線性代數(shù)的概念引入之四(完)

1、在發(fā)明中學(xué)習(xí)在發(fā)明中學(xué)習(xí) 線性代數(shù)概念引入線性代數(shù)概念引入 之四之四: : 矩陣運算矩陣運算 李尚志李尚志 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 1. 1. 線性函數(shù)線性函數(shù)例例 1 在平面上建立直角坐標(biāo)系在平面上建立直角坐標(biāo)系. (1)將平面上每個點將平面上每個點P繞原點繞原點向逆時針方向旋轉(zhuǎn)角向逆時針方向旋轉(zhuǎn)角到點到點P. 寫出點寫出點P的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x,y)與點與點P的的坐標(biāo)坐標(biāo)(x,y)之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式. 矩陣乘法矩陣乘法 (2) 將將x軸繞原點向逆時針方向旋轉(zhuǎn)角軸繞原點向逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到得到直線直線 l l. 平面上任一點平面上任一點P關(guān)于直線關(guān)于直線 l l的對稱的

2、對稱點為點為 P. 寫出點寫出點P的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x,y)與點與點P的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x,y)之間的函數(shù)關(guān)系式之間的函數(shù)關(guān)系式. 解解 設(shè)原點設(shè)原點O到到P的距離的距離|OP|=r, 由射線由射線OX(即即x軸正軸正方向方向) 到到OP所成的角所成的角 . 則則|OP|=|OP|=r, x=rcos, y=rsin. (1) x=rcos(+) =rcoscos-rsinsin =xcos-ysin y=rsin(+) =rcossin+rsincos =xsin+ycos(2) 在旋轉(zhuǎn)變換的表達式在旋轉(zhuǎn)變換的表達式 中中, x是是x,y的線性函數(shù)的線性函數(shù)(一次齊次函數(shù)一次齊次函數(shù)) 可以表示成可

3、以表示成 可以直接寫可以直接寫 f1 = (cos,-sin). 類似地有類似地有 一般地一般地, 任意一個任意一個n元線性函數(shù)元線性函數(shù) 可以由它的一次項系數(shù)組成的行向量可以由它的一次項系數(shù)組成的行向量(a1,an)來表示來表示, 稱為這個線性函數(shù)稱為這個線性函數(shù) f 的坐標(biāo)的坐標(biāo). 可直接寫可直接寫 f = (a1,an) n 個自變量看成一個整體個自變量看成一個整體 X, 寫成列向量寫成列向量 函數(shù)函數(shù) f 在自變量在自變量 X 上的作用可以看作行上的作用可以看作行 f 與列與列 X 相乘相乘: 2. 2. 線性映射的矩陣線性映射的矩陣 f : 自變量 因變量 旋轉(zhuǎn) 軸對稱 一般地一般地

4、, 考慮映射考慮映射 f: X= Y= 如果每個如果每個 yi 都是都是 x1 , xn 的一個線性函數(shù)的一個線性函數(shù) 決定決定, 則映射則映射 f: X Y由由 m 個行向量個行向量 fi 決定決定. f 稱為線性映射稱為線性映射. 寫成寫成看作矩陣看作矩陣 A= 與列與列 X 相乘的結(jié)果相乘的結(jié)果. 3. 3. 線性映射的合成線性映射的合成: : Y=Y=Z=Z=是是X X的的m m個線性函數(shù)個線性函數(shù) f f1 1,f,fn n 的線的線Z=CX=BAX,C=BAZ=CX=BAX,C=BA的第的第i i行元素分別乘行元素分別乘A A的各行相加得到的各行相加得到. .性組合性組合, , 仍

5、是仍是X X 的線性函數(shù)的線性函數(shù) , ,其坐標(biāo)其坐標(biāo)的坐標(biāo)的坐標(biāo)( (即即A A的各行的各行) )的相應(yīng)的線性組合的相應(yīng)的線性組合 4. 4. 利用分塊運算理解矩陣乘法利用分塊運算理解矩陣乘法 1、 AB = A (B1,B2,Bk), A 依次乘 B 的各列。 例. 對可逆方陣 A ，解矩陣方程 AX=B. 將 X,B 按列分塊, A(X1, ,Xk)=(B1,Bk) 即 (AX1,AXk)=(B1,Bk), AXj = Bj (j=1,2,k) 相當(dāng)于同時解 k 個有公共系數(shù)矩陣A的線性方程. 同時對k個增廣矩陣 (A Bj) 做同樣的初等行變換。 可以合并到一起作初等行變換: (A B) (I X），X=A-1B。 2、 A = (A1,An) = x1A1+xnAn.3、行變換行變換: B AB列變換列變換: B BAA：施工方案，施工方案，B：被施工的材料被施