自考04184線性代數(shù)經(jīng)管類講義

1、自考高數(shù)線性代數(shù)課堂筆記第一章 行列式線性代數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容是：研究線性方程組的解的存在條件、解的結(jié)構(gòu)以及解的求法。所用的基本工具是矩陣，而行列式是研究矩陣的很有效的工具之一。行列式作為一種數(shù)學(xué)工具不但在本課程中極其重要，而且在其他數(shù)學(xué)學(xué)科、乃至在其他許多學(xué)科（例如計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)等）都是必不可少的。1.1行列式的定義（一）一階、二階、三階行列式的定義（1）定義：符號(hào)叫一階行列式，它是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為：。注意：在線性代數(shù)中，符號(hào)不是絕對(duì)值。例如，且；（2）定義：符號(hào)叫二階行列式，它也是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為：所以二階行列式的值等于兩個(gè)對(duì)角線上的數(shù)的積之差。（主對(duì)角線減次對(duì)角線的乘積）

2、例如（3）符號(hào)叫三階行列式，它也是一個(gè)數(shù)，其大小規(guī)定為例如=0三階行列式的計(jì)算比較復(fù)雜，為了幫助大家掌握三階行列式的計(jì)算公式，我們可以采用下面的對(duì)角線法記憶方法是：在已給行列式右邊添加已給行列式的第一列、第二列。我們把行列式左上角到右下角的對(duì)角線叫主對(duì)角線，把右上角到左下角的對(duì)角線叫次對(duì)角線，這時(shí)，三階行列式的值等于主對(duì)角線的三個(gè)數(shù)的積與和主對(duì)角線平行的線上的三個(gè)數(shù)的積之和減去次對(duì)角線三個(gè)數(shù)的積與次對(duì)角線的平行線上數(shù)的積之和。例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×

3、8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可見(jiàn)，在三階行列式中，三角形行列式的值為主對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之積，其余五項(xiàng)都是0，例如例1a為何值時(shí)，答疑編號(hào)10010101：針對(duì)該題提問(wèn)解因?yàn)樗?-3a=0，時(shí)例2當(dāng)x取何值時(shí)， 答疑編號(hào)10010102：針對(duì)該題提問(wèn)解：解得0<x<9所以當(dāng)0<x<9時(shí)，所給行列式大于0。（二）n階行列式符號(hào)：它由n行、n列元素（共個(gè)元素）組成，稱之為n階行列式。其中，每一個(gè)數(shù)稱為行列式的一個(gè)元素，它的前一個(gè)下標(biāo)i稱為行標(biāo)，它表示這個(gè)數(shù)在第

4、i行上；后一個(gè)下標(biāo)j 稱為列標(biāo)，它表示這個(gè)數(shù)在第j列上。所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。為敘述方便起見(jiàn)，我們用(i,j)表示這個(gè)位置。n階行列式通常也簡(jiǎn)記作。n階行列式也是一個(gè)數(shù)，至于它的值的計(jì)算方法需要引入下面兩個(gè)概念。（1）在n階行列式中，劃去它的第i行和第j列，余下的數(shù)按照原來(lái)相對(duì)順序組成的一個(gè)(n-1)階行列式叫元素的余子式，記作例如，在三階行列式中，的余子式表示將三階行列式劃去第1行和第1列后，余下的數(shù)按照相對(duì)位置組成的二階行列式，所以相似地，的余子式表示將三階行列式劃去第二行和第三列后，余下的數(shù)組成的二階行列式。所以例1若，求：（1）答疑編號(hào)10010103：針對(duì)該題提問(wèn)

5、（2）答疑編號(hào)10010104：針對(duì)該題提問(wèn)（3）答疑編號(hào)10010105：針對(duì)該題提問(wèn)（4）答疑編號(hào)10010106：針對(duì)該題提問(wèn)解（1）（2）（3）（4） （2）符號(hào)叫元素的代數(shù)余子式定義：（系數(shù)其實(shí)是個(gè)正負(fù)符號(hào)）例2求例1中的代數(shù)余子式（1）答疑編號(hào)10010107：針對(duì)該題提問(wèn)（2）答疑編號(hào)10010108：針對(duì)該題提問(wèn)（3）答疑編號(hào)10010109：針對(duì)該題提問(wèn)（4）答疑編號(hào)10010110：針對(duì)該題提問(wèn)解：（1）（2）（3）（4） （如果符號(hào)是奇數(shù)，等于相反數(shù)；如果是偶數(shù)，等于原數(shù)）例3若計(jì)算 （以上兩組數(shù)相等）答疑編號(hào)10010111：針對(duì)該題提問(wèn)解：由于與例3的結(jié)果比

6、較，發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果說(shuō)明：三階行列式等于它的第一列的元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的積的和，這一結(jié)果可以推廣到n階行列式作為定義。 定義：n階行列式即規(guī)定n階行列式的值為它的第一列的元素與相應(yīng)代數(shù)余子式的積的和，上面結(jié)果中因?yàn)樗杂刑貏e情形例4計(jì)算下列行列式（1）答疑編號(hào)10010112：針對(duì)該題提問(wèn)由本例可見(jiàn)四階上三角形行列式的值也等于它的主對(duì)角線各數(shù)之積（2）答疑編號(hào)10010113：針對(duì)該題提問(wèn)可見(jiàn)五階上三角形行列式的值仍等于它的主對(duì)角線各數(shù)之積一般地可推得即任意n階上三角形行列式的值等于它的主對(duì)角線各數(shù)之積同理有 1.2行列式按行（列）展開(kāi)在1.1節(jié)講n階行列式的展開(kāi)時(shí)，是把按

7、其第一列展開(kāi)而逐步把行列式的階數(shù)降低以后，再求出其值。實(shí)際上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開(kāi)來(lái)求出它的值?，F(xiàn)在給出下面的重要定理，其證明從略。定理1.2.1（行列式展開(kāi)定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即 （i=1,2,n）（1.8）或（j=1,2,n）（1.9）其中，是元素在D中的代數(shù)余子式。定理1.2.1（行列式展開(kāi)定理）n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即（i=1,2,n）（1.8）或（j=1,2,n）（1.9）其中，是元素在D中的代數(shù)余子式。（1.8）式稱為D按第i行的展開(kāi)式，（1.9）式稱為D

8、按第j列的展開(kāi)式，這里i,j=1,2,上述展開(kāi)定理也可以表示成 （i=1,2,n）（j=1,2,n）這兩個(gè)展開(kāi)式中的每一項(xiàng)都由三部分組成：元素和它前面的符號(hào)以及它后面的余子式，三者缺一不可！特別容易忘掉的是把元素（特別是）抄寫下來(lái)。根據(jù)定理1.2.1知道，凡是含零行（行中元素全為零）或零列（列中元素全為零）的行列式，其值必為零。特別情形（1）（2）例5計(jì)算答疑編號(hào)10010201：針對(duì)該題提問(wèn)解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展開(kāi)（解題技巧）可見(jiàn)四階下三角形行列式的值也等于它的主對(duì)角線各數(shù)之積例5的結(jié)果可推廣為我們稱這種行列式為下三角行列式（可任意取值的元素在主對(duì)角線的下面）。例6

9、計(jì)算答疑編號(hào)10010202：針對(duì)該題提問(wèn)解：由于第2行含0最多，所以應(yīng)按第二行展開(kāi)例7計(jì)算答疑編號(hào)10010203：針對(duì)該題提問(wèn)解：將按第6行展開(kāi)得例8計(jì)算（1）答疑編號(hào)10010204：針對(duì)該題提問(wèn)解：按第4行展開(kāi)（2）答疑編號(hào)10010205：針對(duì)該題提問(wèn)解：將D按第一行展開(kāi)（重新分組后得出）1.3行列式的性質(zhì)與計(jì)算因?yàn)閚階行列式是n!項(xiàng)求和，而且每一項(xiàng)都是n個(gè)數(shù)的乘積，當(dāng)n比較大時(shí)，計(jì)算量會(huì)非常大，例如，10!=3628800。所以對(duì)于階數(shù)較大的行列式很難直接用定義去求它的值，這時(shí)利用行列式的性質(zhì)可以有效地解決行列式的求值問(wèn)題。下面我們來(lái)研究行列式的性質(zhì)，并利用行列式的性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化行列式

10、的計(jì)算。1.3.1行列式的性質(zhì)將行列式D的第一行改為第一列，第二行改為第二列第n行改為第n列，仍得到一個(gè)n階行列式，這個(gè)新的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為或。即如果則性質(zhì)1行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即或根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可知，在任意一個(gè)行列式中，行與列是處于平等地位的。凡是對(duì)“行”成立的性質(zhì)，對(duì)“列”也成立；反之，凡是對(duì)“列”成立的性質(zhì)，對(duì)“行”也成立。所以只需研究行列式有關(guān)行的性質(zhì)，其所有結(jié)論對(duì)列也是自然成立的。（運(yùn)用最多）性質(zhì)2用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD。這也就是說(shuō)，行列式可以按某一行和某一按列提出公因數(shù)：證將左邊的行列式按其第i行展開(kāi)以后，再提出公因數(shù)k，

11、即得右邊的值：注意如果行列式有多行或多列有公因數(shù)，必須按行或按列逐次提出公因數(shù)。例1計(jì)算行列式：答疑編號(hào)10010206：針對(duì)該題提問(wèn)解=30（4+6+5-2-4-15）=30（-6）=-180在例1的計(jì)算過(guò)程中，我們先提出第二行的公因數(shù)2和第三行的公因數(shù)3，得到第一個(gè)等號(hào)右邊的式子，然后提出這個(gè)行列式中第三列的公因數(shù)5，把行列式中各元素的絕對(duì)值化小以后，再求出原行列式的值。例2答疑編號(hào)10010207：針對(duì)該題提問(wèn)因?yàn)樗栽?4abcdef這里是把上式第一個(gè)等號(hào)左邊的行列式的第一、二、三行分別提出了公因子a,d,f，第二個(gè)等號(hào)左邊的行列式的第一、二、三列分別提出了公因子b,c,e，化簡(jiǎn)后再

12、求出其值。例3計(jì)算行列式：在行列式D的每一行中都提出公因數(shù)（-1）并用行列式性質(zhì)1可以得到答疑編號(hào)10010208：針對(duì)該題提問(wèn)因?yàn)樾辛惺紻是一個(gè)數(shù)，所以由D= -D，可知行列式D=0。用這種方法可以證明：任意一個(gè)奇數(shù)階反對(duì)稱行列式必為零。所謂反對(duì)稱行列式指的是，其中主對(duì)角線上的元素全為0，而以主對(duì)角線為軸，兩邊處于對(duì)稱位置上的元素異號(hào)。即若是反對(duì)稱行列式，則它滿足條件（運(yùn)用最多）性質(zhì)3互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號(hào)。即對(duì)于如下兩個(gè)行列式 有根據(jù)這個(gè)性質(zhì)可以得到下面的重要推論：推論如果行列式中有兩行（列）相同，則此行列式的值等于零。因?yàn)榛Q行列式D中的兩個(gè)相同的行（列），其結(jié)果

13、仍是D，但由性質(zhì)3可知其結(jié)果為-D，因此D=-D，所以D=0。性質(zhì)4如果行列式中某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零。證設(shè)行列式D的第i行與第j行的對(duì)應(yīng)元素成比例，不妨設(shè)第j行元素是第i行元素乘以k得到的，則由于將行列式D中第j行的比例系數(shù)k提到行列式的外面來(lái)以后，余下的行列式有兩行對(duì)應(yīng)元素相同，因此該行列式的值為零，從而原行列式的值等于零。行列式中某兩列元素對(duì)應(yīng)成比例的情形可以類似地證明。例4驗(yàn)算x=3是否是方程的根。答疑編號(hào)10010209：針對(duì)該題提問(wèn)解：因?yàn)?（第二行與第四行成倍數(shù)）x=3是方程f(x)=0的根。性質(zhì)5行列式可以按行（列）拆開(kāi)，即證將左邊的行列式按其第i行

14、展開(kāi)即得這就是右邊兩個(gè)行列式之和。（運(yùn)用最多）性質(zhì)6把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k以后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D。即：例5證明：的充要條件是k=1或k=±2 答疑編號(hào)10010301：針對(duì)該題提問(wèn)證因?yàn)椋ǖ谝恍械臄?shù)乘與（-1）加到第二行上去） 所以，D=0的充要條件是k=1或k=±2。此題中，為了敘述方便，我們引入了新的記號(hào)，將每一步的行變換寫在等號(hào)上面（若有列變換則寫在等號(hào)下面，本題沒(méi)有列變換），即第一步中的+（-1）×表示將第一行的-1倍加到第二行上，第二步是第一列展開(kāi)。 根據(jù)行列式的展開(kāi)定理與行列式的性質(zhì)，我們有下面

15、的定理： 定理1.3.1n階行列式的任意一行（列）各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即， （1.10）， （1.11）1.3.2行列式的計(jì)算 行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法。（1）利用行列式的性質(zhì)，把原行列式化為容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值。此時(shí)要注意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上（-1），在按行或按列提取公因子k時(shí)，必須在新的行列式前面乘上k。（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開(kāi)，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)6在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)“0”元素，再按包含0最多的行或

16、列展開(kāi)。例6計(jì)算行列式 答疑編號(hào)10010302：針對(duì)該題提問(wèn)解由于上三角行列式的值等于其主對(duì)角線上元素的乘積，所以我們只要設(shè)法利用行列式的性質(zhì)將行列式化為上三角行列式，即可求出行列式的值。 我們?cè)谟?jì)算例6中的行列式時(shí)，是利用行列式的性質(zhì)先將它化成上三角行列式后，再求出它的值，事實(shí)上在計(jì)算行列式的值時(shí)，未必都要化成上三角或下三角行列式，若將行列式的性質(zhì)與展開(kāi)定理結(jié)合起來(lái)使用，往往可以更快地求出結(jié)果。 例7計(jì)算行列式： 答疑編號(hào)10010303：針對(duì)該題提問(wèn)解觀察到行列式的第一行第一列位置的元素a11=1，利用這個(gè)（1，1）位置的元素1把行列式中第一列的其他元素全都化為0，然后按第一列展開(kāi)，可將

17、這個(gè)四階行列式降為三階行列式來(lái)計(jì)算，具體步驟如下：按第一列展開(kāi)，得 =（-1）×2× 例8計(jì)算行列式（把最簡(jiǎn)單的調(diào)到第一列或是第一旬） 答疑編號(hào)10010304：針對(duì)該題提問(wèn) 在本例中，記號(hào)寫在等號(hào)下面，表示交換行列式的第一列和第二列，+5×寫在等號(hào)下面，表示將行列式的第一列乘以5后加到第二列。 例9計(jì)算行列式： （例子很特殊）答疑編號(hào)10010305：針對(duì)該題提問(wèn)解這個(gè)行列式有特殊的形狀，其特點(diǎn)是它的每一行元素之和為6，我們可以采用簡(jiǎn)易方法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因數(shù)6，再將后三行都減去第一行：（32）？ 例10計(jì)算行列式： a2-b2

18、=(a+b)(a-b)答疑編號(hào)10010306：針對(duì)該題提問(wèn) 例11計(jì)算n階行列式（n>1）： 答疑編號(hào)10010307：針對(duì)該題提問(wèn)解將行列式按第一列展開(kāi)，得 （簡(jiǎn)化的過(guò)程就是消階，次方也應(yīng)減少，為（N-1）等 例12計(jì)算范德蒙德（VanderMonde）行列式： 答疑編號(hào)10010308：針對(duì)該題提問(wèn)（第一行乘（-X1）加到第二行上；第二行乘（-X1）加到第三行上）例13 計(jì)算 答疑編號(hào)10010309：針對(duì)該題提問(wèn)（這是個(gè)定律） 例14計(jì)算 （解題規(guī)律：每行或是每列中的和是一樣的，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把這個(gè)數(shù)當(dāng)公因數(shù)提取，形成有一行或是列全為“1”的

19、行列式，然后再化簡(jiǎn)）答疑編號(hào)10010310：針對(duì)該題提問(wèn)=（x+4a）（x-a）4 1.4克拉默法則由定理1.2.1和定理1.3.1合并有或 （一）二元一次方程組（方程1、2左右同乘以一個(gè)數(shù)，上下對(duì)減） 由a22*-a12*得由a11-a21得 令 =D =D1=D2則有 A是常數(shù)項(xiàng)當(dāng)D0時(shí)，二元一次方程組有唯一解（二）三元一次方程組 令叫系數(shù)行列式， ， 由D中的A11+A21+A31得 即 由D中的A12+A22+A32得即 由D中的A13+A23+A33得即 當(dāng)D0時(shí)，三元一次方程組有唯一解一般地，有下面結(jié)果定理（克拉默法則） 在n個(gè)方程的n元一次方程組（1）中，若它的系數(shù)行列式0則n

20、元一次方程組有唯一解。推論：在n個(gè)方程的n元一次齊次方程組（2）中（1）若系數(shù)行列式D0，方程組只有零解（2）若系數(shù)行列式D=0則方程組（2）除有零解外，還有非零解（不證）例在三元一次齊次方程組中，a為何值時(shí)只有零解，a為何值時(shí)有非0解。答疑編號(hào)10010401：針對(duì)該題提問(wèn)解： =2a-6+3-4-（-9）-a=a+2（1）a-2時(shí)，D0,只有零解（2）a=-2時(shí) ，D=0 ，有非零解。 本章考核內(nèi)容小結(jié)（一）知道一階，二階，三階，n階行列式的定義知道余子式，代數(shù)余子式的定義（二）知道行列式按一行（列）的展開(kāi)公式（三）熟記行列式的性質(zhì)，會(huì)用展開(kāi)公式或?qū)⑿辛惺交癁槿切蔚姆椒ㄓ?jì)算行列式重點(diǎn)是三

21、階行列式的計(jì)算和各行（列）元素之和相同的行列式的計(jì)算（四）知道克拉默法則的條件和結(jié)論第二章 矩陣矩陣是線性代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本概念和數(shù)學(xué)工具，是研究和求解線性方程組的一個(gè)十分有效的工具；矩陣在數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)、工程技術(shù)中，以及經(jīng)濟(jì)研究和經(jīng)濟(jì)工作中處理線性經(jīng)濟(jì)模型時(shí)，也都是一個(gè)十分重要的工具。本章討論矩陣的加、減法，數(shù)乘，乘法，矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，矩陣的求逆，矩陣的初等變換，矩陣的秩和矩陣的分塊運(yùn)算等問(wèn)題。最后初步討論矩陣與線性方程組的問(wèn)題。2.1矩陣的概念定義2.1.1由m×n個(gè)數(shù)aij（i=1，2，m；j=1，2，n）排成一個(gè)m行n列的數(shù)表 用大小括號(hào)表示稱為一個(gè)m行n列矩陣。矩陣

22、的含義是，這m×n個(gè)數(shù)排成一個(gè)矩形陣列。其中aij稱為矩陣的第i行第j列元素（i=1，2，m；j=1，2，n），而i稱為行標(biāo)，j稱為列標(biāo)。第i行與第j列的變叉位置記為（i，j）。通常用大寫字母A，B，C等表示矩陣。有時(shí)為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n，也可記為A=（aij）m×n或（aij）m×n或Am×n當(dāng)m=n時(shí)，稱A=（aij）n×n為n階矩陣，或者稱為n階方陣。n階方陣是由n2個(gè)數(shù)排成一個(gè)正方形表，它不是一個(gè)數(shù)（行列式是一個(gè)數(shù)），它與n階行列式是兩個(gè)完全不同的概念。只有一階方陣才是一個(gè)數(shù)。一個(gè)n階方陣A中從左上角到右下角的這條對(duì)角線稱為A的

23、主對(duì)角線。n階方陣的主對(duì)角線上的元素a11，a22，ann，稱為此方陣的對(duì)角元。在本課程中，對(duì)于不是方陣的矩陣，我們不定義對(duì)角元。元素全為零的矩陣稱為零矩陣。用Om×n或者O（大寫字）表示。特別，當(dāng)m=1時(shí)，稱=（a1，a2，an）為n維行向量。它是1×n矩陣。當(dāng)n=1時(shí)，稱為m維列向量。它是m×1矩陣。向量是特殊的矩陣，而且它們是非常重要的特殊矩陣。例如，（a，b，c）是3維行向量，是3維列向量。幾種常用的特殊矩陣：1.n階對(duì)角矩陣形如或簡(jiǎn)寫為（那不是A，念“尖”） 的矩陣，稱為對(duì)角矩陣，對(duì)角矩陣必須是方陣。 例如，是一個(gè)三階對(duì)角矩陣，也可簡(jiǎn)寫為。2.

24、數(shù)量矩陣 當(dāng)對(duì)角矩陣的主對(duì)角線上的元素都相同時(shí)，稱它為數(shù)量矩陣。n階數(shù)量矩陣有如下形式：或。（標(biāo)了角標(biāo)的就是N階矩陣，沒(méi)標(biāo)就不知是多少的） 特別，當(dāng)a=1時(shí)，稱它為n階單位矩陣。n階單位矩陣記為En或In，即或在不會(huì)引起混淆時(shí)，也可以用E或I表示單位矩陣。n階數(shù)量矩陣常用aEn或aIn表示。其含義見(jiàn)2.2節(jié)中的數(shù)乘矩陣運(yùn)算。3.n階上三角矩陣與n階下三角矩陣形如的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣。 對(duì)角矩陣必須是方陣。一個(gè)方陣是對(duì)角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)它既是上三角矩陣，又是下三角矩陣。4.零矩陣 （可以是方陣也可以不是方陣）2.2矩陣運(yùn)算本節(jié)介紹矩陣的加法、減法、數(shù)乘、

25、乘法和轉(zhuǎn)置等基本運(yùn)算。只有在對(duì)矩陣定義了一些有理論意義和實(shí)際意義的運(yùn)算后，才能使它成為進(jìn)行理論研究和解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具。2.2.1矩陣的相等（同）設(shè)A=（aij）m×n，B=（bij）k×l，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，m；j=1，2，n，則稱矩陣A與矩陣B相等，記為A=B。由矩陣相等的定義可知，兩個(gè)矩陣相等指的是，它們的行數(shù)相同，列數(shù)也相同，而且兩個(gè)矩陣中處于相同位置（i，j）上的一對(duì)數(shù)都必須對(duì)應(yīng)相等。特別，A=（aij）m×n=Oaij=0，i=1，2，m；j=1，2，n。注意行列式相等與矩陣相等有本質(zhì)區(qū)別，例如因?yàn)閮蓚€(gè)矩陣中（1，2）位

26、置上的元素分別為0和2。但是卻有行列式等式 （因?yàn)樾辛惺绞菙?shù)，矩陣是表，表要求表里的每一個(gè)都一樣）2.2.2矩陣的加、減法定義2.2.2設(shè)A=（aij）m×n和B=（bij）m×n，是兩個(gè)m×n矩陣。由A與B的對(duì)應(yīng)元素相加所得到的一個(gè)m×n矩陣，稱為A與B的和，記為A+B，即A+B=（aij+ bij）m×n。即若則當(dāng)兩個(gè)矩陣A與B的行數(shù)與列數(shù)分別相等時(shí)，稱它們是同型矩陣。只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，它們才可相加。例如注意：（1）矩陣的加法與行列式的加法有重大區(qū)別例如 （階數(shù)相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一樣才可以相加

27、，方法是除了這兩個(gè)不同的行（列）相加外，其它的不變。）（2）階數(shù)大于1的方陣與數(shù)不能相加。（階數(shù)大于1它就是一個(gè)表，不是一個(gè)數(shù)了）若A=（aij）為n階方陣，n>1，a為一個(gè)數(shù)，則A+a無(wú)意義！但是n階方陣A=（aij）m×n與數(shù)量矩陣aEn可以相加： （把數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)量矩陣aEn就可以想加了） 由定義2.2.2知矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律： 設(shè)A，B，C都是m×n矩陣，O是m×n零矩陣，則（1）交換律A+B=B+A.（乘法沒(méi)有交換律）（2）結(jié)合律（A+B）+C=A+（B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律A+C=B+CA=B.2.

28、2.3數(shù)乘運(yùn)算（矩陣與數(shù)不能相加，但是可能想乘）定義2.2.3對(duì)于任意一個(gè)矩陣A=（aij）m×n和任意一個(gè)數(shù)k，規(guī)定k與A的乘積為kA=（kaij）m×n.（矩陣?yán)锏牡趥€(gè)原數(shù)都乘以數(shù)K）即若 則由定義2.2.3可知，數(shù)k與矩陣A的乘積只是A中的所有元素都要乘以k，而數(shù)k與行列式Dn的乘積只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，這兩種數(shù)乘運(yùn)算是截然不同的。根據(jù)數(shù)乘矩陣運(yùn)算的定義可以知道，數(shù)量矩陣aEn就是數(shù)a與單位矩陣En的乘積。 數(shù)乘運(yùn)算律（1）結(jié)合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l為任意實(shí)數(shù)。（2）分配律k（A+B）=kA+k

29、B，（k+l）A=kA+lA，k和l為任意實(shí)數(shù)。例1已知求2A-3B。答疑編號(hào)：10020101針對(duì)該題提問(wèn)解例2已知且A+2X=B，求X。答疑編號(hào)：10020102針對(duì)該題提問(wèn)解：（注意是乘以矩陣?yán)锏拿總€(gè)元素）2.2.4乘法運(yùn)算設(shè)矩陣A=（aij）m×k，B=（bij）k×n，令C=（cij）m×n是由下面的m×n個(gè)元素cij=ai1b1j+ai2b2j+aikbkj（i=1，2，m；j=1，2，n） 構(gòu)成的m行n列矩陣，稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積，記為C=AB。由此定義可以知道，兩個(gè)矩陣A=（aij）和B=（bij）可以相乘當(dāng)且僅當(dāng)A的

30、列數(shù)與B的行數(shù)相等。當(dāng)C=AB時(shí)，C的行數(shù)=A的行數(shù)，C的列數(shù)=B的列數(shù)。C的第i行第j列元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和。例3若且AB=C求矩陣C中第二行第一列中的元素C21答疑編號(hào)：10020103針對(duì)該題提問(wèn)解：C21等于左矩陣A中的第二行元素與右矩陣B中第一列元素對(duì)應(yīng)乘積之和C21=2×1+ 1×3+ 0×0=5 例4設(shè)矩陣（列 行）求AB。答疑編號(hào)：10020104針對(duì)該題提問(wèn)解：=這里矩陣A是3×3矩陣，而B(niǎo)是3×2矩陣，由于B的列數(shù)與A的行數(shù)不相等，所以BA沒(méi)有意義。例5求（1）A3E3（2）E3A3解

31、：（1）答疑編號(hào)：10020105針對(duì)該題提問(wèn)（2）答疑編號(hào)：10020106針對(duì)該題提問(wèn)由本例可見(jiàn)A3E3=E3A3=A3，并且可以推廣有它與代數(shù)中的1·a=a·1=a比較可見(jiàn)單位矩陣En在乘法中起單位的作用。例6設(shè)矩陣求AB和BA答疑編號(hào)：10020107針對(duì)該題提問(wèn)解：現(xiàn)在，我們對(duì)矩陣乘法與數(shù)的乘法作一比較。數(shù)的乘法有交換律，矩陣乘法沒(méi)有普遍交換律。（差別）例7設(shè) 求（1）AB（2）AC解（1）答疑編號(hào)：10020108針對(duì)該題提問(wèn)（2）答疑編號(hào)：10020109針對(duì)該題提問(wèn)可見(jiàn)AB=AC眾所周知，兩個(gè)數(shù)的乘積是可交換的：ab=ba，因而才有熟知的公式：（a+b）2=

32、a2+2ab+b2，a2-b2=（a+b）（a-b），（ab）k=akbk.兩個(gè)非零數(shù)的乘積不可能為零。因此，當(dāng)ab=0時(shí)，必有a=0或b=0。當(dāng)ab=ac成立時(shí)，只要a0，就可把a(bǔ)消去得到b=c。（這條只滿足數(shù)，不滿足矩陣） 由矩陣乘法及上述例6、例7可知：（1）單位矩陣與任意一個(gè)同階方陣的乘積必可交換：EnA=AEn=A（2）數(shù)量矩陣與任意一個(gè)同階方陣的乘積必可交換：（aEn）A=A（aEn）.（3）在一般情形下，矩陣的乘法不滿足交換律，即一般ABBA。（4）當(dāng)AB=O時(shí)，一般不能推出A=O或B=O。這說(shuō)明矩陣乘法不滿足消去律。（5）當(dāng)AB=AC時(shí)，一般不能推出B=C。（消去律）

33、若矩陣A與B滿足AB=BA，則稱A與B可交換。此時(shí)，A與B必為同階方陣。矩陣乘法不滿足消去律，并不是說(shuō)任意兩個(gè)方陣相乘時(shí)，每一個(gè)方陣都不能從矩陣等式的同側(cè)消去。在下一節(jié)中我們將會(huì)看到，被稱為可逆矩陣的方陣一定可以從矩陣等式的同側(cè)消去。例8設(shè)矩陣，求出所有與A可交換的矩陣。（即AB=BA）答疑編號(hào)：10020201針對(duì)該題提問(wèn)解因?yàn)榕cA可交換的矩陣必為二階矩陣，所以可設(shè)為與A可交換的矩陣，則由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得。（對(duì)角線必須一樣）例9解矩陣方程，X為二階矩陣。答疑編號(hào)：10020202針對(duì)該題提問(wèn)解 設(shè)。由題設(shè)條件可得矩陣等式：由矩陣相

34、等的定義得 （列出兩組方程式）解這兩個(gè)方程組可得x11=1，x21= -1，x12=1，x22=0。所以。  乘法運(yùn)算律（1）矩陣乘法結(jié)合律（AB）C=A（BC）。（不改變順序）（2）矩陣乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。（3）兩種乘法的結(jié)合律k（AB）=（kA）B=A（kB），k為任意實(shí)數(shù)。（4）EmAm×n=Am×n，Am×nEn=Am×n（其中Em，En分別為m階和n階單位矩陣）。矩陣乘法的結(jié)合律要用定義直接驗(yàn)證（證略），其他三條運(yùn)算律的正確性是顯然的。方陣的方冪設(shè)A為n階方陣，由于矩陣乘法滿足結(jié)合律，所以可以

35、不加括號(hào)而有完全確定的意義。 我們定義A的冪（或稱方冪）為由定義可知，n階方陣的方冪滿足下述規(guī)則：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l為任意正整數(shù)。例10用數(shù)學(xué)歸納法證明以下矩陣等式：（1）（2）。證（1）當(dāng)n=1時(shí)，矩陣等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，矩陣等式成立，即則知道，當(dāng)n=k+1時(shí)，矩陣等式也成立。所以對(duì)任意正整數(shù)n，此矩陣等式成立。答疑編號(hào)：10020203針對(duì)該題提問(wèn)（2）當(dāng)n=1時(shí)，矩陣等式顯然成立。假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，矩陣等式成立，即則知道，當(dāng)n=k+1時(shí)，矩陣等式也成立。所以對(duì)任意正整數(shù)n，此矩陣等式都成立。答疑編號(hào)：10020204針對(duì)該題提問(wèn)例11設(shè)n階方

36、陣A和B滿足，證明：（解B平方為多少）。答疑編號(hào)：10020205針對(duì)該題提問(wèn)證由可推出B=2A-En。再由B2=（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En （E等于1呀）證得例12前者是數(shù)，后者是n階方陣，兩者不相等，即ABBA.（行乘列為數(shù)，列乘行為N階方陣）答疑編號(hào)：10020206針對(duì)該題提問(wèn) 因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律，所以對(duì)于n階方陣A和B，有以下重要結(jié)論：（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。（3）當(dāng)AB=BA時(shí)必有（AB）k=AkB

37、k.（只有兩者兩等時(shí)成立）例如AB=BA時(shí)，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2但ABBA時(shí)，則上面結(jié)果不成立。例13設(shè)，則有答疑編號(hào)：10020207針對(duì)該題提問(wèn)因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足消去律，所以對(duì)于n階方陣A和B，有以下重要結(jié)論： （1）AB=O，AO不能推出B=O。例如時(shí)（兩個(gè)不等于零的方陣相乘或是一個(gè)數(shù)平方也可能等于零） （2）由A2=O不能推出A=O。例如則 （3）由AB=AC，AO不能推出B=C。例如時(shí)（同系數(shù)兩個(gè)數(shù)或是兩個(gè)數(shù)的平方相等）即AB=AC，但BC （4）由A2=B2不能推出A=&#

38、177;B。例如，取則2.2.5矩陣的轉(zhuǎn)置 設(shè)矩陣 把矩陣的行與列互換得到的n×m矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT或A，即 易見(jiàn)A與AT互為轉(zhuǎn)置矩陣。特別，n維行（列）向量的轉(zhuǎn)置矩陣為n維列（行）向量。例如，則若A=（a1，a2，an）則若則BT=（b1，b2，bn）例14如果已知A為l×n矩陣，BAT為r×l矩陣，證明：B為r×n矩陣。答疑編號(hào)：10020208針對(duì)該題提問(wèn)證設(shè)B為x行y列的矩陣則有BxxyATn×l=（BAT）x×l根據(jù)可乘條件有y=n根據(jù)積的形狀有x=r所以B為Br×n

39、例15求（1）AB（2）（AB）T（3）ATBT（4）BTAT解：（1）答疑編號(hào)：10020209針對(duì)該題提問(wèn)（2）答疑編號(hào)：10020210針對(duì)該題提問(wèn)（3）答疑編號(hào)：10020211針對(duì)該題提問(wèn)（4）答疑編號(hào)：10020212針對(duì)該題提問(wèn)由本例可見(jiàn)（AB）T=BTAT，這一結(jié)果有普遍性（不證） 轉(zhuǎn)置運(yùn)算律（1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT，k為實(shí)數(shù)。（4）（AB）T=BTAT，（A1A2An）T=AnTA n-1TA1T. 設(shè)A=（aij）為n階實(shí)方陣。若A滿足AT=A，也就是說(shuō)A中元素滿足： aij=aji，i，j=1

40、，2，n，則稱A為實(shí)對(duì)稱矩陣。若A滿足AT=-A，也就是說(shuō)A中元素滿足：aij=-aji，i，j=1，2，n，此時(shí)必有aii=0，i=1，2，n，則稱A為實(shí)反對(duì)稱矩陣。實(shí)矩陣指的是元素全為實(shí)數(shù)的矩陣，在本課程中，我們只討論實(shí)對(duì)稱矩陣和實(shí)反對(duì)稱矩陣，因此，往往省略一個(gè)“實(shí)”字。例如，都是對(duì)稱矩陣；都是反對(duì)稱矩陣。例16證明：任意一個(gè)實(shí)方陣A都可以惟一地表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。答疑編號(hào)：10020213針對(duì)該題提問(wèn)證：取則A=X+Y其中=XX是對(duì)稱陣。Y是反對(duì)稱陣。 （注）舉例證明了下面結(jié)論，對(duì)任意方陣A都有 （A+AT）是對(duì)稱陣（A-AT）是反對(duì)稱陣?yán)?7（1

41、）設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，證明：對(duì)于任意n階方陣P，PTAP必為對(duì)稱矩陣。（2）如果已知PTAP為n階對(duì)稱矩陣，問(wèn)A是否必為對(duì)稱矩陣？證（1）因?yàn)锳是對(duì)稱矩陣，必有AT=A（滿足這個(gè)條件），于是必有（PTAP）T=PTATP=PTAP 這說(shuō)明PTAP必為對(duì)稱矩陣。答疑編號(hào)：10020214針對(duì)該題提問(wèn)（2）反之，如果PTAP為n階對(duì)稱矩陣：（PTAP）T=PTAP，則有PTATP=PTAP，但是矩陣乘法不滿足消去律，在矩陣等式兩邊，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是對(duì)稱矩陣。答疑編號(hào)：10020215針對(duì)該題提問(wèn)2.2.6方陣的行列式 由n階方陣A的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的行列式稱

42、為方陣A的行列式，記作或det（A）。即，如果，則。例如，的行列式為。 注意（1）矩陣是一個(gè)數(shù)表，行列式是一個(gè)數(shù)，二者不能混淆，而且行列式記號(hào)“”與矩陣記號(hào)“（*）”也不同，不能用錯(cuò)。（2）矩陣的行數(shù)與列數(shù)未必相等，但行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等。（3）當(dāng)且僅當(dāng)為n階方陣時(shí)，才可取行列式。對(duì)于不是方陣的矩陣是不可以取行列式的。易見(jiàn)，上、下三角矩陣的行列式等于它的所有對(duì)角線元素的乘積。特別，。，例18 設(shè)且有。求答疑編號(hào)：10020301針對(duì)該題提問(wèn)解：所以由本例可見(jiàn)一般地應(yīng)有 方陣的行列式有如下性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k為數(shù)，則（1）；（2）；（3）。（行列式乘法規(guī)則）（1），（2）

43、的證明可由方陣行列式的定義及行列式性質(zhì)直接得到。（3）的證明從略。例19 設(shè)，則答疑編號(hào)：10020302針對(duì)該題提問(wèn)，。于是得，。例20 設(shè)A，B同為n階方陣。如果AB=O，則由答疑編號(hào)：10020303針對(duì)該題提問(wèn)知道，必有或。但未必有A=O或B=O。例21 證明：任意奇數(shù)階反對(duì)稱矩陣的行列式必為零。答疑編號(hào)：10020304針對(duì)該題提問(wèn)證：設(shè)A為2n-1階反對(duì)稱矩陣，則有。于是根據(jù)行列式性質(zhì)1和性質(zhì)2，得到，因?yàn)槭菙?shù)，所以必有。2.2.7方陣多項(xiàng)式 任意給定一個(gè)多項(xiàng)式和任意給定一個(gè)n階方陣A，都可以定義一個(gè)n階方陣，稱f（A）為A的方陣多項(xiàng)式。注意：在方陣多項(xiàng)式中，末項(xiàng)必須是數(shù)量矩陣而不

44、是常數(shù)。方陣多項(xiàng)式是以多項(xiàng)式形式表示的方陣。例22：設(shè)，求f（A）答疑編號(hào)：10020305針對(duì)該題提問(wèn)解：例23：若A=B-C，其中，。證明答疑編號(hào)：10020306針對(duì)該題提問(wèn)證：由 2.3方陣的逆矩陣我們知道，對(duì)于任意一個(gè)數(shù)a0，一定存在惟一的數(shù)b，使ab=ba=1，這個(gè)b就是a的倒數(shù)，常記為。而且a與b互為倒數(shù)。對(duì)于方陣A，我們可類似地定義它的逆矩陣。 設(shè)A是一個(gè)n階方陣。若存在一個(gè)n階方陣B，使得（其中是n階單位陣），（2.5）則稱A是可逆矩陣（或非奇異矩陣），并稱方陣B為A的逆矩陣。A的逆矩陣記為，即。若滿足（2.5）式的方陣B不存在，則稱A為不可逆矩陣（或奇異矩陣）。由逆矩陣的定

45、義可見(jiàn)若B是A的逆矩陣。則反過(guò)來(lái)A也是B的逆矩陣。即若，則有  可逆矩陣的基本性質(zhì)設(shè)A，B為同階的可逆方陣，常數(shù)k0，則（1）為可逆矩陣，且（2）（3）證推廣有  （4）證  （5）證  （6）（7）若A可逆且AB=AC，則有消去律B=C證：如何判定一個(gè)給定方陣是否可逆呢？為了回答這個(gè)問(wèn)題，我們先給出下面的概念。定義2.3.2設(shè)，為的元素的代數(shù)余子式（i,j=1,2,n），則矩陣稱為A的伴隨矩陣，記為。 由伴隨矩陣的定義可以看出，在構(gòu)造A的伴隨矩陣時(shí)，必須放在中的第j行第i列的交叉位置上，也就是說(shuō)，的第i行元素的代數(shù)余子式，構(gòu)成的第i列元素。由1.4節(jié)中

46、的定理1.4.1可得 ，即（2.7）類似可得（2.8）現(xiàn)在我們來(lái)證明下面的重要定理。這個(gè)定理給出了判定一個(gè)n階方陣是否可逆的一個(gè)充要條件，以及方陣可逆時(shí)，求出其逆矩陣的一個(gè)方法。 n階方陣A為可逆矩陣。證：必要性 設(shè)A是n階可逆矩陣，則存在n階方陣B，使。由方陣乘積的行列式法則，可得，于是必有。充分性 設(shè)為n階方陣且，構(gòu)造如下n階方陣：。則由（2.9）式可得矩陣等式，由矩陣可逆的定義可知A是可逆矩陣，而且還得到了求逆矩陣公式  推論：設(shè)A，B均為n階矩陣，并且滿足，則A，B都可逆，且，。證：由，可得，因此且，故由定理知A可逆，B也可逆。在兩邊左乘，得，在兩邊右乘，得，這個(gè)推論表明，以

47、后我們驗(yàn)證一個(gè)矩陣是另一個(gè)矩陣的逆矩陣時(shí)，只需要證明一個(gè)等式或成立即可，而用不著按定義同時(shí)驗(yàn)證兩個(gè)等式。例1 若，求答疑編號(hào)：10020401針對(duì)該題提問(wèn)解：例如：解：例2 設(shè)，當(dāng)a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，矩陣A是可逆矩陣？當(dāng)A是可逆矩陣時(shí)，求出。答疑編號(hào)：10020402針對(duì)該題提問(wèn)解：A可逆。當(dāng)A可逆時(shí)，例1，例2的結(jié)果可以作為求二階方陣的逆矩陣或伴隨矩陣的公式例如，例3 判斷矩陣是否可逆，求出它的逆矩陣。答疑編號(hào)：10020403針對(duì)該題提問(wèn)解（1）由于故矩陣A可逆。（2）逐個(gè)求出代數(shù)余子式和伴隨矩陣：，；。于是。由上例可以看出，當(dāng)n3時(shí)，用伴隨矩陣求逆矩陣計(jì)算量是很大的，特別是當(dāng)n

48、4時(shí)不宜用伴隨矩陣來(lái)求逆矩陣。例4 設(shè)A為n階方陣，則。答疑編號(hào)：10020404針對(duì)該題提問(wèn)證：由知道。當(dāng)時(shí)，顯然有。例5 若。求A的逆矩陣和A+E的逆矩陣。答疑編號(hào)：10020405針對(duì)該題提問(wèn)解：（1） （2）例6 設(shè)A是3階方陣且，求（1）（2）（3）（4）答疑編號(hào)：10020406針對(duì)該題提問(wèn)解：（1）（2）（3）（4）2.4分塊矩陣分塊矩陣?yán)碚撌蔷仃嚴(yán)碚撝械闹匾M成部分，在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)會(huì)遇到行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了表示方便和運(yùn)算簡(jiǎn)潔，常對(duì)矩陣采用分塊的方法，即用一些貫穿于矩陣的橫線和縱線把矩陣分割成若干小塊，每個(gè)小塊叫做矩陣的子塊（子矩陣），以子塊為元素的形式的的矩陣叫分塊矩陣。例如，設(shè)，令，則A的一個(gè)分塊矩陣為這樣A可以看成由4個(gè)子矩陣（子塊）為元素組成的矩陣，它是一個(gè)分塊矩陣。分塊矩陣的每一行稱為一個(gè)塊行，每一列稱為一個(gè)塊列。上述分塊矩陣中有兩個(gè)塊行、兩個(gè)塊列。  m×n矩陣的分塊矩陣的一般形式為對(duì)于同一個(gè)矩陣可有不同的分塊法。采用不同的分塊方法得到的是不同的分塊矩陣。對(duì)于任意一個(gè)m×n矩陣，常采用以下兩種特殊的分塊方法：行向量表示法，其中，i=1，2，m；列向量表示法，其中，j=1，2，n。前者也稱為將A按行分塊，