空間向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)空間向量復(fù)習(xí)空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、基本概念 :1、空間向量：2、相反向量：3、相等向量4、共線向量：5、共面向量6、方向向量 :7、法向量8、空間向量基本定理：二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：1. 向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算 rr設(shè) a(a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)則ra b (a1 b1,a2 b2,a3 b3) ； rra b a1b1 a2b2 a3b3；rr(1) ab (a1 b1,a2 b2,a3 b3)； (2)(3) ar ( a1, a2, a3) ( R)； (4)2.設(shè) A(x1, y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則uuur uuur uu

2、urAB OB OA= (x2 x1,y2 y1,z2 z1) .3、設(shè) a( x1, y1, z1) ， b(x2, y2,z2) ，則aPb a b(b0)；abx1x2 y1y2 z1z2 0.4. 夾角公式 rr設(shè) a(a1,a2,a3)，b (b1,b2,b3)，則 cosb a b a2a22a15異面直線所成角cos|cos a,b|= |ra br|a| |b|x1x2 y1y2 z1z2 |2 2 2 2 y1 z1x2 y26平面外一點(diǎn) p 到平面 的距離r已知 AB 為平面 的一條斜線， n為平面 的一個(gè)法uuur r向量， A到平面 的距離為： d |ABr?n|n|2

3、 z2n高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)空間向量復(fù)習(xí)空間向量與立體幾何練習(xí)題一、選擇題1. 如圖，棱長為 2的正方體 ABCD A1B1C1D1 在空間直角坐標(biāo)D1C1uuur系中，若 E,F分別是 BC , DD1中點(diǎn)，則 EF 的坐標(biāo)為（ ）A. (1,2, 1) B. ( 1,2, 1)C. ( 1, 2,1) D. (1, 2, 1)FAB2如圖， ABCD A1B1C1D1是正方體， B1E1D1F1 1 1 ，則 BE1與4DF1 所成角的余弦值是（）A1517B圖8C17Duuur 若 PAr a，uuurPBr b，uuurPCcr ， 則uuurBE（）1r1r1r1r1r1rA.abcB.

4、abc2222221r3r1r1r1r3rC.abcD.abc222222二、填空題3. 在四棱錐 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，uuur uuur4.若點(diǎn) A(1,2,3) , B( 3,2,7) ,且AC BC0r , 則點(diǎn) C的坐標(biāo)為5在正方體 ABCD A1B1C1D1中，直線 AD 與平面 A1BC1夾角的余弦值為 三、解答題1、在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中, AB 1與底面 ABCD所成的角為，4（1）求證 BD1 面AB1C2）求二面角 B1 AC B 的正切值空間向量復(fù)習(xí)高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)2在三棱錐 P ABC中， AB AC 3 AP 4, PA 面 A

5、BC , BAC 90 點(diǎn) E在 BC 上, 且 BE 2CE,(1) 求證： AC BD ；(2) 求直線 DE 與 PC 夾角 的余弦值；(3) 求點(diǎn) A到平面 BDE 的距離 d 的值.3在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是一直角梯形， BAD=90，AD BC，AB=BC=a，AD=2a， 且 PA底面 ABCD， PD與底面成 30角(1) 若 AE PD， E為垂足，求證： BE PD；(2) 求異面直線 AE與 CD所成角的余弦值空間向量復(fù)習(xí)高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)4、已知棱長為 1 的正方體 AC1，E、F 分別是 B1C1、 C1D的中點(diǎn)（1）求證： E、 F、D、B 共面；（2

6、）求點(diǎn) A1 到平面的 BDEF的距離；（3）求直線 A1D 與平面 BDEF所成的角5、已知正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為 2，點(diǎn) E為棱 AB的中點(diǎn)，求： （） D1E 與平面 BC1D 所成角的大??；（）二面角 D BC1C的大小；一、考點(diǎn)概要：1、空間向量及其運(yùn)算（1）空間向量的基本知識(shí)： 定義：空間向量的定義和平面向量一樣， 那些具有大小和方向的量叫做向 量，并且仍用有向線段表示空間向量， 且方向相同、 長度相等的有向線段表示相 同向量或相等的向量。 空間向量基本定理：定理：如果三個(gè)向量 不共面， 那么對(duì)于空間任一向量 ，存在唯一的有序 實(shí)數(shù)組 x、 y、z，使 。且把

7、叫做空間的一個(gè)基底， 都叫基向量。正交基底： 如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是兩兩相互垂直， 那么這個(gè)基 底叫正交基底。 單位正交基底：當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱為單 位正交基底，通常用 表示。 空間四點(diǎn)共面： 設(shè) O、A、B、C 是不共面的四點(diǎn)， 則對(duì)空間中任意一點(diǎn) P， 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x、y、z ，使 。 共線向量 （平行向量 ）： 定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合， 則這些 向量叫做共線向量或平行向量，記作 。規(guī)定：零向量與任意向量共線 ;共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量 平行的充要條件是：存在實(shí)數(shù) ，空間向量復(fù)習(xí)高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí) 共面向

8、量： 定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量 ; 空間的任意兩 個(gè)向量都是共面向量。向量與平面平行： 如果直線 OA平行于平面或 在 內(nèi)，則說向量 平行于 平面 ，記作 。平行于同一平面的向量，也是共面向量。共面向量定理：如果兩個(gè)向量 、 不共線，則向量 與向量 、 共面的充 要條件是：存在實(shí)數(shù)對(duì) x、 y，使 ?？臻g的三個(gè)向量共面的條件：當(dāng) 、 、 都是非零向量時(shí)，共面向量定理 實(shí)際上也是 、 、 所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時(shí)，還需要證 明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)。共面向量定理的推論： 空間一點(diǎn) P在平面 MAB內(nèi)的充要條件是： 存在有序 實(shí)數(shù)

9、對(duì) x、 y，使得 ，或?qū)τ诳臻g任意一定點(diǎn) O，有 。 空間兩向量的夾角： 已知兩個(gè)非零向量 、 ，在空間任取一點(diǎn) O，作 ， （ 兩 個(gè)向量的起點(diǎn)一定要相同 ） ，則叫做向量 與 的夾角，記作 ，且 。 兩個(gè)向量的數(shù)量積： 定義：已知空間兩個(gè)非零向量 、 ，則 叫做向量 、 的數(shù)量積，記作 ， 即： 。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為 0。 注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積也叫向量 、 的點(diǎn)積（ 或內(nèi)積 ） ，它的結(jié)果是一個(gè) 實(shí)數(shù)，它等于兩向量的模與其夾角的余弦值。數(shù)量積的幾何意義： 叫做向量 在 方向上的投影 （ 其中 為向量 和 的 夾角 ） 。即：數(shù)量積 等于向量 的模與向量 在 方向上的投影的

10、乘積?；拘再|(zhì)：運(yùn)算律：（2）空間向量的線性運(yùn)算： 定義：與平面向量運(yùn)算一樣， 空間向量的加法、 減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下： 加法： 減法： 數(shù)乘向量： 運(yùn)算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律： 二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：1、立體幾何初步是側(cè)重于定性研究，而空間向量則側(cè)重于定量研究?？臻g 向量的引入，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問題提供了一個(gè)十分有效 的工具。2、根據(jù)空間向量的基本定理， 出現(xiàn)了用基向量解決立體幾何問題的向量法， 建立空間直角坐標(biāo)系， 形成了用空間坐標(biāo)研究空間圖形的坐標(biāo)法， 它們的解答通 常遵循“三步”：一化向量問題，二進(jìn)行向量運(yùn)算，三回到圖形問題。其實(shí)質(zhì)是 數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)

11、化思想的運(yùn)用。3、實(shí)數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算既有聯(lián)系又有區(qū)別，向量的數(shù)量積滿足交換律 和分配律，但不滿足結(jié)合律， 因此在進(jìn)行數(shù)量積相關(guān)運(yùn)算的過程中不可以隨意組 合。值得一提的是： 完全平方公式和平方差公式仍然適用， 數(shù)量積的運(yùn)算在許多空間向量復(fù)習(xí)高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)方面和多項(xiàng)式的運(yùn)算如出一轍， 尤其去括號(hào)就顯得更為突出， 下面兩個(gè)公式較為 常用，請(qǐng)務(wù)必記住并學(xué)會(huì)應(yīng)用： 。2、空間向量的坐標(biāo)表示：（1）空間直角坐標(biāo)系： 空間直角坐標(biāo)系 O-xyz，在空間選定一點(diǎn) O和一個(gè)單位正交基底 ，以點(diǎn) O 為原點(diǎn)，分別以 的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸： x軸、y軸、z 軸，它們都叫做 坐標(biāo)軸，點(diǎn) O 叫做原點(diǎn)，向量

12、 叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐 標(biāo)平面，分別稱為 xOy平面， yOz平面， zOx平面。 右手直角坐標(biāo)系： 右手握住 z 軸，當(dāng)右手的四指從正向 x 軸以 90角度轉(zhuǎn) 向正向 y 軸時(shí)，大拇指的指向就是 z 軸的正向 ; 構(gòu)成元素：點(diǎn) （原點(diǎn)） 、線（x 、y、z軸） 、面（xOy 平面，yOz平面，zOx平 面）; 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 的 畫 法 ： 作 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 O-xyz 時(shí) ， 一 般 使 xOy=135（或45）, yOz=90， z軸垂直于 y軸，z軸、y 軸的單位長度相 同， x軸上的單位長度為 y軸（或 z軸）的一半;（2）空間向量的坐

13、標(biāo)表示： 已知空間直角坐標(biāo)系和向量 ，且設(shè) 為坐標(biāo)向量 （如圖） ， 由空間向量基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 叫做向量在此直角坐標(biāo)系 中的坐標(biāo)，記作 。 在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz 中，對(duì)于空間任一點(diǎn) A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量 ，若 ， 則有序數(shù)組 （x ， y，z） 叫做點(diǎn)在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記為 A（x，y，z） ， 其中 x 叫做點(diǎn) A的橫坐標(biāo)， y 叫做點(diǎn) A的縱坐標(biāo)， z 叫做點(diǎn) A的豎坐標(biāo)， 寫點(diǎn)的 坐標(biāo)時(shí)，三個(gè)坐標(biāo)間的順序不能變。 空間任一點(diǎn)的坐標(biāo)的確定：過 P分別作三個(gè)與坐標(biāo)平面平行的平面 （ 或垂 面） ，分別交坐標(biāo)軸于 A、B、C三點(diǎn)，x=OA，y=OB，z=OC，

14、當(dāng) 與 的方向相同時(shí)， x0，當(dāng) 與 的方向相反時(shí)， x0，同理可確 y、z（ 如圖） 。 規(guī)定：一切空間向量的起點(diǎn)都是坐標(biāo)系原點(diǎn)， 于是， 空間任意一個(gè)向量與 它的終點(diǎn)坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的 坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)，則：（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算： 空間兩點(diǎn)間距離： ; 空間線段 的中點(diǎn) M（x，y，z） 的坐標(biāo)： ; 球面方程：二、復(fù)習(xí)點(diǎn)睛：4、過定點(diǎn) O，作三條互相垂直的數(shù)軸，它們都以 O 為原點(diǎn)且一般具有相同 的長度單位。這三條軸分別叫做 z軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸）; 統(tǒng)稱坐標(biāo) 軸。通常把 x 軸和 y 軸配置在水

15、平面上，而 z 軸則是鉛垂線 ; 它們的正方向要符 合右手規(guī)則，即以這樣的三條坐標(biāo)軸就組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系， 點(diǎn) O叫做坐 標(biāo)原點(diǎn)。5、空間直角坐標(biāo)系中的特殊點(diǎn) :（1） 點(diǎn)（原點(diǎn)）的坐標(biāo)： （0,0,0）;空間向量復(fù)習(xí)高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)(2) 線( 坐標(biāo)軸 ) 上的點(diǎn)的坐標(biāo)： x 軸上的坐標(biāo)為 (x,0,0) ， y 軸上的坐標(biāo)為 (0,y,0) ， z 軸上的坐標(biāo)為 (0,0,z);(3) 面(xOy 平面、 yOz 平面、 zOx 平面 ) 內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)：平面上的坐標(biāo)為 (x,y,0) 、平面上的坐標(biāo)為 (0,y,z) 、平面上的坐標(biāo)為 (x,0,z)6、要使向量 與 z 軸垂直，只要 z=0即可。事實(shí)上，要使向量 與哪一個(gè)坐 標(biāo)軸垂直，只要向量 的相應(yīng)坐標(biāo)為 0即可