二項式定理地練習及問題詳解

1、實用標準文檔二項式定理的練習及答案基礎知識訓練（一）選擇題2 61. （x +-=）展開式中常數項是（）、- xA.第 4 項 B. 24C6 C.C：D.22. （x1）11展開式中x的偶次項系數之和是（）A.-2048B.-1023 C.-1024D.10243. （1 + J2）7展開式中有理項的項數是（）A.4B.5C.6D.74. 若Cn7與C：同時有最大值，則 m等于（）A.4 或 5B.5 或 6 C.3 或 4 D.55. 設（2x-3） 4=a0 +a1x +a2x2 +a3x3 +a4x4,則 ao+a1+a2+a3的值為（）A.1 B.16C.-15D.156. （x3

2、1）11展開式中的中間兩項為（）xA. -C151x12,C151x12b.C161x9,-C151x10C. -C151x13,C151x9dCx17,-Cx13（二）填空題175 2,7 .在（2x -y）展開式中，xy的系數是* 38 . C0 +3C； +32C2 十一 +3nC： =9 . （35 , 1 ）20的展開式中的有理項是展開式的第 項* 510 . （2x-1） 5展開式中各項系數絕對值之和是 23 10.一 -11 . （1+3x+3x +x ）展開式中系數最大的項是 <12 . 0.991 5精確到0.01的近似值是.（三）解答題13 .求（1+x+x 2）（1

3、-x） 10展開式中x4的系數*14 .求(1+x)+(1+x) 2+(1+x) 10展開式中x3的系數.15 .已知(1-2x) 5展開式中第2項大于第1項而不小于第3,求x的取值范圍.16 .若f(x) =(1 +x)m +(1+x)n(m n w N)展開式中，x的系數為21,問m n為何值時,x2的系數最小？17 .自然數n為偶數時，求證：1 +2C； +C： +2C： +C： + +2C；+C； =3 /18 .求8011被9除的余數.2 n19.已知(& -二)的展開式中，第五項與第三項的二項式系數之比為14; 3,求展開式x的常數項.文案大全實用標準文檔20.在(x2+3

4、x+2)5的展開式中，求x的系數.21.求(2x+1) 12展開式中系數最大的項.參考解答：3 _66 _ r1 .通項 Tr 書=c6x(-)r =C6x 2 2，由 63r=0= r = 4 ,常數項是 T5 =C424, 選(B)2 .設 f(x)=(x-1)11,偶次項系數之和是 f(1) "(1) =(2)11 /2 = 1024，選(C) .2r3 .通項Tr+=C7(J2)r =C；22,當r=0 , 2, 4, 6時，均為有理項，故有理項的項數為4個，選(A)n 17-117 1-4 .要使C取大，因為17為奇數，則n =或n = n = 8或n=9,右n=8,要22

5、使Cm最大，則m=8 =4,若n=9,要使Cm最大，則m = 1或m = -1=m = 4或m=5,222綜上知，m=4或m=5故選(A)5.C 6.C 7. 也；8.4n;9.3,9,15,21310. (2x-1) 5展開式中各項系數系數絕對值之和實為(2x+1) 5展開式系數之和，故令 x=1,則所求和為35.11. (1+3x+3x2+x3)10=(1+x) 30,此題中的系數就是二項式系數，系數最大的項是T16=C15x15.12.0.991 5=(1-0.009) 5=C0 C；0.009 + -0.9613. (1+x+x2)(1 x)10 =(1x3)(1 x)9,要得到含x4

6、的項，必須第一個因式中的 1與 (1-x) 9展開式中的項C4(x)4作積，第一個因式中的x3與(1-x) 9展開式中的項C9(x)作 文案大全實用標準文檔積，故x4的系數是c9+c4 =135.2，,、14. (1 +x)十(1 +x)十(1 +x)10(1+x)1(1+x)10 =(x + 1)11(x+1)原式中 x31-(1 x)實為這分子中的x4,則所求系數為C；1.Cs(-2x)>c5)_ 1_ 2_2 _C5(-2x) _C5(-2x)1x < 一一101-<x <0L 41016 .由條件得 m+n=21, x2的項為21399.因 n C N,4故當n

7、=10或11時上式有最小值，也就是 m=11和n=10,2 .m=10和n=11時，x的系數取小0 _1 _2_n-J _n、 ，_1 _3 _517 .原式=(Cn - Cn ' Cn "Cn ' Cn ) ' (Cn ' Cn ' Cnn-1nn-1n-14+Cn )=22=3.218 . 8011 =(81 -1)11 C1018111 -Ci18110 + +C；81 -1= 81k - 1(k Z),11 -.kC Z, 9k-1 C Z, 81 被 9 除余 &19.依題意 c4 : C2 =14:3= 3C4 =14C2

8、3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!= n=10設第r+1項為常數項，又Tr+ =C；0(Jx)10"(馬),=(2)匕裝x10-5r-2-.10 -5r 一 _ 2 一 2 一 ，一一.令- 5r =0= r =2,，T24 =C20(2)2 =180.此所求常數項為 180220. (x2 3x 2)5 =(x 1)5(x 2)5在(x+1) 5展開式中，常數項為1,含x的項為C11 =5x,在(2+x) 5展開式中，常數項為25=32,含x的項為C；24x =80x，展開式中含x的項為1(80x)+5x(32) =240x ,此展開式中x的系數為240

9、21.設Tr+1的系數最大，則Tr+1的系數不小于Tr與Tr+2的系數，即有：r q12 cr4rj13T 1 C122 C12, 2 一1(C；2212"豈 C1r21211+rC之2C2C；2 CC11,3- - r - 4-, r =4文案大全，展開式中系數最大項為第5項，T5=16C42x4 = 7920x4三.拓展性例題分析例1在二項式6十4的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中所有有 24 x理項.分析：本題是典型的特定項問題，涉及到前三項的系數及有理項，可以通過抓通項公式解決.解：二項式的展開式的通項公式為：Tr 書=C：（%；X）n 上 124x） = C：

10、/x 4前三項的r =0,1,2.得系數為：t1 =l,t2 =C；1 =-n,t3 =C2）=1n（n1），224 8，一1 ，、由已知：2t2 =3 +t3 n=1 + n（n1）,8n = 8通項公式為r 1Tr+=C8x 4 r =0,1,2- 8,Tr+為有理項，故 16 3r是 4 的倍數, 216 3rr =0,4,8.依次得到有理項為 T1=x4,T5=C41x=°5x,T9=C88x/x2 .282256說明：本題通過抓特定項滿足的條件， 利用通項公式求出了 r的取值，得到了有理項.類 似地，（J2+3/3）10°的展開式中有多少項是有理項？可以通過抓通項

11、中r的取值，得到共有17頁系數和為3n .3101例2（1）求（1 x） （1 +x）展開式中x5的系數；（2）求（x+十2）6展開式中的常x數項.分析：本題的兩小題都不是二項式展開，但可以轉化為二項式展開的問題，（1）可以視為兩個二項展開式相乘；（2）可以經過代數式變形轉化為二項式.解：（1） （1 x）3（1+x）10展開式中的x5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項：3 10.555用（1 x）展開式中的常數項乘以（1+x）展開式中的 x項，可以得到 Cwx ;用3.104445（1 -x）展開式中的一次項乘以（1+x）展開式中的X4項可得到（4x）（Ci0x ） = _3CioX

12、；用（1 x）3中的x2乘以（1 +x）10展開式中的x3可得到 3x2 C3ox3 = 3C1ox5 ；用(1x)3中的x3項乘以（1+x）10展開式中的x2項可得到-3x3 C2ox2 =C2ox5,合并同類項得x5項為:(C50432、 55一C10 3C10 一C1o)x = -63x1 r-=C；2x6-r ,可得展開式 , xf 1、12_由dx+-展開式的通項公式 Tr+=C；2（V2）12"< vx ）的常數項為C；2 =924.說明：問題（2）中將非二項式通過因式分解轉化為二項式解決.這時我們還可以通過 合并項轉化為二項式展開的問題來解決.例3求(1+x x2

13、)6展開式中x5的系數.分析：(1+xx2)6不是二項式，我們可以通過 1+x x2 =(1+x) x2或1+(x x2) 把它看成二項式展開.解：方法一：(1+xx2)6 = (1+x)x2 66 一524 4口(1 x6) -6(1 x)5x2 15(1 x)4x4 一其中含 x5 的項為 C5x5 -6C5x5 +15C14x5 =6x5 .含x5項的系數為6.方法二：(1 x-x2)6 = 1 (x-x2)P22223242 52 6=1 6(x -x ) 15(x -x )20(x - x ) 15(x - x )6(x -x ) (x - x )其中含 x5 的項為 20(3)x5

14、+15(4)x5+6x5 =6x5.，x5項的系數為6.方法3：本題還可通過把(1+x-x2)6看成6個1+x-x2相乘，每個因式各取一項相乘可得到乘積的一項,X5項可由下列幾種可能得到.5 55個因式中取X, 一個取1得到C6X .3_ 1 323個因式中取x, 一個取X2,兩個取1得到C6 C3X，(x ).12,2、21個因式中取X,兩個取X2,三個取1得到C6 C5X (X ) .合并同類項為(c6C6c；+c6c5)x5=6x5, X5項的系數為6.例 4 求證：(1) C1n +2c2 + +ncn =n .2nJL； C0+lc；+1c2+，C： =(2n書 _1).23n 1

15、n 1分析：二項式系數的性質實際上是組合數的性質，我們可以用二項式系數的性質來證明一些組合數的等式或者求一些組合數式子的值.解決這兩個小題的關鍵是通過組合數公式將等式左邊各項變化的等數固定下來，從而使用二項式系數性質C0 +C1n +Cn +Cn =2n.解:(1), n!n!二 k二k!(n -k)! (k -1)!(n -k)!二 n .一")!=nc：(k -1)!(n k)!左邊=nC0,+ nC；十+nC：1= n(CnC；xn dn 1Cn,)=n，2=右邊.(2)n!n!k!(n -k)! (k -1)!(n -k)!1 (n 1)!1 .k 1= C n 1n 1 (

16、k 1)!(n -k)! n 1，左邊Cn1C2書=(Cn + + Cn+ +Cn«) =(2 -1)=右邊.n 1n 1說明：本題的兩個小題都是通過變換轉化成二項式系數之和，再用二項式系數的性質求解.此外，有些組合數的式子可以直接作為某個二項式的展開式，但這需要逆用二項式定理才能完成，所以需仔細觀察，我們可以看下面的例子：例 5：求 29C10 +28C；o +27C8o +2C20 +10 的結果.10仔細觀察可以發(fā)現該組合數的式與(1 +2)的展開式接近，但要注意:100122991010(1 11 2) C10 11 C10 2C10 2C10，2 C10，222991010

17、=12 10 2 Cio 一 ，2 Cio 2 C10 =1 +2(10 +2C；0 +28C90 +29C10)從而可以得到：10+2C20 +28C90 +29C10 =1(310 -1).2例6利用二項式定理證明：32nH2 -8n - 9是64的倍數.,為了使問題向二項分析：64是8的平方，問題相當于證明 32n卡-8n-9是82的倍數式定理貼近，變形 32M2 =9n* =(8 + 1)n+ ,將其展開后各項含有8k,與82的倍數聯(lián)系起來.解： 32n2 -8n-9=9n 1 -8n -9 =(8 1)n 1 -8n -9= 8n+ +C；書 8n +一 +Cn； 82 +Cn書 ,

18、8+1 -8n -9n ： 11 nn _1 2=8 Cn 1 8 -一Cn 1 88(n 1)1 -8n -9= 8n* +C；噂 8n + +C： 82= (8n*+C；+ 8u 十一 +Cn；) 64 是 64 的倍數.說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些 復雜的指數式除以一個數的余數.5展開2x327卜分析1:用二項式定理展開式.解法1:2x-A52x= C；(2x)5C53(2x)20 之 2x_ 1 _4C5(2x);3已C54(2x)3232C5 (2x)2xJ少2< 2x2 J32x2C/、532x2= 32x5 .120x2 變一學

19、駕一xx48x7 32x10分析2:對較繁雜的式子，先化簡再用二項式定理展開.解法2:2x3 %5 _ (4x3 3) 2x2- 32x1010103 513 423 32而C5(4x ) +C5(4x ) (_3)+C5(4x ) (-3) 32 x_ 33 23_43 14_ 55C5(4x )(-3) C5(4x ) (-3)C5(-3)11512963市(1024x -3840x5760x -4320x1620x -2437)32 x52 180 135 405243= 32x -120x一丁 一7 一 一x x 8x 32x說明：記準、記熟二項式（a+b）n的展開式，是解答好與二項式定理有關問題的前提條 件.對較復雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡便.例8 若將（x + y+z）1°展開為多項式，經過合并同類項后它的項數為（）.A. 11 B. 33 C. 55 D. 66分析：（x + y+z）10看作二項式（x + y）+z10展開.解：我們把x + y+z看成（x + y）+z,按二項式展開，共有 11 “項”，即101010 x k10-k k（x+y+z） =（x+y）+z =2 C