“定區(qū)間動軸法”求區(qū)間最值

1、“定區(qū)間動軸法”求區(qū)間最值所謂“定區(qū)間動軸法”，就是將自變量所在區(qū)間（或）標(biāo)在數(shù)軸上，無論該區(qū)間是動的還是靜的，根據(jù)運(yùn)動的相對性，都將其看作“靜止”的，然后分對稱軸、三種情況進(jìn)行討論，特別地，如果二次函數(shù)圖象開口向上求區(qū)間最大值或二次函數(shù)圖象開口向下求區(qū)間最小值時，只需分和兩種情況進(jìn)行討論.這樣讓區(qū)間標(biāo)在數(shù)軸上不動，而讓二次函數(shù)圖象的對稱軸移動，分類方法非常明確、思路清晰、條理性強(qiáng)，這樣可做到不重不漏，并且簡捷易行.1條件中給出區(qū)間，直接采用“定區(qū)間動軸法”求區(qū)間最值例1已知，函數(shù)、表示函數(shù)在區(qū)間上的最小值，最大值，求、表達(dá)式.分析：此題屬于區(qū)間最值問題，結(jié)合圖形，將區(qū)間在數(shù)軸上相對固定，讓對

2、稱軸的區(qū)間內(nèi)外移動，即分成；三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合圖形便可輕松求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值.而只需分與兩種情況討論便可求出在區(qū)間上的最大值.··解：由，知圖象關(guān)于對稱，結(jié)合圖象知，當(dāng)，即時，；而當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.···當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.評注：本題采用了“定區(qū)間動軸法”， 分；三種情況和；兩種情況進(jìn)行討論，使本來因分類討論帶來的繁瑣、思維混亂，變得脈絡(luò)清晰、思維流暢、條理性強(qiáng)，降低了分類討論中因分類不清帶來的難度.此法是解決區(qū)間最值的一種非常有效的方法.該法是數(shù)形結(jié)合是重要體現(xiàn)，是研究數(shù)學(xué)的一個重要手段，是解題的一個有效途徑，用數(shù)形結(jié)合法

3、解題，直觀、便于發(fā)現(xiàn)問題，啟發(fā)思考，有助于培養(yǎng)我們綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.應(yīng)用分類討論思想的前提是：審題準(zhǔn)確、切入方向正確、分類嚴(yán)謹(jǐn).引起分類討論的原因主要有：字母的符號、字母的大小、函數(shù)圖象對稱軸的位置等.有時分類討論思想應(yīng)用的很隱蔽，需要我們仔細(xì)發(fā)掘.在討論時，要做到盡量簡捷、不重不漏.當(dāng)然，有時也可采用轉(zhuǎn)化思想避開分類討論，這需要有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力與轉(zhuǎn)化意識.例2已知二次函數(shù)的定義域?yàn)镽，且在處（R）取得最值，若為一次函數(shù)，且(1)求的解析式(2)若時，恒成立，求的取值范圍分析：（2）若時，恒成立，條件的實(shí)質(zhì)即為：當(dāng)時的最小值在于或等于，從而將問題歸結(jié)為區(qū)間最值問題.作出函數(shù)的大致

4、圖象，借助函數(shù)圖象的直觀性讓區(qū)間定，對稱軸動，分三種情況進(jìn)行討論.解：(1)設(shè)，為一次函數(shù)， 又， (2)即當(dāng)時，=，得當(dāng)時，=，得當(dāng)時，得 由，得：. 評注：給定自變量區(qū)間求解最值問題時，最重要的策略就是結(jié)合二次函數(shù)圖象，利用對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，可直觀顯示相應(yīng)的最值.2通過化歸轉(zhuǎn)化將問題歸結(jié)為區(qū)間最值問題，再采用“定區(qū)間動軸法”求解例3設(shè)函數(shù).當(dāng)時，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方.分析：通過轉(zhuǎn)化思想，將文字語言的圖像位于函數(shù)圖像的上方，轉(zhuǎn)化為符號語言，當(dāng)時恒成立.而當(dāng)時，恒成立只需，所以，本題的實(shí)質(zhì)為區(qū)間最值問題.解：當(dāng)時，.， ，. 又， 當(dāng)，即時，取，.，則. 當(dāng)，即時，取

5、， .由 、可知，當(dāng)時，.因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 評注：因?yàn)闂l件的限制，降低了問題的難度，使討論的情況減少.很多問題通過轉(zhuǎn)化思想都可以達(dá)到化生為熟、化未知為已知、化繁雜為簡單的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的重要性.本題就是轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的一個典型，通過轉(zhuǎn)化將本來抽象的問題歸結(jié)到區(qū)間最值的求解，讓我們有一種豁然開朗的感覺.例4設(shè)為實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為 （）設(shè)，求的取值范圍，并把表示為的函數(shù)，求和表達(dá)式及的取值范圍（）求.分析：本題看似與區(qū)間最值無關(guān)，但通過換元、轉(zhuǎn)化思想，可將問題化歸為區(qū)間最值.解：（I），要使有意義，必須且，即，的取值范圍是由得，（II）由題意知即為函數(shù)，的最大值注

6、意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論（1）當(dāng)時，函數(shù)，的圖像是開口向上的拋物線的一段，由知在上單調(diào)遞增，（2）當(dāng)時，（3）當(dāng)時，函數(shù)，的圖像是開口向下的拋物線的一段若，即，則若，即，則若，即，則綜上有評注：此題也給我們啟發(fā)：遇陌生或比較棘手的問題時，可采用化歸、轉(zhuǎn)化思想，將其轉(zhuǎn)化為熟知的問題、簡單的問題，從“數(shù)”方面難以入手時，可考慮借助形來說理.例5求函數(shù)的最值.分析：由已知條件的形式特點(diǎn)，可采用配方法，從而將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間最值問題，但要注意的條件限制，在此條件限制下，其實(shí)質(zhì)即為區(qū)間最值問題，采用“定”區(qū)間“動”軸法，結(jié)合圖形便可求出函數(shù)在區(qū)間上的最值.解：(1)若，即，則當(dāng)時，；最大值在或時取得.(2)若，即，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.(3)若，即，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.如圖所示：(1