點(diǎn)線面位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)梳理及經(jīng)典例題帶解析

1、【知識(shí)梳理】（1）四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。符號(hào)語(yǔ)言：。公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 三個(gè)推論： 經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面 經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面 它給出了確定一個(gè)平面的依據(jù)。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線（兩個(gè)平面的交線）。符號(hào)語(yǔ)言：。公理4：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號(hào)語(yǔ)言：。（2）空間中直線與直線之間的位置關(guān)系1.概念 異面直線及夾角：把不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直

2、線。 已知兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線，我們把與所成的角（或直角）叫異面直線所成的夾角。（易知：夾角范圍） 定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。（注意：會(huì)畫(huà)兩個(gè)角互補(bǔ)的圖形）2.位置關(guān)系：（3）空間中直線與平面之間的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有三種：（4）空間中平面與平面之間的位置關(guān)系平面與平面之間的位置關(guān)系有兩種：直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1.內(nèi)容歸納總結(jié)（1）四個(gè)定理定理定理內(nèi)容符號(hào)表示分析解決問(wèn)題的常用方法直線與平面平行的判定平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行在已知平面內(nèi)“找出”一條直線與已知直線平行就

3、可以判定直線與平面平行。即將“空間問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“平面問(wèn)題”平面與平面平行的判定一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行判定的關(guān)鍵：在一個(gè)已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問(wèn)題”直線與平面平行的性質(zhì)一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行平面與平面平行的性質(zhì)如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行直線、平面平垂直的判定及其性質(zhì)1.內(nèi)容歸納總結(jié)（一）基本概念1.直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線與平面垂直，記作。直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面。直

4、線與平面的公共點(diǎn)叫做垂足。2. 直線與平面所成的角：角的取值范圍：。3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的記法： 二面角的取值范圍： ； 兩個(gè)平面垂直：直二面角。（二）四個(gè)定理定理定理內(nèi)容符號(hào)表示分析解決問(wèn)題的常用方法直線與平面垂直的判定一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。在已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與已知直線垂直就可以判定直線與平面垂直。即將“線面垂直”轉(zhuǎn)化為“線線垂直”平面與平面垂直的判定一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。（滿足條件與垂直的平面有無(wú)數(shù)個(gè)）判定的關(guān)鍵：在

5、一個(gè)已知平面內(nèi)“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“線面平行問(wèn)題”直線與平面垂直的性質(zhì)同垂直與一個(gè)平面的兩條直線平行。平面與平面垂直的性質(zhì)兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直與交線的直線與另一個(gè)平面垂直。解決問(wèn)題時(shí)，常添加的輔助線是在一個(gè)平面內(nèi)作兩平面交線的垂線 【經(jīng)典例題】典型例題一例1 簡(jiǎn)述下列問(wèn)題的結(jié)論，并畫(huà)圖說(shuō)明：（1）直線平面，直線，則和的位置關(guān)系如何？（2）直線，直線，則直線和的位置關(guān)系如何？分析：（1）由圖（1）可知：或； （2）由圖（2）可知：或說(shuō)明：此題是考查直線與平面位置關(guān)系的例題，要注意各種位置關(guān)系的畫(huà)法與表示方法典型例題二例2 是平行四邊形所在平面外

6、一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，求證：平面分析：要證明平面外的一條直線和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了證明：如圖所示，連結(jié)，交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，連結(jié)，則在平面內(nèi)，且是的中位線， 在平面外，平面說(shuō)明：應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行，怎樣找這一直線呢？由于兩條直線首先要保證共面，因此常常設(shè)法過(guò)已知直線作一平面與已知平面相交，如果能證明已知直線和交線平行，那么就能夠馬上得到結(jié)論這一個(gè)證明線面平行的步驟可以總結(jié)為：過(guò)直線作平面，得交線，若線線平行，則線面平行典型例題三例3 經(jīng)過(guò)兩條異面直線，之外的一點(diǎn)，可以作幾個(gè)平面都與，平行？并證明

7、你的結(jié)論分析：可考慮點(diǎn)的不同位置分兩種情況討論解：（1）當(dāng)點(diǎn)所在位置使得，（或，）本身確定的平面平行于（或）時(shí)，過(guò)點(diǎn)再作不出與，都平行的平面；（2）當(dāng)點(diǎn)所在位置，（或，）本身確定的平面與（或）不平行時(shí)，可過(guò)點(diǎn)作，由于，異面，則，不重合且相交于由于，確定的平面，則由線面平行判定定理知：，可作一個(gè)平面都與，平行故應(yīng)作“0個(gè)或1個(gè)”平面說(shuō)明：本題解答容易忽視對(duì)點(diǎn)的不同位置的討論，漏掉第（1）種情況而得出可作一個(gè)平面的錯(cuò)誤結(jié)論可見(jiàn)，考慮問(wèn)題必須全面，應(yīng)區(qū)別不同情形分別進(jìn)行分類討論典型例題四例4 平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，那么另一條直線也平行于這個(gè)平面已知：直線，平面，求證：證明：如圖

8、所示，過(guò)及平面內(nèi)一點(diǎn)作平面設(shè)，又，說(shuō)明：根據(jù)判定定理，只要在內(nèi)找一條直線，根據(jù)條件，為了利用直線和平面平行的性質(zhì)定理，可以過(guò)作平面與相交，我們常把平面稱為輔助平面，它可以起到橋梁作用，把空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化和平面幾何中添置輔助線一樣，在構(gòu)造輔助平面時(shí)，首先要確認(rèn)這個(gè)平面是存在的，例如，本例中就是以“直線及直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面”為依據(jù)來(lái)做出輔助平面的典型例題五例5 已知四面體的所有棱長(zhǎng)均為求：（1）異面直線的公垂線段及的長(zhǎng)；（2）異面直線和所成的角分析：依異面直線的公垂線的概念求作異面直線的公垂線段，進(jìn)而求出其距離；對(duì)于異面直線所成的角可采取平移構(gòu)造法求解解：（1）如圖，分別取的中點(diǎn)，連結(jié)由

9、已知，得，是的中點(diǎn)，同理可證是的公垂線段在中， （2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則和所成的銳角或直角就是異面直線和所成的角連結(jié)，在中，由余弦定理，得故異面直線和所成的角為說(shuō)明：對(duì)于立體幾何問(wèn)題要注意轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，同時(shí)要將轉(zhuǎn)化過(guò)程簡(jiǎn)要地寫(xiě)出來(lái)，然后再求值典型例題六例6如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過(guò)這個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且與這條直線平行的直線必在這個(gè)平面內(nèi)已知：直線，求證：分析：由于過(guò)點(diǎn)與平行的直線是惟一存在的，因此，本題就是要證明，在平面外，不存在過(guò)與平行的直線，這是否定性命題，所以使用反證法證明：如圖所示，設(shè)，過(guò)直線和點(diǎn)作平面，且，這樣過(guò)點(diǎn)就有兩條直線和同時(shí)平行于直線，與平行公理矛盾必在內(nèi)說(shuō)明：(

10、1)本例的結(jié)論可以直接作為證明問(wèn)題的依據(jù)(2)本例還可以用同一法來(lái)證明，只要改變一下敘述方式如上圖，過(guò)直線及點(diǎn)作平面，設(shè)，這樣，與都是過(guò)點(diǎn)平行于的直線，根據(jù)平行公理，這樣的直線只有一條，與重合，典型例題七例7 下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）(1)若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則；(2)若直線平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則；(3)若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任一直線平行；(4)若直線在平面外，則A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)分析：本題考查的是空間直線與平面的位置關(guān)系對(duì)三種位置關(guān)系定義的準(zhǔn)確理解是解本題的關(guān)鍵要注意直線和平面的位置關(guān)系除了按照直線和平面公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)分類，還可以按照直線是否在平面內(nèi)來(lái)分類解：(

11、1)直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，并沒(méi)有說(shuō)明是所在點(diǎn)都不在平面內(nèi)，因而直線可能與平面平行亦有可能與直線相交解題時(shí)要注意“無(wú)數(shù)”并非“所有”(2)直線雖與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行，但有可能在平面內(nèi)，所以直線不一定平行(3)這是初學(xué)直線與平面平行的性質(zhì)時(shí)常見(jiàn)錯(cuò)誤，借助教具我們很容易看到當(dāng)時(shí)，若且，則在平面內(nèi)，除了與平行的直線以外的每一條直線與都是異面直線(4)直線在平面外，應(yīng)包括兩種情況：和與相交，所以與不一定平行故選A說(shuō)明：如果題中判斷兩條直線與一平面之間的位置關(guān)系，解題時(shí)更要注意分類要完整，考慮要全面如直線、都平行于，則與的位置關(guān)系可能平行，可能相交也有可能異面；再如直線、，則與的位置關(guān)系可能是平行，可

12、能是在內(nèi)典型例題八例8如圖，求證：兩條平行線中的一條和已知平面相交，則另一條也與該平面相交已知：直線，求證：直線與平面相交分析：利用轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決，由可確定一輔助平面，這樣可以把題中相關(guān)元素集中使用，既創(chuàng)造了新的線面關(guān)系，又將三維降至二維，使得平幾知識(shí)能夠運(yùn)用解：，和可確定平面，平面和平面相交于過(guò)點(diǎn)的直線在平面內(nèi)與兩條平行直線、中一條直線相交，必定與直線也相交，不妨設(shè)，又因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)（若在平面內(nèi)，則和都過(guò)相交直線和，因此與重合，在內(nèi)，和已知矛盾）所以直線和平面相交說(shuō)明：證明直線和平面相交的常用方法有：證明直線和平面只有一個(gè)公共點(diǎn)；否定直線在平面內(nèi)以及直線和平面平行；用此結(jié)論：一條直線如

13、果經(jīng)過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)，又經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)，則此直線必與平面相交（此結(jié)論可用反證法證明）典型例題九例9如圖，求證：經(jīng)過(guò)兩條異面直線中的一條，有且僅有一個(gè)平面與另一條直線平行已知：與是異面直線求證：過(guò)且與平行的平面有且只有一個(gè)分析：本題考查存在性與唯一性命題的證明方法解題時(shí)要理解“有且只有”的含義“有”就是要證明過(guò)直線存在一個(gè)平面，且，“只有”就是要證滿足這樣條件的平面是唯一的存在性常用構(gòu)造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反證法或其它唯一性的結(jié)論證明：(1)在直線上任取一點(diǎn)，由點(diǎn)和直線可確定平面在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作直線，使，則和為兩相交直線，所以過(guò)和可確定一平面，與為異面直線，又，故經(jīng)過(guò)存在一個(gè)平面與平行

14、(2)如果平面也是經(jīng)過(guò)且與平行的另一個(gè)平面，由上面的推導(dǎo)過(guò)程可知也是經(jīng)過(guò)相交直線和的由經(jīng)過(guò)兩相交直線有且僅有一個(gè)平面的性質(zhì)可知，平面與重合，即滿足條件的平面是唯一的說(shuō)明：對(duì)于兩異面直線和，過(guò)存在一平面且與平行，同樣過(guò)也存在一平面且與平行而且這兩個(gè)平面也是平行的（以后可證）對(duì)于異面直線和的距離，也可轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，這也是求異面直線的距離的一種方法典型例題十例10如圖，求證：如果一條直線和兩個(gè)相交平面都平行，那么這條直線和它們的交線平行已知：，求證：分析：本題考查綜合運(yùn)用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理的能力利用線面平行的性質(zhì)定理，可以先證明直線分別和兩平面的某些直線平行，即線面平行可得線線平

15、行然后再用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理來(lái)證明與平行證明：在平面內(nèi)取點(diǎn)，使，過(guò)和直線作平面交于，同理過(guò)作平面交于，又，又，另證：如圖，在直線上取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)和直線作平面和相交于直線，和相交于直線，但過(guò)一點(diǎn)只能作一條直線與另一直線平行直線和重合又，直線、都重合于直線，說(shuō)明：“線線平行”與“線面平行”在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，這種轉(zhuǎn)化的思想在立體幾何中非常重要典型例題十一例11正方形與正方形所在平面相交于，在、上各取一點(diǎn)、，且求證：面分析：要證線面平行，可以根據(jù)判定定理，轉(zhuǎn)化為證明線線平行關(guān)鍵是在平面中如何找一直線與平行可考察過(guò)的平面與平面的交線，這樣的平面位置不同，所找的交線也不同證明一：如圖，在

16、平面內(nèi)過(guò)作交于，在平面內(nèi)過(guò)作交于，連結(jié)，又，即 正方形與有公共邊， ，又，四邊形為平行四邊形又面，面證明二：如圖，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，又正方形與正方形有公共邊，又面，面說(shuō)明：從本題中我們可以看出，證線面平行的根本問(wèn)題是要在平面內(nèi)找一直線與已知直線平行，此時(shí)常用中位線定理、成比例線段、射影法、平行移動(dòng)、補(bǔ)形等方法，具體用何種方法要視條件而定此題中我們可以把“兩個(gè)有公共邊的正方形”這一條件改為“兩個(gè)全等的矩形”，那么題中的結(jié)論是否仍然成立？典型例題十二例12三個(gè)平面兩兩相交于三條交線，證明這三條交線或平行、或相交于一點(diǎn)已知：，求證：、互相平行或相交于一點(diǎn)分析：本題考查的是空間三直線的位置關(guān)系，我

17、們可以先從熟悉的兩條交線的位置關(guān)系入手，根據(jù)共面的兩條直線平行或相交來(lái)推論三條交線的位置關(guān)系證明：，與平行或相交若，如圖，又，若與相交，如圖，設(shè)，又，又，直線、交于同一點(diǎn)說(shuō)明：這一結(jié)論常用于求一個(gè)幾何體的截面與各面交線問(wèn)題，如正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，畫(huà)出點(diǎn)、的平面與正方體各面的交線，并說(shuō)明截面多邊形是幾邊形？典型例題十三例13已知空間四邊形，是的邊上的高，是的邊上的中線，求證：和是異面直線證法一：（定理法）如圖由題設(shè)條件可知點(diǎn)、不重合，設(shè)所在平面和是異面直線證法二：（反證法）若和不是異面直線，則和共面，設(shè)過(guò)、的平面為(1)若、重合，則是的中點(diǎn)，這與題設(shè)相矛盾(2)若、不重合，、四點(diǎn)共面，這

18、與題設(shè)是空間四邊形相矛盾綜上，假設(shè)不成立故和是異面直線說(shuō)明：反證法不僅應(yīng)用于有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明，在其他方面也有廣泛的應(yīng)用首先看一個(gè)有趣的實(shí)際問(wèn)題：“三十六口缸，九條船來(lái)裝，只準(zhǔn)裝單，不準(zhǔn)裝雙，你說(shuō)怎么裝？”對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，同學(xué)們可試驗(yàn)做一做也許你在試驗(yàn)幾次后卻無(wú)法成功時(shí)，覺(jué)得這種裝法的可能性是不存在的那么你怎樣才能清楚地從理論上解釋這種裝法是不可能呢？用反證法可以輕易地解決這個(gè)問(wèn)題假設(shè)這種裝法是可行的，每條船裝缸數(shù)為單數(shù)，則9個(gè)單數(shù)之和仍為單數(shù)，與36這個(gè)雙數(shù)矛盾只須兩句話就解決了這個(gè)問(wèn)題典型例題十四例14已知、是不在同一平面內(nèi)的三條線段，、分別是、的中點(diǎn)，求證：平面和平行，也和平行分析：欲證明

19、平面，根據(jù)直線和平面平等的判定定理只須證明平行平面內(nèi)的一條直線，由圖可知，只須證明證明：如圖，連結(jié)、在中，、分別是、的中點(diǎn)于是平面同理可證，平面說(shuō)明：到目前為止，判定直線和平面平行有以下兩種方法：(1)根據(jù)直線和平面平行定義；(2)根據(jù)直線和平面平行的判定定理典型例題十五例15已知空間四邊形，、分別是和的重心，求證：分析：欲證線面平行，須證線線平行，即要證明與平面中的某條直線平行，根據(jù)條件，此直線為，如圖證明：取的中點(diǎn)是的重心，連結(jié)，則，連結(jié)，為的重心，在中，又，說(shuō)明：(1)本例中構(gòu)造直線與平行，是充分借助于題目的條件：、分別是和的重心，借助于比例的性質(zhì)證明，該種方法經(jīng)常使用，望注意把握(2)

20、“欲證線面平行，只須證線線平行”判定定理給我們提供了一種證明線面平等的方法根據(jù)問(wèn)題具體情況要熟練運(yùn)用典型例題十六例16正方體中，、分別是、的中點(diǎn)如下圖求證：分析：要證明，根據(jù)線面平等的判定定理，需要在平面內(nèi)找到與平行的直線，要充分借助于、為中點(diǎn)這一條件證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)、為的中點(diǎn)，為的中位線，則，且為的中點(diǎn)，且，且，四邊形為平行四邊形，而，典型例題十七例17如果直線，那么直線與平面內(nèi)的（）A一條直線不相交B兩條相交直線不相交C無(wú)數(shù)條直線不相交D任意一條直線都不相交解：根據(jù)直線和平面平行定義，易知排除A、B對(duì)于C，無(wú)數(shù)條直線可能是一組平行線，也可能是共點(diǎn)線，C也不正確，應(yīng)排除C與平面內(nèi)任意一條

21、直線都不相交，才能保證直線與平面平行，D正確應(yīng)選D說(shuō)明：本題主要考查直線與平面平行的定義典型例題十八例18分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關(guān)系是（）A一定平行B一定相交C一定異面D相交或異面解：如圖中的甲圖，分別與異面直線、平行的兩條直線、是相交關(guān)系；如圖中的乙圖，分別與異面直線、平行的兩條直線、是相交關(guān)系綜上，可知應(yīng)選D說(shuō)明：本題主要考查有關(guān)平面、線面平行等基礎(chǔ)知識(shí)以及空間想象能力典型例題十九例19、是兩條異面直線，下列結(jié)論正確的是（）A過(guò)不在、上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)平面與、平行B過(guò)不在、上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與、相交C過(guò)不在、上的任一點(diǎn)，可作一個(gè)直線與、都平行D過(guò)可以并且只可以作一平

22、面與平行解：A錯(cuò)，若點(diǎn)與所確定的平面與平行時(shí)，就不能使這個(gè)平面與平行了B錯(cuò)，若點(diǎn)與所確定的平面與平等時(shí)，就不能作一條直線與，相交C錯(cuò)，假如這樣的直線存在，根據(jù)公理4就可有，這與，異面矛盾D正確，在上任取一點(diǎn)A，過(guò)A點(diǎn)做直線，則與確定一個(gè)平面與平行，這個(gè)平面是惟一的應(yīng)選說(shuō)明：本題主要考查異面直線、線線平行、線面平行等基本概念典型例題二十例20(1)直線，則與平面的位置關(guān)系是_(2)是兩異面直線、外的一點(diǎn)，過(guò)最多可作_個(gè)平面同時(shí)與、平行解：(1)當(dāng)直線在平面外時(shí)，；當(dāng)直線在平面內(nèi)時(shí)，應(yīng)填：或(2)因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)分別作，的平行線只能作一條，（分別稱，）經(jīng)過(guò)，的平面也是惟一的所以只能作一個(gè)平面；還有不能作的

23、可能，當(dāng)這個(gè)平面經(jīng)過(guò)或時(shí)，這個(gè)平面就不滿足條件了應(yīng)填：1說(shuō)明：考慮問(wèn)題要全面，各種可能性都要想到，是解答本題的關(guān)鍵典型例題二十一例21如圖，是的另一側(cè)的點(diǎn)，線段，交于，若，則=_解：，即，則應(yīng)填：說(shuō)明：本題是一道綜合題，考查知識(shí)主要有：直線與平面平行性質(zhì)定理、相似三角形、比例性質(zhì)等同時(shí)也考查了綜合運(yùn)用知識(shí)，分析和解決問(wèn)題的能力【課堂練習(xí)】1.若直線a不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（ ）A. 內(nèi)所有的直線都與a異面； B. 內(nèi)不存在與a平行的直線；C. 內(nèi)所有的直線都與a相交； D.直線a與平面有公共點(diǎn).2.已知兩個(gè)平面垂直，下列命題一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的任意一條直線；一個(gè)平

24、面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線；一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面；過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則垂線必垂直于另一個(gè)平面.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） A.3 B.2 C.1 D.03.空間四邊形ABCD中，若，則與所成角為A、 B、 C、 D、4. 給出下列命題：（1）直線a與平面不平行，則a與平面內(nèi)的所有直線都不平行；（2）直線a與平面不垂直，則a與平面內(nèi)的所有直線都不垂直；（3）異面直線a、b不垂直，則過(guò)a的任何平面與b都不垂直；（4）若直線a和b共面，直線b和c共面，則a和c共面其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（ ） （A）0 （B） 1 （C）2 （D）35正方體ABCD-A

25、1B1C1D1中，與對(duì)角線AC1異面的棱有（ ）條 A 3 B 4 C 6 D 8 ABCDA1B1C1D16. 點(diǎn)P為ABC所在平面外一點(diǎn)，PO平面ABC，垂足為O，若PA=PB=PC，則點(diǎn)O是ABC的（ ） （A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心7.如圖長(zhǎng)方體中，AB=AD=2，CC1=，則二面角 C1BDC的大小為（ ） （A）300 （B）450 （C）600 （D）9008.直線a,b,c及平面,下列命題正確的是（ ）A、若a，b,ca, cb 則c B、若b, a/b 則 a/ C、若a/,=b 則a/b D、若a, b 則a/b9.平面與平面平行的條件可以是（ ）A.內(nèi)有

26、無(wú)窮多條直線與平行； B.直線a/,a/C.直線a,直線b,且a/,b/ D.內(nèi)的任何直線都與平行10、 a, b是異面直線，下面四個(gè)命題：過(guò)a至少有一個(gè)平面平行于b； 過(guò)a至少有一個(gè)平面垂直于b；至多有一條直線與a，b都垂直；至少有一個(gè)平面與a，b都平行。其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）選擇題答題表題號(hào)12345678910答案二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.已知直線a/平面，平面/平面，則a與的位置關(guān)系為 . 12已知直線a直線b, a/平面,則b與的位置關(guān)系為 .ABCP13如圖，ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此圖形中有 個(gè)直角三角形14.、是兩個(gè)不同的平

27、面，m、n是平面及之外的兩條不同直線,給出四個(gè)論斷： m n m n 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：_.三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）PABC15如圖，PA平面ABC，平面PAB平面PBC 求證：AB BC 16在三棱錐S-ABC中，已知AB=AC， O是BC的中點(diǎn)，平面SAO平面ABC 求證：SAB=SACABOCS17如圖，PA平面ABC，AEPB，ABBC，AFPC,PA=AB=BC=2（1）求證：平面AEF平面PBC；（2）求二面角PBCA的大小；（3）求三棱錐PAEF的體積.ABCPEF【課后作業(yè)】一、選擇題1 給出下列

28、關(guān)于互不相同的直線m、l、n和平面、的四個(gè)命題：若；若m、l是異面直線，；若；若其中為假命題的是ABCD2.設(shè)為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則；若，則其中真命題的個(gè)數(shù)是 A1 B2 C3 D43已知m、n是兩條不重合的直線，、是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：若； 若；若；若m、n是異面直線，。其中真命題是A和B和C和D和4已知直線及平面，下列命題中的假命題是 A若，則. B若，則. C若，則. D若，則.5在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是 ABC平面PDF BDF平面PAE C平面P

29、DF平面ABC D平面PAE平面ABC6有如下三個(gè)命題：分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線；過(guò)平面的一條斜線有一個(gè)平面與平面垂直其中正確命題的個(gè)數(shù)為A0 B1 C2 D37下列命題中，正確的是A經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線C垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線D垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行8已知直線m、n與平面，給出下列三個(gè)命題： 若 若 若 其中真命題的個(gè)數(shù)是A0 B1 C2 D39已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題： 若；若；若；若a與b異面，且相交； 若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都

30、垂直. 其中真命題的個(gè)數(shù)是A1B2C3D410過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有A18對(duì) B24對(duì) C30對(duì) D36對(duì)11正方體中，、分別是、的中點(diǎn)那么，正方體的過(guò)、的截面圖形是A三角形 B四邊形 C五邊形 D六邊形12不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有A3個(gè) B4個(gè) C6個(gè) D7個(gè)13設(shè)為平面，為直線，則的一個(gè)充分條件是ABC D14設(shè)、 為兩個(gè)不同的平面，l、m為兩條不同的直線，且l，m，有如下的兩個(gè)命題：若，則lm；若lm，則那么A是真命題，是假命題 B 是假命題，是真命題C 都是真命題 D都是假命題15對(duì)于不重合的兩個(gè)平面與，給定下列條件：存在平面，使得

31、、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到的距離相等；存在異面直線l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定與平行的條件有A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)二、填空題1已知平面和直線m，給出條件：；.（i）當(dāng)滿足條件 時(shí)，有；（ii）當(dāng)滿足條件 時(shí)，有（填所選條件的序號(hào)）2在正方形中，過(guò)對(duì)角線的一個(gè)平面交于E，交于F，則1、 四邊形一定是平行四邊形2、 四邊形有可能是正方形3、 四邊形在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形4、 四邊形有可能垂直于平面以上結(jié)論正確的為 （寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）3下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐

32、底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐其中，真命題的編號(hào)是_（寫(xiě)出所有真命題的編號(hào)）4已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：若則 若則若,則m、n是兩條異面直線，若則上面命題中，真命題的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))5 已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題： 若，則平行于平面內(nèi)的任意一條直線 若則 若,則若,則 上面命題中，真命題的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))6連接拋物線上任意四點(diǎn)組成的四邊形可能是 （填寫(xiě)所有正確選項(xiàng)

33、的序號(hào)）菱形有3條邊相等的四邊形梯形平行四邊形有一組對(duì)角相等的四邊形三、計(jì)算題1 如圖1所示，在四面體PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是線段PB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上，且EFPB.如圖1 （）證明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小.2如圖，在五棱錐SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2， 求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數(shù)值表示）； 證明：BC平面SAB； 用反三角函數(shù)值表示二面角BSCD的大?。ū拘?wèn)不必寫(xiě)出）3 已知三棱錐PABC中，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn),ABC，PEF都是正三角形，PFAB. （）證明P

34、C平面PAB；（）求二面角PABC的平面角的余弦值； （）若點(diǎn)P、A、B、C在一個(gè)表面積為12的球面上，求ABC的邊長(zhǎng).4. 已知正三棱錐的體積為，側(cè)面與底面所成的二面角的大小為。 （1）證明：；（2）求底面中心到側(cè)面的距離. 5如圖,在直四棱柱 中,，垂足為()求證;()求二面角的大小;()求異面直線與所成角的大小6如圖, 在直三棱柱中， ，點(diǎn)為的中點(diǎn) ()求證;() 求證;()求異面直線與所成角的余弦值7如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，過(guò)其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于、將沿折起到的位置，使點(diǎn)在平面上的射影恰是線段BC的中點(diǎn)M求：（1）二面角的大?。唬?）異面直線與所成角的大小

35、（用反三角函數(shù)表示）8如圖，正三棱錐SABC中，底面的邊長(zhǎng)是3，棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，M是BC的中點(diǎn).求：（）的值；（）二面角SBCA的大??；（）正三棱錐SABC的體積.【參考答案】課堂參考答案1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C11.平行或在平面內(nèi)； 12. 平行或在平面內(nèi)； 13.4； 14.若則17.（2）45°課后作業(yè)答案一、選擇題1C 2. B 3D 4D 5 C 6C 7C 8C9A 10D 11D 12B 13D 14D 15B 二、填空題1 2 3，4 5 6三、計(jì)算題1.解（I）證明：PAC是以PAC為直角的直角三

36、角形，同理可證PAB是以PAB為直角的直角三角形，PCB是以PCB為直角的直角三角形故PA平面ABC又而故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE, PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB內(nèi)，過(guò)F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角二面角BCEF的大小為2.解（）連結(jié)BE，延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)F，則DCF=CDF=600，CDF為正三角形，CF=DF又BC=DE，BF=EF因此，BFE為正三角形，F(xiàn)BE=FCD=600，BE/CD所以SBE（或其補(bǔ)角）就

37、是異面直線CD與SB所成的角SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=，同理SE=，又BAE=1200，所以BE=，從而，cosSBE=，SBE=arccos所以異面直線CD與SB所成的角是arccos() 由題意，ABE為等腰三角形，BAE=1200，ABE=300，又FBE =600， ABC=900，BCBASA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC，又SABA=A， BC平面SAB（）二面角B-SC-D的大小3.解（）證明： 連結(jié)CF. （）解法一：為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=a，則AB=a，則 解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O. 得PA=PB=PC. 于是O是AB

38、C的中心. 為所求二面角的平面角.設(shè)AB=a，則 （）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R. ，的邊長(zhǎng)為. 解法二：延長(zhǎng)PO交球面于D，那么PD是球的直徑.連結(jié)OA、AD，可知PAD為直角三角形. 設(shè)AB=x，球半徑為R. 4. 證明（1）取邊的中點(diǎn)，連接、， 則，故平面. . （2）如圖， 由（1）可知平面平面，則是側(cè)面與底面所成二面角的平面角. 過(guò)點(diǎn)作為垂足，則就是點(diǎn)到側(cè)面的距離. 設(shè)為，由題意可知點(diǎn)在上， ，., ， ， . 即底面中心到側(cè)面的距離為3. 5. 解 （I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCD AC是A1C在平面ABCD上的射影 BDAC BDA1C；（II）連結(jié)A1E，C1E，A1 C1 與（I）同理可證BDA1E，BDC1E， A1EC1為二面角A1BDC1的平面角 ADDC， A1D1C1=ADC90°， 又A1D1=AD2，D1C1= DC2，AA1=且 ACBD， A1C14