線性代數(shù)教材答案

1、第二章習(xí)題2-24. 求出代數(shù)式中的非零項，一般項為，只有當(dāng)時，所以。 ，對一般項只有當(dāng)或者或者或者時，所以=-+- .找非零項。當(dāng)時，假設(shè)，則，則，即，同理可以得到其他情況也是一樣的，即不可能同時非零，所以行列式的所有項均為0 ，即行列式的值為0.習(xí)題2-31利用行列式性質(zhì)，計算下列行列式：(1)； (2)；(3)； (4)2證明：(1)（2）（3）轉(zhuǎn)置后得，所以當(dāng)為奇數(shù)時，3. 設(shè)四階行列式，請分別按第4行和第4列展開的方法計算該行列式的值按第4行展開按第4行展開略。習(xí)題2-41. 利用化三角形法計算下列行列式：(1)(2)(3) (4) (5)從第二行開始后面隔行減去第一行得將第三行逐漸

2、與上一行交換直至到第一行，然后將第三列與第二列交換，得：從第三列開始均減去第二列得2用降階法計算下列行列式：(1) (2) (3)(4) (5) 從第二行開始均減去最后一行得(6)3選擇適當(dāng)方法，計算下列行列式：(1)；(2)(3)(4)為范德蒙行列式，則(5)從最后一列開始，將后一列的倍加到前一列上去得：(6)按第一行展開均按最后一列展開得：，由此可以得到：4證明：=1；證：從最后一行開始后一行減去前一行得第三章習(xí)題3-21.設(shè)求(1) (2) (3)(4).解：2. 設(shè),為3階矩陣,且,求.解：3. 設(shè)為階方陣,且,證明.證：所以。4. 設(shè),為階方陣,且為對稱矩陣,證明也是對稱矩陣.解：為

3、對稱矩陣，所以，則所以也是對稱矩陣。5. 設(shè),為對稱陣,試證為對稱矩陣,為反對稱陣.證：,為對稱陣，所以，則所以為對稱矩陣,為反對稱陣.6. 設(shè),求.解：設(shè)，可交換，所以，所以7.略8.設(shè)是實對稱矩陣，且,證明.證：設(shè)，因為是實對稱矩陣，所以；令，而，所以，的主對角線元素也為0，即，而，所以，即。9.略習(xí)題3-31.略2解下列矩陣方程:(1)； (2)；(3)； (4)3利用逆矩陣解下列線性方程組:(1) (2)4設(shè)為階方陣,且,證明與均可逆,并求及.證：而，則所以與均可逆，且，。5設(shè)為5階方陣,且,求.解：6設(shè)階矩陣滿足,是正整數(shù),試證可逆,且.證：，所以可逆,且.7證明:如果,而,則必為奇

4、異矩陣.證：，假設(shè)為可逆矩陣，則，這與矛盾，所以必為奇異矩陣.8設(shè),其中,求.解：，所以9已知為4階方陣,且,求.解：10略。習(xí)題3-41 計算解：令則所以2 設(shè)矩陣，求解：，所以3.略4.設(shè)是矩陣,是矩陣,是矩陣,證明: 的充分必要條件是的每一列都是齊次線性方程組的解.證：令，則則 即的充分必要條件是的每一列都是齊次線性方程組的解.習(xí)題3-51 求下列矩陣的逆矩陣:，所以 （2）（3）（4）略2 利用初等變換求解下列矩陣方程:解：，所以，所以（3）（4）略3 設(shè),求.解：，所以。4 設(shè)是4階可逆方陣,將的第二行和第三行對換得到的矩陣記為.證明可逆,并求.證：，均可逆，所以可逆。，所以習(xí)題3-

5、64設(shè)都是矩陣，證明的充分必要條件是證明：若，則顯然；若，設(shè)，由都是矩陣，則有相同等價標準形矩陣。由等價的傳遞性，有。5設(shè),問為何值時,可使； ； .解，當(dāng)時，即。當(dāng)時，即時，必有，所以當(dāng)時，即時，；當(dāng)，即時，。6設(shè)是階方陣,若存在階方陣,使,證明.證：假設(shè)，則A可逆，又，則，這與已知矛盾，所以。7已知,若,求的值.解：，8確定參數(shù)，使矩陣的秩最小當(dāng)時秩最小，即時秩最小，最小為2. 第四章習(xí)題4-13判斷下列方程組是否有解? 如有解，求出其解：(1)，所以，無解。 (2)所以，有無窮多解。進一步進行初等行變換所以，令得通解為(3)所以，有唯一解。進一步進行初等行變換所以4a取何值時， 方程組

6、有解？ 有解時求出其解解： 當(dāng)時， ，有無窮多解，此時，令，得通解為當(dāng)時， ，有唯一解。此時：所以。5設(shè)有線性方程組，證明：若兩兩互不相等，則此線性方程組無解解：增廣矩陣的行列式為范德蒙行列式，當(dāng)兩兩互不相等時，此行列式不等于零，所以增廣矩陣的秩為4，而系數(shù)矩陣的秩顯然小于4，所以線性方程組無解。6求解下列齊次線性方程組：(1)；解：所以，通解為： (2)略7略。 習(xí)題4-21略2證明：向量是向量組的線性組合，并將用表示出來證：令，則，所以是向量組的線性組合，且34.略5若，且可由向量組線性表示，求解：令，則，顯然，當(dāng)時，總有。習(xí)題4-31判斷下列向量組的線性相關(guān)性：(1)；解：向量維數(shù)小于向

7、量個數(shù)，必相關(guān) 。(2)；解：，所以線性無關(guān)。(3)；解：令，則，此行列式為范德蒙行列式，且不等于0，所以向量組線性無關(guān)。(4)解：向量（3）線性無關(guān)，向量組（4）是在（3）的基礎(chǔ)上同事增加第5個分量，所以向量組（4）也線性無關(guān)。2判斷下列命題是否正確，為什么？(1)若向量組是線性相關(guān)的，則一定可以由線性表示；錯，只能說其中至少有一個向量可以由其余向量線性表示，不一定是。(2)如果存在不全為零的數(shù)，使得 ，則向量組線性無關(guān); 錯。只要不全為零向量，都可以找到不全為零的數(shù)，使得。(3)向量組線性無關(guān)，則對任意不全為零的數(shù)，都有對。若不全為零的數(shù)，使得，則向量組線性相關(guān)。所以對任意不全為零的數(shù)，都

8、有3問為何值時，下列向量組線性相關(guān)？（1）；，向量組線性相關(guān)，則。（2）向量組線性相關(guān)，所以或者。4求出線性相關(guān)的充分必要條件向量組線性相關(guān)。5設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)，證明：(1) 能由線性表示;(2)不能由線性表示證：（1）線性無關(guān)，則線性無關(guān)，又向量組線性相關(guān)，則可由線性表示。（2）假設(shè)能由線性表示，又能由線性表示，則能由線性表示，即線性相關(guān)，這與線性無關(guān)矛盾。6設(shè)，且向量組線性無關(guān)，證明：向量組也線性無關(guān)證：因為組線性無關(guān)，所以令，則；令，所以可逆，則，所以向量組也線性無關(guān)7設(shè)，證明：線性相關(guān)，所以線性相關(guān)8設(shè)向量組線性無關(guān)，問以下向量組是否線性無關(guān)：（1）；（2）；（3）；（

9、4）解：令，則（1），所以可逆，則，即向量組（1）線性無關(guān)。（2），所以向量組（2）線性相關(guān)。（3），所以可逆，則，即向量組（3）線性無關(guān)。（4）齊次線性方程組，而，所以齊次線性方程組有非零解，即齊次線性方程組有非零解，所以向量組線性相關(guān)。（得一組解為：所以，即向量組線性相關(guān)。）習(xí)題4-41設(shè)矩陣 求矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把其余向量用這個最大無關(guān)組線性表示解：令，則所以矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組為，且。2求下列向量組的秩和一個最大無關(guān)組，并用其余向量用這個最大無關(guān)組線性表示：(1)；解：令所以向量組的秩為2，一個最大無關(guān)組為且(2)略3已知向量組線性相關(guān)，線性無關(guān)，求向量組的秩

10、解： 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，又 線性無關(guān)，所以可由線性表示，所以是向量組的一個最大無關(guān)組，所以向量組的秩為34證明：如果維單位坐標向量組可以由維向量組線性表示，則線性無關(guān)證：如果維單位坐標向量組可以由維向量組線性表示,又因為維向量組必然可以由線性表示，則兩個向量組等價，所以.所以向量組線性無關(guān)。5是一組維向量，證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是任一維向量組都可以由它們線性表示證：充分性：任一維向量組都可以由線性表示，則維單位坐標向量組也可以由線性表示，由上題可得線性無關(guān)。必要性：線性無關(guān)，則，又因為必然可以由維單位坐標向量組線性表示，則，所以即與等價。由于任一維向量組都可以由線性表示，由傳遞性可

11、以得到任一維向量組都可以由線性表示。6設(shè)是一個維向量組，其秩為；是另一組維向量組，其秩為設(shè)的秩為； 證明證：因為和均可由線性表示，所以和的秩不超過的秩，即；設(shè)和的最大無關(guān)組分別為：和，則由于中的任一向量可由線性表示，中的任一向量可由線性表示，則可由，線性表示，則7設(shè)向量組能由向量組線性表示為，其中為矩陣，且線性無關(guān)，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是證：令，則線性無關(guān)齊次線性方程組只有零解只有零解；因為線性無關(guān)，所以只有零解。習(xí)題4-51齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是( C )A系數(shù)矩陣的任意兩個列向量線性無關(guān)；B系數(shù)矩陣的任意兩個列向量線性相關(guān)；C系數(shù)矩陣中必有一個列向量是其余列向量的線

12、性組合；D系數(shù)矩陣的任一個列向量必是其余列向量的線性組解：齊次線性方程組有非零解A的列向量組線性相關(guān)中必有一個列向量是其余列向量的線性組合；2求下列齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系與通解：(1); 解：所以：，分別令和得基礎(chǔ)解系為：，通解為：(為任意常數(shù))；(2) (3)略3證明(提示：證明方程組和同解)證：設(shè)為矩陣，為維列向量，若方程組，則，即方程組的解是方程組的解；反過來，若，則，所以方程組和同解，所以。4已知階方陣的每行的元素之和為零，且，求方程組的通解解：階方陣的每行的元素之和為零，所以，又，所以方程組的基礎(chǔ)解系只有一個線性無關(guān)的解向量，顯然向量就是其一個基礎(chǔ)解系，所以通解為：(為任意常數(shù)

13、)。5求出一個齊次線性方程組， 使它的基礎(chǔ)解系由下列向量組成：解：設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，則所以的每一列均為齊次線性方程組的解。求解齊次線性方程組得基礎(chǔ)解系，所以令，齊次線性方程組為：。6求下列方程組的通解，并寫出它的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：(1); 解： 所以，令得特解,對應(yīng)的導(dǎo)出組為：，令，得基礎(chǔ)解系，所以通解為：(為任意常數(shù))；(2)略。7設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2， 已經(jīng)它的三個解向量為 其中，求該方程組的通解解：四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為2，所以四元齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有兩個線性無關(guān)的解向量。為的解，所以，是齊次線性方程組的解。，而線性無關(guān)，所以是齊次

14、線性方程組的基礎(chǔ)解系，則非齊次線性方程組的通解為：8設(shè)是非齊次線性方程組的一個解，是其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，證明：(1)線性無關(guān)；(2) 線性無關(guān)證：（1）因為是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，所以線性無關(guān)，假設(shè)，線性相關(guān)，則可由線性表示，則也是齊次線性方程組的解，這與是非齊次線性方程組的的一個解矛盾，所以，線性無關(guān)。（2）設(shè)，即由上可知，線性無關(guān)，所以所以線性無關(guān)。第五章習(xí)題5-21 2略。3求n階數(shù)量矩陣的特征值與特征向量解：所以因為，所以的解為：4略 5設(shè)3階矩陣的特征值為, 求解：3階矩陣的特征值為，所以設(shè)，則所以6設(shè)有四階方陣滿足條件求的一個特征值解：得A的一個特征值為，則的一個特征值 習(xí)題5

15、-31設(shè) ，證明：A與B的特征多項式均為 且A與B不相似 證：所以A與B的特征多項式均為對矩陣B，將特征值代入齊次線性方程組，特征值為，所以B不能對角化，則A與B不相似 2判斷矩陣能否化為對角陣解：，所以解齊次線性方程組，所以可以化為對角陣。3設(shè)矩陣可相似對角化，求解：因為矩陣可相似對角化，所以，所以。4對下列矩陣，求可逆矩陣，使得為對角陣.(1) ; 解：，所以對應(yīng)于特征值-1的特征向量為，分別令，得對應(yīng)于特征值1的線性無關(guān)的特征向量為：所以令，有。(2) 略。5設(shè) , 求.解：，所以對應(yīng)于特征值-1的特征向量為，所以對應(yīng)于特征值1的特征向量為所以對應(yīng)于特征值21的特征向量為令則6略。7設(shè)三

16、階的特征值為1，0，-1，對應(yīng)的特征向量依次為， ，求及解：令，則，所以8設(shè)A,B都是階方陣，且，證明與相似.證：，所以A可逆，則，所以與相似。習(xí)題5-41設(shè)實對稱矩陣 求正交矩陣P, 使為對角矩陣解：對， 所以對于特征值-1的特征向量為，單位化為；對， 所以對于特征值2的特征向量為，單位化為；對， 所以對于特征值5的特征向量為，單位化為；令，則為正交矩陣，且2設(shè)有對稱矩陣 試求出正交矩陣P, 使為對角陣解：對， 所以對于特征值4的線性無關(guān)的特征向量為，顯然 已經(jīng)正交，故不必正交化，則單位化為：對， 所以對于特征值2的特征向量為，單位化為，所以令為正交矩陣，且。3已知矩陣(其中)有一個特征值為

17、1, 求正交矩陣使得為對角矩陣解：因為矩陣有一個特征值為1，所以，又，所以；則對， 所以對于特征值2的特征向量為；對， 所以對于特征值1的特征向量為，單位化為對， 所以對于特征值5的特征向量為，單位化為；所以令為正交矩陣，且。4設(shè)n階實對稱矩陣A滿足,且A的秩為, 試求行列式的值解：n階實對稱矩陣A必可以對角化，設(shè)n階實對稱矩陣A有特征值，則有特征值，又，所以或1；因為A的秩為，所以，則為A的重特征值，1為A的重特征值，即存在可逆矩陣,使得，所以，則5判斷下列兩矩陣A,B是否相似解：為實對稱矩陣，必然可以對角化， 所以相似于對角矩陣對，所以B可以對角化，即B也相似于對角矩陣，則A,B相似。6設(shè)

18、方陣與相似，求解：與相似，則與有相同的特征值，所以與有相同的跡和行列式，；所以7已知三階對稱矩陣的特征值為6，3，3，且是的屬于特征值的特征向量，求解：三階對稱矩陣的特征值為6，3，3，所以對應(yīng)于的二重特征值3的特征向量與正交。設(shè)為，則求出基礎(chǔ)解系為：，令，則8設(shè)三階對稱矩陣的特征值為1，-1，0，而和的的特征向量分別是，求解：正交，所以或1；當(dāng)時，對應(yīng)于和的特征向量分別是對應(yīng)于特征值0的特征向量設(shè)為，則，所以對應(yīng)于特征值0的特征向量設(shè)為，令，則當(dāng)時，對應(yīng)于和的特征向量分別是對應(yīng)于特征值0的特征向量設(shè)為，則，所以對應(yīng)于特征值0的特征向量設(shè)為，令，則第六章習(xí)題6-11寫出下列二次型的矩陣.(1)

19、 ；解：(2)；解：(3)；解：(4)；解： 所以：(5)；解：(6).解：所以：2寫出下列各對稱矩陣所對應(yīng)的二次型，并求出二次型的秩.(1) 解：，所以二次型的秩為3.(2)略.3已知二次型的秩是2，求的值.解:二次型的矩陣為： ，則4設(shè)，作滿秩變換，求新二次型.解：二次型的矩陣為：，所以新二次型的矩陣為：，所以新二次型為：。5證明：對稱矩陣只能與對稱矩陣合同.證：設(shè)為對稱矩陣，且與合同，即存在可逆矩陣C，使得，而，所以B也為對稱矩陣。6設(shè)、為階可逆矩陣，且，試證明：.證：與合同，即存在可逆矩陣C，使得，所以，所以與合同。習(xí)題6-21用正交變換法將二次型化為標準形，并寫出所作的滿秩線性變換矩陣.(1)解：，將特征值分別代入齊次線性方程組，分別得到基礎(chǔ)解系為： ，單位化為，；令為所求正交變換的矩陣，做正交變換，即，使得(2)解：對 所以對于特征值4的線性無關(guān)的特征向量為，顯然 已經(jīng)正交，故不必正交化，則單位化為：對