《171勾股定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、 17 1 勾股定理課標(biāo)要求課標(biāo)對(duì) 17.1 勾股定理一節(jié)的相關(guān)內(nèi)容提出的教學(xué)要求是：探索勾股定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 171勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)（第1 課時(shí)）湖北省赤壁市教研室來(lái)小靜一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容勾股定理的探究、證明及簡(jiǎn)單應(yīng)用2內(nèi)容解析勾股定理的內(nèi)容是：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，那么它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系 在直角三角形中， 已知任意兩邊長(zhǎng)，就可以求出第三邊長(zhǎng)勾股定理常用來(lái)求解線段長(zhǎng)度或距離問(wèn)題勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)， 到網(wǎng)格中的直角三角形， 再到一般的直角三角形， 體現(xiàn)了從特殊到一般的探探索、 發(fā)現(xiàn)和證明的過(guò)

2、程 證明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補(bǔ)法求以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積， 教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲得定理的證明我國(guó)古代在數(shù)學(xué)方面又許多杰出的研究成果，對(duì)于勾股定理的研究就是一個(gè)突出的例子教學(xué)中可以介紹我國(guó)古代在勾股定理的證明和應(yīng)用方面取得的成就和作出的貢獻(xiàn)， 以培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感；圍繞證明勾股定理的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和信心基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：探索并證明勾股定理二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1教學(xué)目標(biāo)（ 1）經(jīng)歷勾股定理的探究過(guò)程了解關(guān)于勾股定理的文化歷史背景，通過(guò)對(duì)我國(guó)古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感（ 2）能用勾股定理解決一

3、些簡(jiǎn)單問(wèn)題2目標(biāo)解析（1）學(xué)生通過(guò)觀察直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)的正方形面積之間的關(guān)系，歸納并合理地用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示勾股定理的結(jié)論理解趙爽弦圖的意義及其證明勾股定理的思路，能通過(guò)割補(bǔ)法構(gòu)造圖形證明勾股定理了解勾股定理相關(guān)的史料，知道我國(guó)古代在研究勾股定理上的杰出成就（ 2）學(xué)生能運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，關(guān)鍵是已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)能求第三條邊的長(zhǎng)度三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的一個(gè)特殊的結(jié)論在正方形網(wǎng)格中比較容易發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積關(guān)系，進(jìn)而得出三邊之間的關(guān)系但要從等腰直角三角形過(guò)渡到網(wǎng)格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，學(xué)生有較大困難學(xué)生第一次

4、嘗試用構(gòu)造圖形的方法來(lái)證明定理存在較大的困難， 解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要想到用合理的割補(bǔ)方法求以斜邊為邊的正方形的面積 因此，在教學(xué)中需要先引導(dǎo)學(xué)生觀察網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系， 然后思考沒(méi)有網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系， 再將這種關(guān)系表示成邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，這有利于學(xué)生自然合理地發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：勾股定理的探究和證明四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1 創(chuàng)設(shè)情境復(fù)習(xí)引入國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)是最高水平的全球性數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)術(shù)會(huì)議，被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的“奧運(yùn)會(huì)” 2002 年在北京召開(kāi)了第24 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)右圖就是大會(huì)會(huì)徽的圖案你見(jiàn)過(guò)這個(gè)圖案嗎？它由哪些我們學(xué)過(guò)的基本圖形組成？這個(gè)圖案有什么特別的意義？前面我

5、們學(xué)習(xí)了有關(guān)三角形的知識(shí)，我們知道，三角形有三個(gè)角和三條邊問(wèn)題 1三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系明確嗎？三條邊的數(shù)量關(guān)系明確嗎？師生活動(dòng)教師引導(dǎo)，學(xué)生回答?！驹O(shè)計(jì)意圖】回顧三角形的內(nèi)角和是180°以及三角形任何兩邊的和大于第三邊，由三角形三邊的不等關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生思考，三角形三邊之間是否存在等量關(guān)系我們學(xué)習(xí)過(guò)等腰三角形，知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形，它有許多特殊的性質(zhì) 研究特例是數(shù)學(xué)研究的一個(gè)方向，直角三角形是有一個(gè)角為直角的特殊三角形，中國(guó)古代人把直角三角形中較短的直角邊叫做“勾” ，較長(zhǎng)的直角邊叫做 “股”，斜邊叫做 “弦” 直角三角形中最長(zhǎng)的邊是哪條邊？為什么？它們除了大小關(guān)系，有沒(méi)有

6、更具體的數(shù)量關(guān)系呢？這就是我們要研究的問(wèn)題2觀察思考，探究定理問(wèn)題 2相傳 2500 多年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系三個(gè)正方形A ，B，C 的面積有什么關(guān)系？畢達(dá)哥拉斯 ( 公元前 572- 前 492 年 ), 古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。師生活動(dòng)學(xué)生觀察圖形， 分析、思考其中隱含的規(guī)律通過(guò)直接數(shù)等腰直角三角形的個(gè)數(shù)， 或者用割補(bǔ)的方法將小正方形A ，B 中的等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)大正方形，得出結(jié)論：小正方形A ，B 的面積之和等于大正方形C 的面積追問(wèn)由這三個(gè)正方形A， B， C 的邊長(zhǎng)構(gòu)成的等腰直角三角形三條

7、邊長(zhǎng)之間有怎樣的特殊關(guān)系？師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方，歸納出： 等腰直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方【設(shè)計(jì)意圖】 從最特殊的直角三角形入手，通過(guò)觀察正方形面積關(guān)系得到三邊關(guān)系，對(duì)等腰直角三問(wèn)題 3在網(wǎng)格中的一般的直角三角形，以它的三邊為邊長(zhǎng)的三個(gè)正方形A ， B ， C師生活動(dòng)學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，分別求出A ， B ，C 的面積并尋求它們之間的關(guān)系追問(wèn)正方形 A ， B ，C 所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的關(guān)系？師生活動(dòng)學(xué)生獨(dú)立思考后分組討論，難點(diǎn)是求以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積，可由師生共同總結(jié)得出可以通過(guò)割、補(bǔ)兩種方法求出其面積，教師在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上歸納方

8、法-割補(bǔ)法 可求得 C 的面積為13，教師引導(dǎo)學(xué)生直接由正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方歸納出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方【設(shè)計(jì)意圖】 為方便計(jì)算， 網(wǎng)格中的直角三角形邊長(zhǎng)通常設(shè)定為整數(shù)，進(jìn)一步體會(huì)面積割補(bǔ)法，為探究無(wú)網(wǎng)格背景下直角三角形三邊關(guān)系打下基礎(chǔ)，提供方法問(wèn)題 4通過(guò)前面的探究活動(dòng)，思考：直角三角形三邊之間應(yīng)該有什么關(guān)系？師生活動(dòng)教師引導(dǎo)學(xué)生表述：如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么【設(shè)計(jì)意圖】在網(wǎng)格背景下通過(guò)觀察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三邊關(guān)系后，猜想直角三角形的三邊關(guān)系是很容易的問(wèn)題5以上直角三角形的邊長(zhǎng)都是具體的數(shù)值，一般情況下， 如果直

9、角三角形的兩直角邊分別為a， b，斜邊長(zhǎng)為c，我們的猜想仍然成立嗎？師生活動(dòng)要求學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，用a， b表示c如圖，用“割”的方法可得；用“補(bǔ)”的方法可得這兩個(gè)式子經(jīng)過(guò)整理都可以得到即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方中國(guó)人稱它為“勾股定理”，外國(guó)人稱它為“畢達(dá)哥拉斯定理”【設(shè)計(jì)意圖】從網(wǎng)格驗(yàn)證到脫離網(wǎng)格，通過(guò)割補(bǔ)構(gòu)造圖形和計(jì)算推導(dǎo)出一般結(jié)論問(wèn)題 6歷史上各國(guó)對(duì)勾股定理都有研究，下面我們看看我國(guó)古代的數(shù)學(xué)家趙爽對(duì)勾股定理的研究，并通過(guò)小組合作完成教科書拼圖法證明勾股定理師生活動(dòng)教師展示“弦圖”，并介紹：這個(gè)圖案是公元3 世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽在注解周髀算經(jīng)時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”

10、，趙爽根據(jù)此圖指出：四個(gè)全等的直角三角形（朱實(shí)）可以如圖圍成一個(gè)大正方形，中間部分是一個(gè)小正方形（黃實(shí)）我們剛才用割的方法證明使用的就是這個(gè)圖形，教師介紹勾股定理相關(guān)史料，勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)有 400 多種，有興趣的同學(xué)可以搜集研究一下【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)拼圖活動(dòng)， 調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，為學(xué)生提供從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，發(fā)展學(xué)生的形象思維，使學(xué)生對(duì)定理的理解更加深刻，體會(huì)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的思想通過(guò)對(duì)趙爽弦圖的介紹， 了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明所做出的貢獻(xiàn)，增強(qiáng)民族自豪感，通過(guò)了解勾股定理的證明方法，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心3初步應(yīng)用，鞏固新知例1畫一個(gè)直角三角形，它的兩直角邊分別是

11、，量一量它的斜邊是多少厘米？算一算，你量的結(jié)果對(duì)嗎？師生活動(dòng)學(xué)生操作，教師個(gè)別指導(dǎo)【設(shè)計(jì)意圖】 通過(guò)運(yùn)算， 培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力并正確運(yùn)用勾股定理解決直角三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題通過(guò)測(cè)量進(jìn)一步驗(yàn)證勾股定理所得結(jié)論的正確性例 2 在直角三角形中，各邊的長(zhǎng)如圖，求出未知邊的長(zhǎng)度師生活動(dòng)學(xué)生計(jì)算，教師檢驗(yàn)【設(shè)計(jì)意圖】勾股定理是通過(guò)構(gòu)造圖形法通過(guò)面積關(guān)系進(jìn)行證明的所以勾股定理本質(zhì)上是反映面積關(guān)系的如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么通過(guò)對(duì)等式變形，可以得出直角三角形三邊之間的關(guān)系：；在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，應(yīng)用勾股定理求解，也可建立方程解決問(wèn)題，滲透方程思想例 3 螞蟻沿圖中的折線從A 點(diǎn)爬到 D 點(diǎn)，一共爬了多少厘米？師生活動(dòng)學(xué)生觀察、思考、計(jì)算，教師檢驗(yàn)【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)實(shí)際問(wèn)題背景，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力4歸納小結(jié)，反思提高師生共同回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：（ 1）勾股定理總結(jié)的是什么數(shù)量關(guān)系？（ 2）勾股定理有什么作用？（ 3）閱讀教科書，總結(jié)教科書提供的勾股定理的其他證明方法了解中國(guó)人的偉大和外國(guó)人的智慧【設(shè)計(jì)意圖】 讓學(xué)生從不同角度談本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受到中國(guó)數(shù)學(xué)文化博大精深和數(shù)學(xué)的美，感悟數(shù)形結(jié)合的思想，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信5布置作業(yè)（ 1）教科書第 28 頁(yè)