概率論答案李賢平版

1、第三章 隨機變量與分布函數(shù)1、直線上有一質(zhì)點，每經(jīng)一個單位時間，它分別以概率或向右或向左移動一格，若該質(zhì)點在時刻0從原點出發(fā)，而且每次移動是相互獨立的，試用隨機變量來描述這質(zhì)點的運動（以表示時間n時質(zhì)點的位置）。2、設(shè)為貝努里試驗中第一個游程（連續(xù)的成功或失?。┑拈L，試求的概率分布。3、c應(yīng)取何值才能使下列函數(shù)成為概率分布：（1）（2） 。4、證明函數(shù)是一個密度函數(shù)。5、若的分布函數(shù)為N（10，4），求落在下列范圍的概率：（1）（6，9）；（2）（7，12）；（3）（13，15）。6、若的分布函數(shù)為N（5，4），求a使：（1）；（2）。7、設(shè)，試證具有下列性質(zhì)：（1）非降；（2）右連續(xù)；（3）

2、 。8、試證：若，則。9、設(shè)隨機變量取值于0，1，若只與長度有關(guān)（對一切），試證服從0，1均勻分布。10、若存在上的實值函數(shù)及以及及，使，則稱是一個單參數(shù)的指數(shù)族。證明（1）正態(tài)分布，已知，關(guān)于參數(shù)；（2）正態(tài)分布，已知，關(guān)于參數(shù)；（3）普阿松分布關(guān)于都是一個單參數(shù)的指數(shù)族。但上的均勻分布，關(guān)于不是一個單參數(shù)的指數(shù)族。11、試證為密度函數(shù)的充要條件為 。12、若為分布密度，求為使成為密度函數(shù)，必須而且只需滿足什么條件。13、若的密度函數(shù)為 ，試求：（1）常數(shù)A；（2）；（3）的邊際分布；（4）；（5）；（6）。14、證明多項分布的邊際分布仍是多項分布。15、設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度為，試求與的

3、邊際分布。16、若是對應(yīng)于分布函數(shù)的密度函數(shù)，證明對于一切，下列函數(shù)是密度函數(shù)，且具有相同的邊際密度函數(shù)：。17、設(shè)與是相互獨立的隨機變量，均服從幾何分布。令，試求（1）的聯(lián)合分布；（2）的分布；（3）關(guān)于的條件分布。18、（1）若的聯(lián)合密度函數(shù)為，問與是否相互獨立？（2）若的聯(lián)合密度函數(shù)為，問與是否相互獨立？19、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為 試證：兩兩獨立，但不相互獨立。20、設(shè)具有聯(lián)合密度函數(shù)，試證與不獨立，但與是相互獨立的。21、若與是獨立隨變量，均服從普要松分布，參數(shù)為及，試直接證明（1）具有普承松分布，參數(shù)為；（2）。22、若相互獨立，且皆以概率取值+1及，令，試證兩兩獨立但不相互獨立。23

4、、若服從普阿松分布，參數(shù)為，試求（1）；（2）的分布。24、設(shè)的密度函數(shù)為，求下列隨機變量的分布函數(shù)：（1），這里；（2）；（3）。25、對圓的直徑作近似度量，設(shè)其值均勻分布于內(nèi)，試求圓面積的分布密度。26、若為相互獨立的分別服從0，1均勻分布的隨機變量，試求的分布密度函數(shù)。27、設(shè)相互獨立，分別服從，試求的密度函數(shù)。28、若是獨立隨機變量，均服從，試求的聯(lián)合密度函數(shù)。29、若相互獨立，且皆服從指數(shù)分布，參數(shù)分別為，試求的分布。30、在線段上隨機投擲兩點，試求兩點間距離的分布函數(shù)。31、若氣體分子的速度是隨機向量，各分量相互獨立，且均服從，試證斑點服從馬克斯威爾分布。32、設(shè)是兩個獨立隨機變量

5、，服從，服從自由度為的分布(3.14),令，試證t的密度函數(shù)為 這分布稱為具有自由度n的分布在數(shù)理統(tǒng)計中十分重要。33、設(shè)有聯(lián)合密度函數(shù)，試求的密度函數(shù)。34、若獨立，且均服從，試證與是獨立的。35、求證，如果與獨立，且分別服從分布和，則與也獨立。36、設(shè)獨立隨機變量均服從 ，問與是否獨立？37、若（）服從二元正態(tài)分布（2.22），試找出與相互獨立的充要條件。38、對二元正態(tài)密度函數(shù)，（1）把它化為標準形式（2.22）；（2）指出；（3）求；（4）求。39、設(shè)，試寫出分布密度（2.12），并求出的邊際密度函數(shù)。40、設(shè)是相互獨立相同分布的隨機變量，其密度函數(shù)不等于0，且有二階導(dǎo)數(shù)，試證若與相互

6、獨立，則隨機變量均服從正態(tài)分布。41、若是上單值實函數(shù)，對，記。試證逆映射 具有如下性質(zhì)：（1）;（2）;（3）.42、設(shè)隨機變量x的密度函數(shù)是（1）求常數(shù)C；（2）求a使得=.43、一個袋中有張卡寫有，現(xiàn)從袋中任取一張求所得號碼數(shù)的期望。44、設(shè)，在的條件密度分布是，求的條件下x的密度?45、設(shè)與獨立同服從上的均勻分布，求的分布函數(shù)與密度函數(shù)。46、設(shè)的聯(lián)合分布密度為，（1）.求常數(shù)A；（2）求給定時的條件密度函數(shù)。47、在(0,4)中任取兩數(shù)，求其積不超過4的概率。48、若的分布列是（見下表）(1)求出常數(shù)A; (2)求出 時的條件分布列。x -10111/61/81/821/121/4A

7、31/241/241/2449、設(shè)獨立的服從分布，令，求的聯(lián)合密度函數(shù)及邊際密度函數(shù)。50、設(shè)隨機變量x的密度函數(shù)為 ，(1).求常數(shù)a，使Px>a = Px<a； (2).求常數(shù)b，使Px>b = 0.05。51、地下鐵道列車運行的間隔時間為2分鐘，旅客在任意時刻進入月臺，求候車時間的數(shù)學(xué)期望及均方差。52、設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為：， (1)求的密度函數(shù)；(2)求; (3)53、若二維隨機變量的密度函數(shù)為：，1)求的密度函數(shù)；2)求；（3）54、若，求 的密度函數(shù)。55、將兩封信隨機地往編號為1,2,3,4的四個郵筒內(nèi)投，以表示第個郵筒內(nèi)信的數(shù)目，求： (1) 的聯(lián)

8、合分布列； 2)的條件下，的條件分布。56、若，求的密度函數(shù)。57、某射手在射擊中,每次擊中目標的概率為，射擊進行到第二次擊中目標為止，用表示第次擊中目標時射擊的次數(shù)，求和的聯(lián)合分布和條件分布。58、進行獨立重復(fù)試驗，設(shè)每次試驗成功的概率為。將試驗進行到出現(xiàn)次成功為止，以表示所需試驗的次數(shù)。求的分布列。59、已知某種類型的電子管的壽命（以小時計）服從指數(shù)分布，其概率密度為，一臺儀器中裝有5只此類型電子管，任一只損壞時儀器便不能正常工作。求儀器正常工作1000小時以上的概率。60、設(shè)連續(xù)隨機變量的概率密度為，其中為已知常數(shù)。求：（1）常數(shù)A；（2）。61、設(shè)離散隨機變量的分布列為： 012 求：

9、（1）的分布函數(shù)； （2），62、從一批含有13只正品、2只次品的產(chǎn)品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，求抽得次品數(shù)的分布列及分布函數(shù)。63、（1）設(shè)連續(xù)隨機變量的概率概率為，求的概率密度。 （2）設(shè)服從指數(shù)分布。求的概率密度。64、對圓片直徑進行測量，測量值服從均勻分布。求圓面積的概率密度。65、設(shè)電壓，其中是一個正常數(shù)，相角是一個隨機變量，服從均勻分布，求電壓V的概率密度。66、箱子里裝有12件產(chǎn)品，其中2件是次品。每次從箱子里任取一件產(chǎn)品，共取2次。定義隨機變量如下，。分別就下面兩種情況求出二維隨機向量的聯(lián)合分布列和關(guān)于的邊緣分布列：（1）放回抽樣；（2）不放回抽樣。67、一個大袋子中

10、，裝有3個桔子，2個蘋果，3個梨。今從袋中隨機抽出4個水果。若為為桔子數(shù)，為蘋果數(shù)，求的聯(lián)合分布列。68、把一枚硬幣連擲3次，以表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，表示在3次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)的絕對值，求的聯(lián)合分布列。69、設(shè)二維隨機向量的概率密度為：。求（1）；（2）；（3）；（4）。70、設(shè)隨機向量的概率密度為：，求：（1）常數(shù)A；（2）落地圓域（）中的概率。71、設(shè)二維連續(xù)隨機向量的概率密度為：    求：（1）的分布函數(shù)；（2）關(guān)于及關(guān)于的邊緣分布函數(shù)。72、設(shè)二維連續(xù)隨機向量的概率密度為：，求關(guān)于及關(guān)于的邊緣概率密度。73、設(shè)與相互獨立，

11、且服從均勻分布，服從正態(tài)分布。求的概率密度。74、若的密度為(，則兩兩獨立，但不相互獨立。75、若相互獨立，且同服從指數(shù)分布，密度函數(shù)為：，證明：與相互獨立。76、證明： 為一概率密度函數(shù)。77、設(shè)分別服從參數(shù)為、的普阿松分布，且相互獨立，求證： 服從參數(shù)為的普阿松分布。78、證明函數(shù)是一個密度函數(shù)。79、設(shè)，試證具有下列性質(zhì)：（1）非降；（2）右連續(xù)；（3） 。80、試證：若，則。81、設(shè)隨機變量取值于0，1，若只與長度有關(guān)（對一切），試證服從0，1均勻分布。82、定義二元函數(shù)。驗證此函數(shù)對每個變元非降，左連續(xù)，且滿足（2.6）及（2.7），但無法使（2.5）保持非負。83、試證為密度函數(shù)的

12、充要條件為 。84、若是對應(yīng)于分布函數(shù)的密度函數(shù)，證明對于一切，下列函數(shù)是密度函數(shù)，且具有相同的邊際密度函數(shù)：。85、設(shè)的聯(lián)合密度函數(shù)為 試證兩兩獨立，但不相互獨立。86、若與是獨立隨變量，均服從普要松分布，參數(shù)為及，試直接證明（1）具有普承松分布，參數(shù)為；（2）。87、若相互獨立，且皆以概率取值+1及，令，試證兩兩獨立但不相互獨立。88、若氣體分子的速度是隨機向量，各分量相互獨立，且均服從，試證斑點服從馬克斯威爾分布。89、求證，如果與獨立，且分別服從分布和，則與也獨立。90、證明：是一個隨機變量，當且僅當對任何成立 。第三章 解答1、 解：令表在n次移動中向右移動的次數(shù)，則服從二項分布，以

13、表時刻時質(zhì)點的位置，則 。的分布列為 。的分布列為 。2、 解：，所以的概率分布為 。3、 解： （1）， 。 （2）， 。4、 證：，且 是一個密度函數(shù)。5、 解：（1）（2）（3） 6、 解：（1），而，令解得。（2）由得，從而 =0.995，而所以。7、 證：（1）設(shè)，所以，非降。（2）設(shè)，由概率的可加性得 。由此得 ，右連續(xù)。（3）。由單調(diào)性得與均存在且有窮，由及上式得。8、證： .不等式成立。9、證法一：定義則是的分布函數(shù)。由題設(shè)得，對任意有，即有。由此得。逐一類推可得，若，則，或者。從而對有理數(shù)，若與都屬于0,1，則有。再由的左連續(xù)性可得，對任意無理數(shù)，若與都屬于0,1，則。因為區(qū)

14、間與0,1的長度相等，由題設(shè)得.由此及上段證明得，對任意有，即為 服從0,1上均勻分布。 證法二：如同證法一中定義的分布函數(shù)，由單調(diào)知它對0,1上的L測試幾乎處處可微。設(shè)，當時，由題設(shè)得等式兩端都除以，再令可得，由存在可推得也存在，而且。從而對任意有。當時顯然有。一點的長度為0，由題設(shè)得。由上所述可知是連續(xù)型隨機變量，是其密度函數(shù)，從而定出。至此得證服從0,1均勻分布。10、證：（1）若令， ，則有這就證明了正態(tài)分布是單參數(shù)的指數(shù)族。（2） 若令，則所以正態(tài)分布是單參數(shù)的指數(shù)族。（3）。若令，則，所以是單參數(shù)的指數(shù)族。（4）關(guān)于上的均勻分布，其密度函數(shù)為是定義在的函數(shù)，由于它是的分段表示的函數(shù)

15、，所以無法寫成形式 ，故關(guān)于不是一個單參數(shù)的指數(shù)族。11、證：必要性：令，得。設(shè)要積分收斂，必須，由此得應(yīng)有以及。利用可得 從而題中所列條件全部滿足。以上諸步可逆推，充分性顯然。12、解：設(shè)是密度函數(shù)，則由得。又，所以應(yīng)有。反之，若，可積且，顯然有且，即是密度函數(shù)。所以為使是密度函數(shù)，必須而且只需滿足且。13、解：（1）（2）。（3）的邊際分布，當時，當時有.（4）.（5）當時；當時有.（6）,利用（2）的結(jié)果可得.14、證：設(shè)多項分布為， （1）。 （2）利用（2）可以把（1）改寫成 （3）由邊際分布的定義并把（3）代入得由二項式定理得 （4）把（4）與（3）比較知，邊際分布仍服從多項分布。

16、多次類推可得從而知任意邊際分布均服從多項分布（包括二項分布）。15、解：（1）的密度函數(shù)為，當時；當時，注意積分取勝有選取，得.（2）的密度函數(shù)為，當時；當時，令，當時，當時，所以其中用到函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系式。16、證：我們有,代入的表達式得 (1)又有 (2)由（1），（2）知是密度函數(shù)。用與上面類似的方法計算可得邊際密度函數(shù)為,   .17、解：（1）為求的聯(lián)合概率分布，分別考慮下列三種情況：其中利用到獨立性。（a） ；(b)；(c)(2)因為，所以 （3）18、解：（1）邊際分布的密度函數(shù)為，當時；當時，同理，當時；當時。，所以與獨立。（2）邊際密度函數(shù)為，當

17、時；當時當時；當時在區(qū)域中均有，所以與不獨立。19、證：當時 ，與的聯(lián)合分布密度為；其余。當時，；其余。由于三者在密度函數(shù)的表達式中所處地位相同，故得當時，；當時，；當時，；當時，；在其余區(qū)域內(nèi)，諸邊際密度函數(shù)均取0值。由于 故兩兩獨立；但當時有，故不相互獨立。20、證：當時，其余。同理當時，其余當 時有，所以與不獨立?，F(xiàn)試能動分布函數(shù)來證與獨立。的分布函數(shù)記為，則當時，；同理可求得的分布函數(shù)，得聯(lián)合分布函數(shù)記為，則當時同理得當時；當時=合起來寫得 不難驗證對所有都成立，所以與獨立。21、證：（1）由褶積公式及獨立性得 這就證明了具有普阿松分布，且參數(shù)為（2）證畢。22、證：由題設(shè)得

18、，。，同理可證 ，.所以與相互獨立。用同樣的方法可片與也相互獨立。但，所以只兩兩獨立而不相互獨立。23、解：，由此得（1）， （2）。24、解：（1）由知，以概率1取有限值。當時，；當時，；當時，。（2） （3）當時，；當時，。25、解：設(shè)直徑為隨機變量d，則。圓面積。當時，；當時；當時。由此對求導(dǎo)（利用對參數(shù)積分求導(dǎo)法則）得圓面積的分布密度為，當或時；當時 。26、解：與的密度函數(shù)為 （1）由卷積公式及獨立性得的分布密度函數(shù)為 y （2） 2 C把（2）與（1）比較知，在（2）中應(yīng)有，滿足此不等式組的解 構(gòu)成 D 圖中平面區(qū)域平形四邊形ABCD，當時 1 B ,當時。所以當 A0 1 x時（

19、2）中積分為 當時，（2）中積分為 ;對其余的y有。27、解：， 由求商的密度函數(shù)的公式得,   服從柯西分布。28、解：作變換，令，得。由與獨立知，它們的聯(lián)合密度應(yīng)是它們單個密度的乘積，由此得U，V的聯(lián)合密度函數(shù)為 所以U,V兩隨機變量也相互獨立，且均服從N（0，2）。29、解：當時由獨立性得當時。求導(dǎo)得的密度函數(shù)為，當時；當時.30、解：設(shè)在內(nèi)任意投兩點，其坐標分別為，則的聯(lián)合分布密度為。設(shè)，則的分布函數(shù)為，當時；當時；當時，積分S為平面區(qū)域ABCDEF的面積，其值為 ，所以 .31、證：由獨立性得，的概率密度為 的分布函數(shù)為，當時，作球面坐標變換，則， 由此式對s求導(dǎo)

20、可得，當時，S的密度函數(shù)為.32、證：（3.14）式為。令，則，由得，的密度函數(shù)為，當時與仍獨立。記，則由商的密度函數(shù)公式得T的密度函數(shù)為 ，令，則，得 33、解：U的分布函數(shù)為，當時；當時有 對求導(dǎo)可得U的密度函數(shù)為，當時；當時。34、證：（U，V）聯(lián)合分布函數(shù)為當時作變換，反函數(shù)有兩支，考慮到反函數(shù)有兩支，分別利用兩組對求導(dǎo)，得（U，V）的聯(lián)合密度為（其余為0）若令，則U服從指數(shù)分布，V服從柯西分布，且，所以U，V兩隨機變量獨立。35、證：當時，與的密度函數(shù)分別為當時，。設(shè)。當或時，（U，V）聯(lián)合密度為；當時，作變換，得，而，所以由此知U服從分布服從分布，且U與V相互獨立。36、解：令，當

21、或時，U，V聯(lián)合密度；當且時作變換，則，由此得U服從分布，V服從(0,1)分布，且U與V相互獨立。37、解:設(shè)。作變換，則，, 。U，V的聯(lián)合密度函數(shù)為設(shè)U，V的邊際分布密度函數(shù)分別為，欲U與V獨立，必須且只需，由的表達式可知，這當且僅當時成立。U，V相互獨立與相互獨立顯然是等價的，所以相互獨立的充要條件是。當時，得，。38、解：（1）因為指數(shù)中二次項的系數(shù)分別為，所以與(2.22)式（見上題解答）比較知，可設(shè)其配方后的形式為。比較系數(shù)得 此方程組有唯一解，由此得 （2）與（2.22）式比較得，。（3） ， 。（4），它服從。39、解：.的邊際密度函數(shù)為（積分時在指數(shù)中對z配方）令，利用得。4

22、0、證：以f記的密度函數(shù)，則的聯(lián)合密度為。作變換，令，得。若改記s為x，t為y，則由此可得的聯(lián)合密度為。另一方面，由卷積公式得和的密度分別為, .故由與獨立得。令（此處用了），則有。由假定知有二階導(dǎo)數(shù)，上式對x求導(dǎo)得再對y求一次導(dǎo)數(shù)得.對任意u,v，選擇x,y使則由上式得.由u,v的任意性得常數(shù)，因而，即有.所以，從而,均勻正態(tài)分布。41、證：（1）若，則，必存在某個使，亦有，從而， （1）反之，若，必存在某個使亦有，即，從而，。 （2） 由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每個集逆像的和）。（2）若，則，即屬于每個，得（對任一），從而，。 （3）反之，若，則屬于每個，亦有屬于每個，即，從而

23、，。 （4）由（3），（4）式即得（交集的逆像等于每個集逆像的交）。（3）若，則，亦有，從而，所以。反之，若，則，亦有，即，從而，所以。由以上證明可得，即互為對立事件的逆像也是互為對立的事件。42、解：(1) 由 得 (2) 由得： 故43、解：設(shè)是所抽卡片的號數(shù)，記,則的分布列是:由44、解: 當時且在條件下的分布是 由此比較題中條件可知: 故在條件下, 的條件分布 它的密度函數(shù)為45、解：由題設(shè)(的分布密度函數(shù)是：由商的密度計算公式的密度得： 46、解：1)由 得 2) 的邊際密度是 當時，的條件下的條件密度為 47、解：設(shè)所取二數(shù)為，則它們是獨立的均服從（0,4）上的均勻分布 的密度函數(shù)

24、為 48、解：1)由 得： 2)在時，的條件分布列為 得 49、解：的聯(lián)合密度為： 令 的聯(lián)合密度為: :的邊際密度是： 同理的邊際密度為: 50、解： 的分布函數(shù) (1) 由, 得 則 (2) 由, 得 則 51、解： 設(shè)為旅客的候車時間，則在上均勻分布 則 52、解：1) 則 2) 3) 53、解：1) 2) 3)54、解： 服從 55、解：01204/164/161/1614/162/16021/16000122/31/30 56、解：當時，, 當時，57、解： 58、解：的所有可能值為。事件表示第次試驗取得第次成功。前面次試驗中，有次成功，有次失敗。這相當于在個位置中，取個位置，情況總

25、數(shù)為。有前次試驗有次成功，第次為成功，故注：服從的分布稱為帕斯卡分布。當時稱為幾何分布。59、解：首先求一只電子管工作1000小時以上的概率。只有當5只電子管皆工作在1000小時以上，儀器才能工作1000小時以上。又“每只電子管工作1000小時以上”是相互獨立的，所以所求概率為 ， 此概率很小。60、解：（1）利用概率密度的性質(zhì)，即可確定A。故 （2）61、解：（1）當時， 當時，當時，當時， 故（2）或這樣做：因區(qū)間1，4包含二個可能值1,2，它對應(yīng)的概率分別為，。故62、解：的可能值0,1,2。因是不放回抽樣，故；故的分布列為012的分布函數(shù)為63、解：（1），為單調(diào)增函數(shù)，反函數(shù)為，故（

26、2），利用（1）的結(jié)果，有64、解： 當時，單調(diào)增。，。故當時，。而當取其它值時，故65、解：的概率密度。函數(shù)在上單調(diào)增，故其反函數(shù)單值。當時 ，V的概率密度  當（即）時 故 66、解：（1），故的聯(lián)合分布列及關(guān)于的邊緣分布列為： X Y0 1 0 1 1（2），故聯(lián)合分布列及邊緣分布列如下： X Y0 1 0 1 167、解：， ， 同樣，可計算其它情況。的聯(lián)合分布列為：X Y01 200 1 23068、解：當連擲3次出現(xiàn)反面時，的取值為；出現(xiàn)1次正面，2次反面時，的取值為；出現(xiàn)2次正面，1次反面時，的取值為；出現(xiàn)3次正面時，的取值為。有， ， ， 又 ， ， 故的聯(lián)

27、合分布列為： X Y13 00102 03069、解：（1）故 ，即 。（2）（3）（4）70、解：（1）故。（2）71、解：（）的分布函數(shù)為（），。72、解：當時；當時，故。得同理73、解：的概率密度；的概率密度；則的概率密度74、證： 的地位對稱只證與獨立即可知兩兩獨立。的聯(lián)合密度是： ( 得4分) 同理 故獨立 但 故 不相互獨立。75、證：令 即 逆變換 故 而 因 故 與獨立。76、證：顯然 而 77、證： 78、證：，且 是一個密度函數(shù)。79、證：（1）設(shè)，所以，非降。（2）設(shè)，由概率的可加性得。由此得 ，右連續(xù)。（3）。由單調(diào)性得與均存在且有窮，由及上式得。80、證： .不等式成立81、證法一：定義則是的分布函數(shù)。由題設(shè)得，對任意有，即有。由此得。逐一類推可得，若，則，或者。從而對有理數(shù)，若與都屬于0,1，則有。再由的左連續(xù)性可得，對任意無理