從幾個生活實(shí)例看數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用

1、從幾個生活實(shí)例看數(shù)學(xué)建模及其應(yīng)用內(nèi)容摘要 本文通過幾個生活中的事例，并運(yùn)用數(shù)學(xué)建模，來分析問題，以便更方便的得出解決問題的方案。從中通過將數(shù)學(xué)建模的抽象理論實(shí)例化，生動化，我們能夠更清楚看出數(shù)學(xué)在生活中無處不在，無處不用。關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)建模 生活 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，作為一門研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，與生活是息息相關(guān)的。作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的第一步，數(shù)學(xué)建模自然有著與數(shù)學(xué)相當(dāng)?shù)囊饬x。在各種不同的領(lǐng)域中，人們一直在運(yùn)用數(shù)學(xué)建模來描繪，刻畫某種生活規(guī)律或者生活現(xiàn)象，以便找到其中解決問題的最佳方案或得到最佳結(jié)論。例如，運(yùn)用模擬近似法建模的方法，在社會科學(xué)，生物學(xué)，醫(yī)學(xué)，經(jīng)濟(jì)些學(xué)等學(xué)科的實(shí)踐中，

2、來建立微分方程模型。在這些領(lǐng)域中的一些現(xiàn)象的規(guī)律性仍是未知的，或者問題太過復(fù)雜，所以在實(shí)際應(yīng)用中總要通過一些簡化，近似的模型來與實(shí)際情況比對，從而更加容易的得出規(guī)律性。本文通過數(shù)學(xué)模型在生活中運(yùn)用的幾個例子，來了解，探討數(shù)學(xué)模型的相關(guān)知識。一、數(shù)學(xué)模型的簡介早在學(xué)習(xí)初等代數(shù)的時(shí)候，就已經(jīng)碰到過數(shù)學(xué)模型了，例如在三個村莊之間建立一個糧倉，使其到三個村子的距離只和最短。我們可以通過建立方程組以及線性規(guī)劃來解決該問題。當(dāng)然，真實(shí)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模通常要復(fù)雜得多，但是建立數(shù)學(xué)建模的基本內(nèi)容已經(jīng)包含在解決這類代數(shù)應(yīng)用題的過程中了。那就是：根據(jù)建立模型的目的和問題的背景作出必要的簡化假設(shè)；用字母表示待求的

3、未知量；利用相應(yīng)的物理或其他規(guī)律，列出數(shù)學(xué)式子；求出數(shù)學(xué)上的解答；用這個答案解釋問題；最后用實(shí)際現(xiàn)象來驗(yàn)證結(jié)果。一般來說，數(shù)學(xué)模型可以描述為，對于現(xiàn)實(shí)世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，作出一些必要的簡化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。二、數(shù)學(xué)模型的意義1）在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地。2）在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具。3）數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地。三、數(shù)學(xué)建模實(shí)例例1、某飼養(yǎng)場每天投入6元資金用于飼養(yǎng)、設(shè)備、人力，估計(jì)可使一頭60kg重的生豬每天增重2.5kg。目前生豬出售的市場價(jià)格為12元/k

4、g，但是預(yù)測每天會降低0.1元，問該場應(yīng)該什么時(shí)候出售這樣的生豬？問題分析 投入資金可使生豬體重隨時(shí)間增長，但售價(jià)隨時(shí)間減少，應(yīng)該存在一個最佳的出售時(shí)機(jī)，使獲得利潤最大。根據(jù)給出的條件，可作出如下的簡化假設(shè)。模型假設(shè) 每天投入6元資金使生豬的體重每天增加的常數(shù)為r（=2.5kg）;生豬出售的市場價(jià)格每天降低常數(shù)g（=0.1元）。模型建立 給出以下記號：t 時(shí)間（天）；w 生豬體重;P 單價(jià)（元/kg）; R 出售的收入（元）；Q 純利潤（元）；C t天投入的資金（元）。按照假設(shè),又知道再考慮到純利潤應(yīng)扣掉以當(dāng)前價(jià)格（12元/kg）出售60kg生豬的收入，有得到目標(biāo)函數(shù)（純利潤）為 (1)其中r

5、=2.5,g=0.1 . 求使最大。模型求解 這是求二次函數(shù)最大值問題，用代數(shù)或微分法容易得到 （2）當(dāng)r=2.5 , g=0.1時(shí)，t=40,，即10天后出售，可得最大純利潤324元。 例2、（漁船出海問題）討論漁業(yè)資源的最大經(jīng)濟(jì)效益模型，這里用出海漁船的數(shù)量作為控制函數(shù)。實(shí)際上，捕魚業(yè)的具體做法是等漁場中魚量增長到相當(dāng)大以后，才派出一定數(shù)量的漁船進(jìn)行捕撈。 模型假設(shè)1、漁場魚量的自然增長服從logistic規(guī)律，單位時(shí)間捕撈量與漁船數(shù)量和漁場魚量成正比，在捕撈條件下滿足 r ,N 同前，是每只漁船單位時(shí)間（如每天）的捕撈率（相對于而言）。視為連續(xù)變量，非整數(shù)部分理解為在時(shí)間內(nèi)進(jìn)行捕撈。 2

6、、初始時(shí)刻漁場魚量很小。在時(shí)間內(nèi)不派魚船出海。以后出海漁船的數(shù)量保持常數(shù),即的形式為而，為待定參數(shù)，捕撈期間漁場魚量保持穩(wěn)定。 3、魚的出售單價(jià)為，每只漁船單位時(shí)間（天）的運(yùn)費(fèi)為c,通貨膨脹率或稱折扣率因子為。 建模與求解 在假設(shè)1和3下，單位時(shí)間的利潤（折合到初始時(shí)刻）為，模型的目標(biāo)函數(shù)是以為控制函數(shù)的長期效益，即歸納為如下的泛函極值問題： （6） （7）因?yàn)榧僭O(shè)2給出了控制函數(shù)的形式（5），所以（6），（7）可轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問題。 當(dāng)時(shí)容易由方程（7）在初始條件（4）下解出；當(dāng)時(shí)要保持在某一變量不變（假設(shè)2），這個常量可由（7）式令得到。于是有 （8）由在時(shí)的連續(xù)性可以寫出 由此可解得 （

7、9）即中的兩個參數(shù)中只有一個是獨(dú)立的，以下取U為獨(dú)立變量，由（9）式確定。將（5）（8）代入（6）式，目標(biāo)泛函變?yōu)閁的函數(shù)，記作F（U），則 （10）注意到的含義，可知無量量綱b是費(fèi)用價(jià)格比下界（因?yàn)闈O場魚量取最大值N）,顯然應(yīng)該有否則成本高于售價(jià)，漁船不會出海并且由（10）式可是，效益為正值的條件是或記作 （11）用微分法求出在條件（11）下的最大值點(diǎn)為（12）將（12）的結(jié)果代入（9）式即得（13）為漁船出海的最佳數(shù)量與時(shí)刻。 例3，景區(qū)門票定價(jià)模型研究（從該例開始，僅從表述上說明可用建模來解決）。近年來高漲的門票價(jià)格已經(jīng)成為我國旅游經(jīng)濟(jì)效益增長的制約因素。由于缺乏科學(xué)合理門票價(jià)格制定依據(jù)

8、，以至于目前我國景區(qū)門票定價(jià)比較混亂，影響了景區(qū)的管理和經(jīng)濟(jì)效益。那么，我們可以景區(qū)門票價(jià)格制定的各種影響因素出發(fā)，在已有的研究基礎(chǔ)上，運(yùn)用層次分析法，試圖構(gòu)建一種科學(xué)合理的景區(qū)門票定價(jià)模型，則或許可以在未來的研究工作上起到一定的作用。 例4、高速公路安全行車車距數(shù)學(xué)模型目前道路交通安全形勢日益嚴(yán)峻，在眾多的交通事故中，以追尾碰撞與超車側(cè)向碰撞事故這兩種類型最為常見。如果能夠在事故發(fā)生前提醒駕駛員并采取一定的安全措施，對減少交通事故的發(fā)生是非常有用的。汽車防撞預(yù)警系統(tǒng)正是基于提高車輛的主動安全性來實(shí)現(xiàn)在行車過程中，給駕駛員提供必要的安全裝置。車輛防碰撞技術(shù)正在不斷成熟和完善。防撞系統(tǒng)的應(yīng)用不僅可以縮短車輛之間的安全行車距離，還可以實(shí)現(xiàn)安全超車，保證高速運(yùn)行車輛的安全性，提高公路運(yùn)輸效率，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展。于是，我們可以通過實(shí)驗(yàn)或者模擬，來統(tǒng)計(jì)各種不同的數(shù)據(jù)，運(yùn)用概率模型，統(tǒng)計(jì)回歸模型以及微分方程模型來綜合解決該類問題。四、本文總結(jié) 由上文則可以看清楚的出數(shù)學(xué)模型及其運(yùn)用在生活中的重要性，當(dāng)然由于文本有限則所舉得例子少之又少。數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用給我們的生活帶來了巨大的改變，而且隨著科技的發(fā)展和社會的進(jìn)步，數(shù)學(xué)迅速地向一些新的領(lǐng)域滲透，形成愈來愈多的交叉學(xué)科