壓軸題解題策略：平行四邊形的存在性問題

1、中考數學壓軸題解題策略平行四邊形的存在性問題解題策略2015年9月13日星期日專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標準，第二步畫圖，第三步計算.難點在于尋找分類標準，分類標準尋找的恰當，可以使解的個數不重復不遺漏，也可以使計算又好又快.如果已知三個定點，探尋平行四邊形的第四個頂點，符合條件的有3個點:以已知三個定點為三角形的頂點，過每個點畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產生3個交點.如果已知兩個定點，一般是把確定的一條線段按照邊或對角線分為兩種情況.根據平行四邊形的對邊平行且相等，靈活運用坐標平移，可以使得計算過程簡便.根據平行四邊形的中心對稱的性質，靈活運用坐標對稱，

2、可以使得解題簡便.例題解析知拋物線y的左側），C D為頂例？如圖1-1 ,在平面直角坐標系中，已=-x2-2x + 3與x軸交于A、B兩點（A在B 與y軸交于點C,頂點為P,如果以點P、A 點的四邊形是平行四邊形，求點 D的坐標.圖1-1【解析】P、A C三點是確定的，過 PAC勺三個頂點分別畫對邊的平行線,三條直線兩兩相交，產生 3個符合條件的點D (如圖1-2 ). ,22由 y= x 2x+3=(x+1) +4,得 A( 3,0) , C(0, 3) , P( -1,4).由于 A(3,0)右 3.由 3 j C(0, 3)，所以P( 1,4)右 3.上 3j D(2, 7).由于 C(

3、0, 3) 下3 左3 jA(3,0),所以R 1,4)下3 左3j D(4, 1).由于 P(1,4).1卞 1 C(0,3)，所以A( 3,0).1下1 D3( -2,1).我們看到，用坐標平移的方法，遠比用解析式構造方程組求交點方便多了.圖1-2例？如圖2-1 ,在平面直角坐標系中，已知拋物線 y=x2+2x + 3與x軸交于 A、B兩點，點M在這條拋物線上，點 P在y軸上，如果以點 只M A B為頂點的 四邊形是平行四邊形，求點 M的坐標.圖2-1【解析】在P、M A B四個點中，A B是確定的，以AB為分類標準.由 y= -x2+2x+3=- (x+1)( x- 3),得 A(1,

4、0) , B(3, 0).如圖2-2,當AB是平行四邊形的對角線時，PM與AB互相平分，因此點 M與點P關于AB的中點(1,0)對稱，所以點 M的橫坐標為2.此時M2 , 3).如圖2-3,圖2-4,當AB是平行四邊形的邊時，PM/AB, PM= AB= 4.所以點M的橫坐標為4或4.所以M(4, 5)或(4, 21).我們看到，因為點 P的橫坐標是確定的，在解圖 2-2時，根據對稱性先確定 了點M的橫坐標；在解圖2-3和圖2-4時，根據平移先確定了點 M的橫坐標.圖2-2圖2-3圖2-4例？如圖3-1 ,在平面直角坐標系中，直線 y = x+4與x軸交于點A,與y 軸交于點B,點C在直線AB

5、上，在平面直角坐標系中求一點D,使彳導以Q A、C D為頂點的四邊形是菱形.圖3-1【解析】由y= x+4,得A(4, 0),直線AB與坐標軸的夾角為45° .在。A C、D四個點中，Q A是確定的，以線段 OA為分類標準.如圖3-2,如果OA是菱形的對角線，那么點C在OA勺垂直平分線上，點C(2,2)關于OA勺對稱點D的坐標為(2, -2).如果O幅菱形的邊，那么又存在兩種情況：如圖3-3,以。為圓心，OA為半徑的圓與直線 AB的交點恰好為點B(0, 4), 那么正方形AOCDJ頂點D的坐標為(4, 4).如圖3-4,以A為圓心，A8 半徑的圓與直線 AB有兩個交點C(4272,2

6、72)和 C' (4+2夜,2應)，點C和C'向左平移4個單位得到點D(272,2歷和 D' (272, -2 曲.圖3-2圖3-3圖3-4的負半對稱軸以M N、點M的例？如圖4-1 ,已知拋物線y = 4x2+16x與x軸 33軸交于點C,點E的坐標為(0, 3),點N在拋物線的上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M N,使得C E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出 坐標；若不存在，請說明理由.圖4-1【解析】a4,0)、E(0, 3)兩點是確定的，點N的橫坐標一2也是確定的.以CE為分類標準，分兩種情況討論平行四邊形：如圖4-2,當CE為平行四邊形的邊時，由

7、于 C E兩點間的水平距離為4, 所以M N兩點間的水平距離也為 4,因此點M的橫坐標為一6或2.將x= 6和x = 2分別代入拋物線的解析式，得 M6,16)或(2, 16).如圖4-3,當CE為平行四邊形白對角線時，M為拋物線的頂點，所以M-2,-16). 3圖4-2圖4-3例？如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線 y = ax2 2ax3a (av0)與x軸交 于A、B兩點(點A在點B的左側)，點D是第四象限內拋物線上的一點，直線 AD 與y軸負半軸交于點C,且CA 4AC設P是拋物線的對稱軸上的一點，點 Q在拋 物線上，以點A D P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能， 求出點P的坐標

8、； 若不能，請說明理由.圖5-1【解析】由 y=ax22ax3a = a(x+1)( x3),得 A；1, 0).由 CD= 4AC,彳導 xd= 4.所以 D4, 5 a).已知A( 1, 0)、D(4, 5 a), Xp= 1,以AD為分類標準，分兩種情況討論：如圖5-2 ,如果AD為矩形的邊，我們根據 AD/ QP AA QP來兩次平 移坐 標.由于A D兩點間的水平距離為 5,所以點Q的橫坐標為一4.所以Q4,21 a).由于A D兩點間的豎直距離為一5a,所以點P的縱坐標為26a.所以P(1, 26a). 根據矩形的對角線相等，得 AP= QD.所以22+(26a)2= 82+(16

9、 a) 2.整理，得7a2=1.所以2 = _曰.此時P(1,空皆).如圖5-3 ,如果AD為矩形的對角線，我們根據AP/QD, A之、皿兩次平移坐標.由于A、P兩點間的水平距離為2,所以點Q的橫坐標為2.所以Q2, 3a).由于Q D兩點間的豎直距離為一8a,所以點P的縱坐標為8a.所以P(1, 8a).再根據 AD=PQ,彳導 52+(5a)2 = 12+(11 a)2.整理，得4a2=1.所以a =.此時P(i,_4). 2我們從圖形中可以看到，像“勾股圖”那樣構造矩形的外接矩形，使得外接矩形的邊與坐標軸平行，那么線段的等量關系就可以轉化為坐標間的關系.上面我們根據“對角線相等的平行四邊

10、形是矩形”列方程，還可以根據定義“有一個角是直角的平行四邊形叫矩形”來列方程.如圖5-2,如果/ ADP= 90° ,那么必A="ND；如圖5-3,如果/ QAe 90° , MD NP那么GQ=2. GA KP圖5-2圖5-3例？如圖6-1,將拋物線c： 丫=卷2+點沿乂軸翻折，得到拋物線 C2.現將拋物線C向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為 M與x 軸的交點從左到右依次為 A B;將拋物線C2向右也平移m個單位長度，平移后得 到新拋物線的頂點為 N,與x軸的交點從左到右依次為 D E.在平移過程中，是 否存在以點A N、E、M為頂點的四邊形是矩形

11、的情形？若存在，請求出此時 m的 值；若不存在，請說明理由.圖6-1【解析】沒有人能精確畫好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們去偽存真，將A、B D E、M N六個點及它們的坐標在圖中都標注出來(如圖 6-2),如果您看到了 MA即4NE提邊長為2的等邊三角形，那么平移就簡單了.如圖6-3,在兩個等邊三角形平移的過程中，AM與EN保持平行且相等，所以四邊形ANE嘛持平行四邊形的形狀，點 O為對稱中心.【解法一】如果/ ANM 900 ,根據30°角所對的直角邊等于斜邊.的一半，可得AE= 2EN= 4,而AE= AO OE= 2AQ 所以AO2,已知 A82,此時 B。重合(如圖6-4

12、),所以mr BO 1.【解法二】如果對角線 MNAE那么O限OA此時 MA盅等邊三角形.所以等邊三角形 MAEBf MAC1合.因此 B O重合，m BO 1.【解法三】在平移的過程中，A(_1_m,0)、B(1_m,0) , M-m,、/3),根據OA = OM列方程（1 +n）2=m+3.解得 mn= 1.圖6-4圖6-2圖6-3例？如圖7-1，菱形ABCDJ邊長為4,/B= 60分別是AB CD的中點，E、G分別在AD BC上，且CG(1)求證四邊形EFGH6平行四邊形;(2)當四邊形EFGH6矩形時，求AE的長;(3)當四邊形EFGH6菱形時，求 AE的長.圖7-1【解析】(1)證明

13、三角形全等得 EF= GHP口 FG= HE大家最熟練了.(2)平行四邊形 EFGH勺對角線FH= 4是確定的，當E莊FHk4時，四邊形EFGH6矩形.以FH為直徑畫圓，你看看，這個圓與 AD有幾個交點，在哪里？如圖 7-2 .如圖7-3,當E為AD的中點時，四邊形ABGEJ口四邊形DCG都是平行四邊形.如圖7-4,當E與A重合時， ABGfDCETB是等邊三角形.(3)如果平彳f四邊形 EFGH勺對角線EGf FH互相垂直，那么四邊形 EFGH6菱形.過FH的中點O畫FH的垂線，EGt產生了.在 RtAOE, / OAE= 60° , Ad2,此時 AE= 1.又一次說明了如果會畫圖，答案就在圖形中.圖7- 2圖7-3圖7-4圖7-5例？如圖8-1，在平面直角坐標系中，直線A時x軸、y軸分別交于點A(4, 0)、B(0, 3),點C的坐標為(0, m),過點C作CH AB于點E,點D為x軸正半軸的一 動點，且滿足。氏2OC連結DE以DE DA為邊作平彳f四邊形 DEFA(1)如果平行四邊形 DEF徼矩形，求 m的值；(2)如果平行四邊形 DEF徼菱形，請直接寫出 m的值.圖8-1【解析】這道題目我們著重講解怎樣畫示意圖.我們