完整分式講義

1、分式1.分式的概念:A形如二（A, B是整式，且B中含有字母）。要使分式有意艾，作為分母的整式B的值不能為B0,即B*0o要使分式的值為0,只能分子的值為0,同時(shí)保證分母的值不為0,即A二0,且Co 若。工一丄吋，分式的值為零3D.若a-時(shí),分式的值為零3B*0o21.式子二Xf 152_a“中，是分式的有（ 兀一1A.B.C.Do2、分式"3x-l中，當(dāng)x = -a時(shí)，下列結(jié)論正確的是（）Ao分式的值為零B.分式無意狡x3. 若分式口無意義，則x的值是（）卜卜1A. 0B. 1C. - 1D. ±14如果分式口嚴(yán)值為負(fù)取值范圍是（）1111A. x< B. x<

2、;-Co A >-D. x>-22222.分式的基本性質(zhì):A A廠 分式的分子，分母同時(shí)乘以，或除以一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。即仝=_±_B BCA -S- CB.C(°*0)1 1-%- y1不改變分式的值，使分式 一 的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，分子.分母應(yīng)乘以（口-x + -y39，Bo 9 C. 45 D 90A. 102。下列等式：二曰=一；（2）4 = 4；二出=_凹：-XXCCCc 一 m 一 nm 一 n=中,inmAoB.成立的是（）CoD.十，4 八 a 2 3x" + x 汶不改變分77的值，使分子、分母置高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，正確

3、的是（口 ）A。5 + 25x3 + 2x-33x + 25«? + 2x 33/+X-25_? 2x + 33x2-x-25x3-2x + 34對于分式占，永遠(yuǎn)成立的是（）Ao1 _ 2x-l x+5。下列各分式正確的是()A bb2廠a2+b2,cA. = B =a + b C a cTa + bc i _ z x-(x-1)2/2a + l t=l-« l-dx 1 x 33x 4y _ 18xy-6x2 2x3. 最簡分式及分式的約分與通分：1）置簡分式:分子分母沒有公因式的分式稱之為就簡分式。2）約分：利用分式的基本性質(zhì)約去分子分母中所有公因式，使所得的結(jié)果為最簡

4、分式或是 整式。3）通分：利用分式的基本性質(zhì)，對分式的分子，分母同時(shí)乘以適當(dāng)?shù)恼剑桓淖兎质降?值，把幾個(gè)不同分母的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形稱為通分。通分的第 一步是確定分式間的爺簡公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幕的積作為公分 母,即置簡公分母?？偨Y(jié)：分式的通分，約分前都需要將分子，分母中的多項(xiàng)式因式分解1-化簡分式一慝的結(jié)果是2o約分：（1）4a2b330腫nr - 2m +11 一加廠3把下列各式通分:(1)2 3a2 y -6ab2x x-1x2-4x + 2)2122x + 52x + 33 2d94. 分式的運(yùn)算：1）分式的乘除法法則：分式乘分式，分子的積作為

5、積得分子，分母的積作為積得分母；分 式除以分式，把除式的分子，分母顛倒位置后與被除式相乘。2）分式的加減法法則：同分母相加城，分母不變，分子相加減；異分母相加減，通分化為同分 母后再加減?？偨Y(jié)：分式的乘除進(jìn)行約分運(yùn)算；分式的加減進(jìn)行通分運(yùn)算。做混合運(yùn)算時(shí)，先乘方，再乘除， 后加減，有括號(hào)先做括號(hào).1o3xy24?"q.2（-）等于（） yAo 6x y zB. -3a，28?4)2C 一6xy zD o 6x2 y zc妬x + 22o計(jì)算：x 3x2-6x + 9x2-4'3 a，亠-3ax 2cd 4cd等于（）A.力3x3 2B一b x2c.少3x_3a2h2x*8c2

6、J24 計(jì)算:a_2 丄 cr -4 a+ 3 a2 +6« + 9一 丫一6X 35若x等于它的倒數(shù)，則匚亍三卞于值是（）A一 3 B2C1D. 06 計(jì)算：(xy-x2) =x-yv_7 將分式J+x化簡得三一，則x應(yīng)滿足的條件是X+1cC + 2d +1 g +110.化簡丄+丄+丄等于（）x 2xA.丄2x3 r11計(jì)算一3xBo112x6xd.a6x+上二x-4y 4y-x7y得(x-4yA2x + 6y2x + 6yx_4yB.x-4yCo -2D. 212計(jì)算 ab+得(Aoa-b + 2b2B. a+bC.a2 +b2a+b右步4卄1 2 114當(dāng)分式一-的值等于零時(shí)

7、，x = H-l x + 1 x-l15如果a> b> 0,則巴丄一2的值的符號(hào)是a_b a16已知a+b=3, a b =1,則+ 的值等于 b a17計(jì)算:x + 2 -x-x1 -2x x2 -4x + 418. 計(jì)算：x 1x-l19. 先化簡，再求值：亠-上二逹-芒，其中a二二。一3-3a a25. 整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算:1)分式的乘方:護(hù)（n為整數(shù)）;2）同底數(shù)的乘法：么兇么兇=么”"（叭n為整數(shù)）: 3）積得乘方：（n為整數(shù)）: 4）策的乘方：（aj n=afln （m, n禰是整數(shù)） 5）同底數(shù)幕的除法：幺出斗僅於=d出蟲（a=#0, m、n為整數(shù)）；01a

8、_ 7總結(jié)：=1 （a*0） ;k （a工0, n為正整數(shù)）1. 若m, n為正整數(shù)，則下列各式錯(cuò)誤的是（）A . aman=am-a-nn= a"hD初廠一 1am112下列計(jì)算正確的是（)r i、°A。(-1)°=-1B o=1（2丿D. (_嚴(yán)(“)3 j3.若 10" =25,則 ICT” 等于()1111AoB.-Co Do55506254.若 a + a"=3,則a2+a2等于（)Ao9B.1Co 7D115已知x = l + 2" ,y = l + 2",則用"表示y的結(jié)果是（）Aox+171x +

9、2 x+Do 2-x6計(jì)算：(一 i )2r, + (-1 尸 i =s 為整數(shù))7。計(jì)算：(-2_,)_2 =8o 化簡：(x + yx-y)(x2 + y"2) =9.已知：7W = 3,7" =5,則 7曲=1 0.已知:則x 11計(jì)算:分式方程及應(yīng)用：1）分式方程：分母中含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程2）解分式方程:找出置簡公分母，方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母化為整式方程后，解整式方 程，把解代入最簡公分母驗(yàn)算，使公分母為0的根，為增根，舍去。3）分式方程的應(yīng)用：檢驗(yàn)所列方程是否為分式方程；求解后注意檢驗(yàn)根是否為增根及是否 符合實(shí)際問題。1 21. 滿足方程=的&q

10、uot;值是（）x 1 x 2A. 1Bo 2 C.ODo 沒有2.已知e = （wHl），則曰等于（）n-am 一 n, n 一 meA.B八m-neCD.以上答案都不對.1-0 1-(?1-04163 分式方程、-3的解為（）x 24 x + 2Ao x = 0Bo x = 2 Co x = 2Do 無解。324. 若方程_ =有負(fù)數(shù)根，則斤的取值范圍是x + 3 x + k1 4- r15. 當(dāng)x時(shí)，分式一的值等于一。r 3 X6若使一與二互為倒數(shù)，則“的值是x-2 3x + 27已知方程斜"即解心8 解下列分式方程:(Do5 _ 1x-1x+3736x2+x + x2-x_x

11、2-lrin9.已知關(guān)于*的方程一2 = 解為正數(shù)，求刃的取值范圍.x 3x 310o當(dāng)m為何值吋，解方程+ = -會(huì)產(chǎn)生增根？x+11 兀 對一111某校用420元錢到商場去購買靛84”消毒液，經(jīng)過還價(jià)，每瓶便宜0. 5元，結(jié)果比用 原價(jià)多買了 2 0瓶，求原價(jià)每瓶多少元?設(shè)原價(jià)每瓶X元，則可列出方程為（）A.420420x x-0.5=20B.420420x-0.5 x=20C.D.旦上=°5x-20 x12甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)，騎自行車行30千米到B地，甲比乙每小時(shí)少走3千米，結(jié)呆乙先到40分鐘。A 3030若設(shè)乙每小時(shí)走X千米，則可列方程（）23030230302A一B

12、. =C Ox x-33Xx + 33x + 3X 33030 _ 2x-3 X 313為了適應(yīng)國民經(jīng)濟(jì)持續(xù)快速協(xié)調(diào)的發(fā)展，自2004年4月18日擔(dān)，全國鐵路實(shí)施第五次提速，提速后，火車由天津到上海的時(shí)間縮7 7. 4 2小吋。若天津到上海的路程為1 3Do26千米，提速祈火車的平均速度為x千米/時(shí)，提速后火車的平均速度為y千米/時(shí)，則八p 應(yīng)滿足的關(guān)系式（）1326132613261326 一Ax _ y =B o y-x =C= 7.42D7.427.42Xy13261326 = “=7.42y %14. 一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母比它的分子大5,如這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子加上14,分母城去1,所得到的分 數(shù)為

13、原分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，求這個(gè)分?jǐn)?shù).15.甲、乙兩人在相同時(shí)間內(nèi)各加工168個(gè)零件和1 44個(gè)零件，已知每小吋甲比乙多加工 8個(gè)零件，求甲、乙兩人每小時(shí)各加工多少個(gè)零件？16A、B兩地相距20 km,甲騎車自A地出發(fā)向B地方向行進(jìn)30分鐘后，乙騎車自B地出 發(fā)，以每小時(shí)比甲快2倍的速度向A地駛?cè)?，兩車要距B地12km的C地相遇，求甲、乙兩 人的車速.17o有一項(xiàng)工程要在規(guī)定日期內(nèi)完成，如果甲工程隊(duì)單獨(dú)做正好如期完成，如果乙工程隊(duì)單獨(dú)做就要超過4天才能完成。現(xiàn)由甲.乙兩隊(duì)合作3天，余下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做正好按期 完成，問規(guī)定日期是多少天？單元測試一、選擇題1分式巴，xA、1個(gè)2、下列計(jì)算正確的是（x +

14、y a-b 9 7 V"_ y -b x- yB、2 個(gè)。C、3 個(gè)。D、4 個(gè))=中最簡分式有（A、W=1X3、若（x + 2）"-3（2x + l）J有意I 則兀的取值范國是（ A、xH-2C、xH2或xH-丄2 2r2 -43將方程=2- 去分母，整理后得到的方程是（X+lX + 1亍一2兀一3 = 0。B、亍一2入一5 = 0。C、十一3 = 0。 丫3化簡-x2-x的結(jié)果是（）X-14、A、5、A、B、x 1x-16、3 x若分式方程丄x+x+B、一3殳一+ 2無解，則川的值為（A、- 17、A、8、M-1若分式 的值為0,則x等于(x2-3x + 2-b B、1

15、1 1HC、1 或 h D.4的解是A、9、方程,x + 2x-20-4x = 2B、x = -2 1 1 . z 若一=+,則(R & R2C、無解-I+D、D、xH2且D、/一5=01-xD、-2D、以上都不對門 RR 。D、& =& + /?2R_R10、一件工作，甲單獨(dú)做a小時(shí)完成，乙單獨(dú)做方小吋完成，則甲、乙兩人合作完成 需要（1 1+ -a bA、A、B、R = lC、R =)小時(shí)。C1C1C"B、。C、。D> ab a + b a + b二、填空題1、用科學(xué)記數(shù)法表示0. 000309 7有效數(shù)字）O （保留兩個(gè)I 2x 3 v2、分式丄，

16、, -2的最簡公分母是x x2 -42-xy-23、已知x=,試用含x的代數(shù)式表示y,則 y二。V + 34、當(dāng)x時(shí)，分式_有意義。x2 -95、計(jì)算：4-f 1-1)=ox I X)X + 116、方程 一 =_的解是ojc 一3 x7 .若一件大衣標(biāo)價(jià)a元，按8折傳出利潤率為/?%,則這件大衣的進(jìn)價(jià)是o8、若x + x"=3，則x2 +x2 =o3k9、若關(guān)于x的方程 = 1 一有增根.則比=x-11-x10、若4y 3兀=0,則一=_ y -三、計(jì)算K心萄+("33、2一4 a + b I ab )四. 解下列方程1、丄=匕_3x 22 x五、化簡求值x-2 4x .

17、11> 一7 - 7 lx + 2%- -4； JC-4;142-a4、x + 2 2x - 4x 2 丿小 u 96 2x-l 3x-l2、5 + =一f16 x + 44 x2、丫 16兀-1、<x-3 x2 -96 + 2x>x2 -6x + 92x + 6其中x = 4分式二.學(xué)習(xí)過程1. 溫故知新：把下列各式因式分解(1) 4 aV16b4a =(2) a/>4-8 a2 d2+l 6 =(3) ( a b) ' 2 (ab)( a b) c =(4) 1 - nr -n2 +2mn =(5) x? y? _x + y =2. 重點(diǎn)難點(diǎn)解析(1) .分

18、式的概念A(yù)A如果久8表示兩個(gè)整式，ArB就可以表示成二的形式.如果£中含有字母，那么式子二BB叫做分式.(2) .分式有意義、無意義的條件當(dāng)分式的分母不為零時(shí)，分式有意艾。當(dāng)分式的分母為零時(shí)，分式無意艾。(3) .分式的值為零的條件(1) 分母的值不等于零(即使得分式有意艾);(2)分子的值等于零.(4) .分式的基本性質(zhì)基本性質(zhì)：分式的分子、分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.3. 例題巧解點(diǎn)撥一. 考查分式定義例1 下列各式，哪些是整式，哪些是分式？1 a x ab x + 2x+1 z x 1 z 八 a2 +2ab + b2一，丁，一 ，-(a + b)f

19、 x 3 x-y a x-2 n 4ya + b針對練習(xí)仁下列各有理式中，哪些是整式，哪些是分式？1 x X 一 131 a - b,t 9,x 2tc x -12 + y 83二. 考查分式有意義、無意義和值為零的條件2例2(1)當(dāng)x為何值時(shí).分式有意艾？lxl-1Y2 -1(2) 當(dāng)x為何值時(shí)，分式的值為零?x -1(3) m取什么值時(shí)，分式2'一 了的值是正整數(shù)?m 一 12針對練習(xí)：已知y = 一，x取哪些值吋，2-3x(1) y的值等于零？(2)分式無意51? (3) y的值是正數(shù)？ (4)y的值是負(fù)數(shù)？例3 若分式不論m取任何數(shù)總有意義，則m的取值范囤是()x -2x +

20、mA. m1;Bo m) 1:D. m <1 o【典型考題】1根據(jù)要求解下列各題:x + 2 (1 )"為何值時(shí)，分式一無意艾？232 ¥ + (2)“為何值時(shí)，分式二有意艾？1-丄x三. 考查分式的基本性質(zhì) 例4填出下列各等式中未知的分子或分母:(Dx+ y 2 _y例5不改變分式的值，使下列各分式的分子與分母的系數(shù)都化為整數(shù).1 1-x-y-x + -y53 °m+om0.4x-0.07y針對練習(xí)：不改變分式的值，使下列分式的分子與分母的最離次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)。-4 + 5x-；r(2)_5-63 + 4x-；rY例6。把分式 一(x*0, y*0)中的分

21、子.分母的x, y同時(shí)擴(kuò)大2倍，那么分式的 x+ yAo擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C改變約分與最簡分式6 下列各式中最簡分式是()aU-bAo B .b-ax2 + y12a,n C. 2仙x3 + y3值 ()7.把下列參分式約分:D.不改變D.A2 +X + 11-X3(1)-4/加6abc5-32/戻 c24b2cd-4m3n22m2n6a2 +4a + 3a2 +a 6_. v .4" 8aZ? + 4Z? j8化簡求值：飛匸礦_ 其中-2, “3通分與最簡公分母9.指出下列以組分式的最簡公分母。(3)a(x + l)'1吃1)(5)10o通分:（1）1 1 13 寧 9 T 94x xy xy 3ab£ lerb 2(x + l) 5 x2 -x柘展與提高v +1例13已知=4 ,x求疋+丄的值.2x例14 如果u_b b_c c-a1?-4，4-2xX 1 3y2 4xy15