第二講約數(shù)倍數(shù)教師版

1、上海市 2014年龍文 1對(duì) 1小學(xué)五年級(jí)第二講 約數(shù)倍數(shù)約數(shù)和倍數(shù)的定義： 如果一個(gè)自然數(shù) a能被自然數(shù) b整除，那么稱 a為b的倍數(shù)， b為 a 的約數(shù)最大公約數(shù)的定義： 如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的約數(shù)， 那么稱這個(gè)自然數(shù)是 這若干個(gè)自然數(shù)的公約數(shù) 在所有公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)， 稱為這若干個(gè)自然數(shù)的 最大公約數(shù)例如： (8,12) 4， (6,9,15) 3最小公倍數(shù)的定義：如果一個(gè)自然數(shù)同時(shí)是若干個(gè)自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個(gè)自然數(shù) 是這若干個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)在所有公倍數(shù)中最小的一個(gè)公倍數(shù)，稱為這若干個(gè)自然 數(shù)的最小公倍數(shù)例如： 8,12 24 ， 6,9,15 90 最小公倍數(shù)1

2、. 求最小公倍數(shù)的方法：分解質(zhì)因數(shù)的方法； 短除法求最小公倍數(shù)； a,b a b (a,b)2. 最小公倍數(shù)的性質(zhì)：兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù) 兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積 兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)最大公約數(shù)1. 求最大公約數(shù)的方法： 分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái) 短除法：先找出所有共有的約數(shù)，然后相乘輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)用 輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下： 先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)， 得第一個(gè)余數(shù)； 再用第一個(gè)余數(shù)除小的一

3、個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)； 這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是 0 為止那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的 最大公約數(shù) (如果最后的除數(shù)是 1，那么原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的 ) 2. 最大公約數(shù)的性質(zhì)： 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)； 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)； 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù) n ，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以n例題分析例1】 1）36、 42、 52 、 72這四個(gè)數(shù)中，哪些數(shù)含有約數(shù)4？2）36 、 42 、 52 、 72這四個(gè)數(shù)中，哪些數(shù)含有約數(shù)6？3）36、 42、 52

4、、 72這四個(gè)數(shù)中，哪些數(shù)含有約數(shù) 12？分析】221） 36 22 32 ，2 3 242 2 3 7 ，52 22 13， 72 23 32 ，含有約數(shù) 4的有：36、52、 72；2 ）含有約數(shù) 6的有： 36、 42、72；3 ）含有約數(shù) 12的有： 36、72 。例 2】 求112和 182 的最大公約數(shù)？（用三種不同的方法）分析】分解質(zhì)因數(shù)法： 112 24 7，182 2 7 13 ，所以（ 112， 182 ） 2 7 142112 182短除法： 7 56 91 ，所以（ 112， 182 ） 2 7 14 。8 13輾轉(zhuǎn)相除法： 182 112 1 70 ， 112 70

5、1 42 ，70 42 1 28 ，42 28 1 14 ， 28 14 2 ， 所以（ 112， 182 ） 14。拓展】 191與 7的最大公約數(shù)是多少？分析】 191與 7互質(zhì)，最大公約數(shù)為 1。2）例 3】 （ 2006 年 12 月第七屆“中環(huán)杯”小學(xué)生思維能力訓(xùn)練活動(dòng)四年級(jí)復(fù)賽第二（ 題）從一張長(zhǎng) 1617 毫米，寬 693 毫米的長(zhǎng)方形紙片上，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)最大的正方形。 如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個(gè)邊長(zhǎng)盡可能大的正方形。 按照上面的過(guò)程不斷的重復(fù)，最后能剪得正方形多少個(gè)？最后剪得的正方形的邊長(zhǎng)是 多少毫米？請(qǐng)畫示意圖表示。分析】按要求逐步減去最大的正方形

6、。第1次減去邊長(zhǎng)為 693 毫米的正方形，剩余部分為長(zhǎng)、寬分別為 1617 693 924 毫米、 693 毫米的長(zhǎng)方形；第 2 次減去邊長(zhǎng)為 693 毫米的正方形，剩余部分為長(zhǎng)、寬分別為 693毫米、 924 693 231 毫米的長(zhǎng)方形；第 3次減去邊長(zhǎng)為 231 毫米的正方形，剩余部分為長(zhǎng)、寬分別為 693 231 462毫米、 231 毫米的長(zhǎng)方形；第 4 次減去邊長(zhǎng)為 231 毫米的正方形，剩余部分為邊長(zhǎng)為 231 （ 462 231 231 ）毫米的正方形；所以最后剪得的正方形的邊長(zhǎng)是 231 毫米。如圖所示為示意圖。1617毫米示意圖例 4】 邊長(zhǎng)為自然數(shù)，面積為 210 的形狀

7、不同的長(zhǎng)方形共有 種。分析】（方法一） 210 2 3 5 7 ，總共有（ 1， 210 ），（ 2 ，105 ），（ 3 ， 70 ），（ 5 ， 42 ）， （ 7， 30）、（6、35）、（10、21）、（14、15）8種長(zhǎng)方形 。（方法二）約數(shù)的個(gè)數(shù)有 1 1 1 1 1 1 1 1 16 個(gè)約數(shù)，可以組成 8個(gè) 長(zhǎng)方形。例 5】 把長(zhǎng) 120 厘米，寬 80 厘米的鐵板裁成盡可能大的相等的正方形，而且沒(méi)有剩余，可以裁成多少塊？【分析】 120 40 3， 80 40 2 ，所以它們的最大公約數(shù)是 40 ，可以裁成120 80 （40 40） 6 （個(gè)）【例 6】 現(xiàn)在有香蕉 42千克

8、，蘋果 112千克，桔子 70千克，平均分給幼兒園的幾個(gè)班，每 班分到的這三種水果的數(shù)量分別相等，那么最多分給了多少個(gè)班？每個(gè)班至少分 到了三種水果各多少千克？【分析】 42 14 3，112 14 8，70 14 5 ，所以它們的最大公約數(shù)是 14，最多分給 14 個(gè)班級(jí)，每班分到香蕉 3千克、蘋果 8千克、桔子 5 千克。【例7】 求36與 76的最小公倍數(shù)（用兩種不同的方法） 。【分析】分解因式法： 36 22 32，76 4 19，所以 36，76 22 32 19 6842 36 76短除法： 218 38，所以 18， 30 2 2 9 19 6849 19【拓展】求 72和 56

9、的最小公倍數(shù)3233 2【分析】 72 2332， 56237，所以 72，5623327 504【例 8】 （2005小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)全國(guó)邀請(qǐng)賽）今年祖父的年齡是小韓年齡的6倍，若干年后是他的 5倍，再過(guò)若干年后是他的 4倍，那么今年祖父多少歲，小韓多少歲？【分析】祖父與小韓的年齡差是 5、4、3的公倍數(shù)。 3、4、5 60 根據(jù)年齡差的實(shí)際情況可以確定，祖父與小韓的年齡差為 60歲，小韓今年 60 6 1 12歲，祖父 12 6 72歲 【拓展】動(dòng)物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得 15 粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒。

10、那么平均給三群猴子，每只可得 粒。分析】花生總粒數(shù) 12 第一群猴子只數(shù) 15 第二群猴子只數(shù) 20 第三群猴子只數(shù) 由此可知，花生總粒數(shù)是 12、15、 20的公倍數(shù)，其最小公倍數(shù)是 60 。花生總粒數(shù)是 60 ，120，180， ，那么第一群猴子只數(shù)是 5， 10，15，第二群猴子只數(shù)是 4， 8， 12，第三群猴子只數(shù)是 3， 6， 9，所以，三群猴子的總只數(shù)是 12， 24， 36， 。因此，平均分給三群猴子，每 只猴子所得花生粒數(shù)總是 5 粒。例9】 有一個(gè)自然數(shù)，被 6除余1，被 5除余1，被 4除余1，這個(gè)自然數(shù)最小是幾？分析】這個(gè)自然數(shù)減去 1，那么差就同時(shí)是 4、5、6的倍數(shù)

11、， 4、5 、 6的最小公倍數(shù)為4 5 3 60 ，所以這個(gè)自然數(shù)最小是 60 1 61。拓展】有一個(gè)兩位數(shù)，被 9除余 7，被 7除余 5，被 3除余1 ，求這個(gè)兩位數(shù)。 分析】根據(jù)題目條件仔細(xì)觀察之后可發(fā)現(xiàn)，余數(shù)比除數(shù)少 2，如果將原數(shù)加 2 之后，將能 被 9 、 7 、 3同時(shí)整除就是說(shuō)原數(shù)加 2后是 9、7、3的公倍數(shù)9， 7，3 63， 63 2 61所以這個(gè)兩位數(shù)是 61 。補(bǔ)充】 從小明家到學(xué)校原來(lái)每隔 50 米安裝一根電線桿， 加上兩端的兩根一共是 55 根電線 桿，現(xiàn)在改成每隔 60 米安裝一根電線桿，除兩端的兩根不用移動(dòng)外，中途還有多 少根不必移動(dòng)？分析】從小明家到學(xué)校的

12、距離為 50 (55 1) 2700 (米)，改動(dòng)后變?yōu)橐还灿?700 60 1 46根電線桿。 50和 60的最小公倍數(shù)為 10 5 6 300 ，途中還有2700 300 1 8 （根）不必移動(dòng)。【補(bǔ)充】（2002 全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）甲乙丙三人去圖書館借書，甲每 6天去一次，乙每8 天去一次，丙每 9 天去一次，如果 3 月 5 日他們?cè)趫D書館相遇，那么下一次都到圖書館是 幾月幾日？【分析】 6、8、9 72，5月 16 日相遇。補(bǔ)充】（第二屆華羅庚金杯邀請(qǐng)賽）在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線：第一種刻度線將木 棍分成十等分；第二種將木棍分成十二等分；第三種將木棍分成十五等分。如 果沿每條

13、刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？分析】 10 ，12，15 60 ，我們將木棍長(zhǎng)度看成 60個(gè)單位：木棍 10等分，每份長(zhǎng) 6個(gè)單位； 12等分，每份長(zhǎng) 5 個(gè)單位； 15等分，每份長(zhǎng) 4個(gè)單位。再排除重復(fù)的情況，即可求出木棍總共被鋸成多少段。4， 5 20，4， 6 12，5，6 30，4， 5，6 6060 20 3， 60 12 5，60 30 2，60 60 1所以可以鋸成 10 12 15 3 5 2 1 28 （段）。補(bǔ)充】（ 2008 年第七屆 “小機(jī)靈杯 ”數(shù)學(xué)競(jìng)賽四年級(jí)決賽） 有一個(gè)長(zhǎng)方形棋盤， 每小小方格 的邊長(zhǎng)都是 1，長(zhǎng)有 80 格、寬有 48格（如圖），縱橫線

14、交叉的點(diǎn)稱為格點(diǎn)。 連接 A 、 B兩點(diǎn)的線段共經(jīng)過(guò) 個(gè)格點(diǎn)。（包括 A、 B兩點(diǎn)）。分析】因?yàn)?80 、 48的最大公約數(shù)為 16， 80 16 5 ，所以從左到右，每隔 5出現(xiàn)一個(gè)格點(diǎn)，總共有格點(diǎn) 80 5 1 17 （個(gè)）。補(bǔ)充】（ 2008 年第二屆兩岸四地“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請(qǐng)賽筆試二）馬拉松賽跑 的路線上，等距離設(shè)置了若干個(gè)飲水站和等距離設(shè)置了16 個(gè)醫(yī)療站，起點(diǎn)和終點(diǎn)都設(shè)有飲水站和醫(yī)療站，且起點(diǎn)和終點(diǎn)不同。若每個(gè)站安排一個(gè)值班員，兩站重 合的也只安排一個(gè)值班員，那么一共要安排46 個(gè)值班員，且在途中確有醫(yī)療站與1 、 215 15飲水站重合，也有醫(yī)療站不與飲水站重合，那么

15、最多有多少個(gè)飲水站？分析】將這條馬拉松路線長(zhǎng)度看為 1，那么設(shè)置醫(yī)療站的地點(diǎn)除了起點(diǎn)和終點(diǎn)還有3 、 、14 這14處。假設(shè)這條賽跑的路線上等距離設(shè)置了（ a 1 ）個(gè)飲水站，15 15那么設(shè)置飲水站的地點(diǎn)除了起點(diǎn)和終點(diǎn)還有23aaa1a這（ a 1 ）處，因?yàn)轱嬎九c醫(yī)療站有重合，所以a與 15有大于 1的公約數(shù) 15 3 5。當(dāng)這12個(gè)公約數(shù)為 3時(shí)，重合地點(diǎn)除了起點(diǎn)與終點(diǎn)，還有1和 2 處，一共要安排 46個(gè)33值班員，所以 16 a 1 4 46， a 33 ，滿足題意；當(dāng)這個(gè)公約數(shù)為 5時(shí)，重合地點(diǎn)除了起點(diǎn)與終點(diǎn)還有1、2、3、4處，所以 16 a 1 6 46，a 35，5555滿

16、足題意；當(dāng)這個(gè)公約數(shù)為15的時(shí)候，所有的醫(yī)療站點(diǎn)都設(shè)有飲水站，不滿足題意。綜上所述，最多設(shè)有 36 個(gè)飲水站。補(bǔ)充】 兩個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)是 6 ，最小公倍數(shù)是 540 。這樣的自然數(shù)一共有 組；分析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)是 6a、 6b，且（ a， b） 1。那么 6ab 540 ，可得 ab 90。a 1，b 90或a 2，b 45或a 5，b 18或 a 9， b 10 ，共四組。練習(xí) 1】 請(qǐng)用輾轉(zhuǎn)相除法求 899與 372 的最大公約數(shù)。分析】 899 372 2 155 ，372 155 2 62 ，155 62 2 31，62 31 2，所以 899與372的最大公約數(shù)是 31 。練習(xí)

17、2】 請(qǐng)用短除法求 42與108 的最小公倍數(shù)。2 42 108分析】短除法：3 21 54 ，所以 42，108 2 3 7 18 756 。 7 18練習(xí)3】 有一盤水果， 3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)余 2個(gè)，4個(gè)4個(gè)數(shù)余 3個(gè)， 5個(gè)5個(gè)數(shù)余 4個(gè)，問(wèn)這 個(gè)盤子里最少有多少個(gè)水果？分析】如果多一個(gè)水果，那么這盤水果就同時(shí)是3、 4、 5的倍數(shù)， 3、 4 、 5的最小公倍數(shù)為 3 4 5 60 所以這個(gè)盤子里最少有水果： 60 1 59 （個(gè)）練習(xí) 4】 一塊長(zhǎng)方形的紙， 長(zhǎng)75厘米，寬60 厘米，要把這張紙裁成面積相等的小正方形， 而紙無(wú)剩余，且使邊長(zhǎng)最長(zhǎng)，問(wèn)可裁成幾張？分析】要使這些面積相等的小正方形紙的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)， 就是要求 75與 60的最大公約數(shù)。（ 75，60） 15 （75 15