)參與的意識(shí).【歸納結(jié)論】垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。▋?yōu)弧、劣?。?數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如上圖，在O中，AB是弦，直徑CD垂直于弦AB.AE=BE.。問(wèn)（1）一條直線滿足：過(guò)圓心.垂直于弦，則可得到什么結(jié)論？【教學(xué)說(shuō)明】本問(wèn)題是幫助學(xué)生進(jìn)

4、一步分析定理的題設(shè)和結(jié)論，這樣可以加深學(xué)生對(duì)定理的理解.問(wèn)（2）已知直徑AB，弦CD且CE=DE（點(diǎn)E在CD上），那么可得到結(jié)論有哪些？（可要學(xué)生自己畫圖）提示：分E點(diǎn)為“圓心”和“不是圓心”來(lái)討論.即：CD是直徑或CD是除直徑外的弦來(lái)討論.結(jié)論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.問(wèn)（3）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧，為什么不是直徑的弦？【教學(xué)說(shuō)明】問(wèn)題（2）是為了推出垂徑定理的推論而設(shè)立的，通過(guò)學(xué)生動(dòng)手畫圖，觀察思考，得出結(jié)論.問(wèn)題（3）是對(duì)推論進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，使學(xué)生抓住實(shí)質(zhì)，注意條件，加深印象.3.利用垂徑定理及推論解決實(shí)際問(wèn)題問(wèn)題3 如圖，用表

5、示主橋拱，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為R，經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與相交于點(diǎn)C，根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，則AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7，OD=OC-CD=R-7.2.在RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.即：R2=18.72+(R-7.2)2解得R27.9(m)趙州橋主橋拱半徑約為27.9m.【教學(xué)說(shuō)明】教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后畫出圖形進(jìn)行解答.并且在解答過(guò)程中，讓學(xué)生意識(shí)到勾股定理在這節(jié)課中的充分運(yùn)用，以及圓的半徑、弦、圓心到弦的距離和拱形高

6、之間存在一定的聯(lián)系.三、運(yùn)用新知，深化理解1.如圖，AB是O的直徑，CD是弦，且CDAB，根據(jù)圓的軸對(duì)稱性可得：CE=_，=_；=_.2.如圖，在O中，MN為直徑，若MNAB，則_，_，_，若AC=BC，AB不是直徑，則_，_，_.3.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（圖中），點(diǎn)O是這段弧的圓心，C是上一點(diǎn)，OCAB，垂足為D. AB=300m，CD=50m，則這段彎路的半徑是_m.【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生當(dāng)堂完成，第1、2題是對(duì)垂徑定理及其推論的鞏固.第3題是對(duì)垂徑定理的應(yīng)用，需要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.【答案】1.DE 2.AC=BC = = MNAB = =3.250四、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會(huì)？【教學(xué)說(shuō)明】教師應(yīng)讓學(xué)生交流總結(jié)，然后補(bǔ)充說(shuō)明，強(qiáng)調(diào)定理及其推論的應(yīng)用.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題24.1”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課后作業(yè)”部分.1.這節(jié)課的教學(xué)從利用垂徑定理來(lái)解決趙州橋橋拱半徑問(wèn)題開(kāi)始，引入課題從實(shí)驗(yàn)入手，得到圓的軸對(duì)稱性，進(jìn)而推出垂徑定理及推論.教學(xué)設(shè)計(jì)中，從具體、簡(jiǎn)單、特殊到抽象、復(fù)雜、一般，層層遞進(jìn)，以利于提高學(xué)