正方體的截面問題研究

1、研究性學(xué)習(xí)報告正方體的截面形狀【課題】正方體的截面形狀【作者】劉可歆 岳新茹【摘要】探究正方體截面形狀，通過實踐和圖示證明其結(jié)果，列舉特例?！狙芯糠椒ā渴紫冉?jīng)過猜想，列舉出猜想到的截面，其次進行畫圖和實踐等方法證明猜想是否正確。再通過網(wǎng)絡(luò)查詢資料，尋找未猜想到的情況?！狙芯窟^程】探究1：當(dāng)截面為三角形 根據(jù)一定角度過正方體的三條棱進行截取可以得到三角形的截面，圖示如下:=由上圖可知，正方體可以截得三角形截面。特別的，當(dāng)截面剛好經(jīng)過三個面的對角線時，所得的三角形截面為正三角形，圖示如下：=正三棱錐探究2：當(dāng)截面是四邊形1.正方形： 因為該立體幾何圖形是正方體，所以用從任意位置與該正方體上下底面平

2、行的平面進行截取可以得到，或者和側(cè)面平行進行截取，由下列圖示證明： =由圖示可知，水平方向截取正方體，得到的截面為正方形。 =由圖示可知，豎直方向截取正方體，得到的截面為正方形。2.矩形： 因為正方形也屬于矩形，所以對正方形的證明同適用于矩形。其次，當(dāng)長寬不等的矩形截面的圖示如下： 由上圖所示可知，按不同角度截取正方體可以得到矩形。3.平行四邊形： 當(dāng)平面與正方體的各面都不平行時，所得截面為平行四邊形，圖示如下： = 由上圖所示可知，當(dāng)截面不與正方體的各面平行時，所得截面可能為平行四邊形。4菱形： 如下圖所示，當(dāng)A,B為所在棱的中點時，該截面為菱形： 5梯形： 如圖所示，當(dāng)按一定角度使截面在正

3、方體的上下底面上所存在的線段長短有異時，所得截面可能是梯形：=探究3：當(dāng)截面是五邊形6.五邊形： 如圖所示，可以截得五邊形截面： =探究3：當(dāng)截面是六邊形7.六邊形： 如圖所示，可以截得六邊形截面：=特別的，當(dāng)平面與正方體各棱的交點為中點時，截面為正六邊形，如圖所示：【拓展探究】1. 正方體最大面積的截面三角形：如該圖所示可證明，由三角面對角線構(gòu)成的三角形。2. 正方體最大面積的截面四邊形: 通過猜想及查詢資料可知，正方體截面可能得到的四邊形有：正方形、矩形、梯形、平行四邊形。 根據(jù)四邊形的面積公式：面積=長*寬 聯(lián)系正方體圖形：得到：當(dāng)由兩條平行的面對角線和兩對平行棱構(gòu)成的四邊形的長最大，又

4、因為在各個情況下的寬不變。則由猜想得到：“最大面積的截面四邊形：由兩條平行的面對角線和兩對平行棱構(gòu)成的四邊形?！?. 最大面積的截面形狀： 正方體的截面可以分為：三角形、正方形、梯形、矩形、平行四邊形、五邊形、六邊形、正六邊形。其中三角形還分為銳角三角型、等邊、等腰三角形。梯形分為非等腰梯形和等腰梯形。首先比較三角形與五邊形和六邊形，所得這三種截面的情況有一共同特點：不能完整在該截面所在平面在正方體內(nèi)所截的范圍的最大值，有部分空間空出。 因此可以得到：最大面積一定是四邊形。 所以最大面積的截面形狀：即最大截面四邊形（猜想）。初步推斷為如圖所示的矩形：【小結(jié)】正方體的截面圖 可能出現(xiàn)的截面形狀：銳角三角型、等邊、等腰三角形，正方形、矩形、非矩形的平行四邊形、非等腰梯形 等腰梯形、五邊形、六邊形、正六邊形不可能出現(xiàn)的截面形狀：鈍角三角形、直角三角形、直角梯形、正五邊形、七邊形或更多邊形 正方體的截面形狀研究性學(xué)習(xí)小組 選擇是難，更何況是心靈選擇。