球棒系統(tǒng)的建模及反饋控制

1、球棒系統(tǒng)的建模及反饋控制題目：球棒系統(tǒng)的建模及反饋控制姓 名：學(xué) 院：工學(xué)院班 級(jí)：學(xué) 號(hào)：指導(dǎo)教師：李玉民 林相澤20年 6月7日南京農(nóng)業(yè)大學(xué)教務(wù)處制自動(dòng)控制原理n實(shí)習(xí)報(bào)告由剛性球和連桿臂構(gòu)成的球棒系統(tǒng)，如圖一所示。連桿在驅(qū)動(dòng)力矩工作用下繞軸心點(diǎn)O做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。連桿的轉(zhuǎn)角和剛性球在連桿上的位置分別用日，r表示，設(shè)剛性球的半徑為 Ro當(dāng)小球轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，球的移動(dòng)和棒的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成復(fù)合運(yùn)動(dòng)。剛性球與機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)方程由下式描述選取剛性球的位移r和其速度r| ,以及機(jī)械的轉(zhuǎn)角8及其角速度作為狀態(tài)變量，令 x = x1,x2,x3,x4 T =",r,e,dT,可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式設(shè)球棒系統(tǒng)各參數(shù)如

2、下：m=0.05kg, R=0.01m, J=0.02kgm2, Jb =2父10*kgm2, G = 9.81m/s2。一、將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x = 0處線性化，求解線性系統(tǒng)模型。首先求系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，令G(x) =0 ,2=014 mR2 x4=0/2(x1x4 -G Sin x3)=02mxix2M -mGxiCOS&2：m%J J2 =0m% J Jbx1=mG，解得x2=0x3 = 0x4 =0x = 0x? = 0若要維持系統(tǒng)穩(wěn)定，平衡狀態(tài)時(shí) =0,既得x3 =0x4 =0用李雅普諾夫第一方法將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處線性化處理如下:經(jīng)過(guò)線性化處理，系統(tǒng)模型為: 利用matlab可求得:e

3、ig(A) =-7.657 7.657i-7.657i 7.657,可知該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。二、利用狀態(tài)反饋將線性系統(tǒng)極點(diǎn)配置于 -1±2j , -1±2j ,求解狀態(tài)反饋增益，并 畫出小球初試狀態(tài)為r=0.3,橫桿角度為日=30。和初始狀態(tài)r = -0.3,橫桿角度為 3 3 -30時(shí)的仿真圖像t -xo先判斷系統(tǒng)是否完全能控UcB AB A2B A3B =-0007007.1500-7007.1500500050000可知該系統(tǒng)是完全能控的，可進(jìn)行狀態(tài)反饋。極點(diǎn)配置于-1 ±2 j, -2 ± j的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為:狀態(tài)反饋設(shè)置令u =v-kx ,則狀

4、態(tài)反饋后系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為: 利用Matlab 編程，最后求得系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制矩陣為: 即所求的狀態(tài)反饋增益。則狀態(tài)反饋后系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：狀態(tài)反饋后的模擬結(jié)構(gòu)圖為:V201234567圖3小球初試狀態(tài)為r = 0.3 ,9 = 30時(shí)系統(tǒng)的仿真圖像t - x圖4初始狀態(tài)為r 0.3 8 =30,時(shí)simulink仿真圖n編寫M程序畫出小球初試狀態(tài)為r:一0.3,10 =-30'時(shí)系統(tǒng)的仿真圖像t-x,程序中只需將程序一中的x0=0.3 0 pi/6 0改為 xO-0.3 0 -pi/6 0即可，見(jiàn)圖 525Simulink仿真的圖像女6所示:15圖6初始)10三、設(shè)計(jì)具有，

5、但為'r 0.330時(shí)simulink仿真圖適極義的狀態(tài)觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，給出狀態(tài)反饋增益和觀測(cè)器增益，并畫出力、-6桿角度為日= 30；3T橫桿角度為30g初始狀態(tài)r = -0.3,橫時(shí)的仿真圖像x,以及觀測(cè)器輸出與系統(tǒng)狀態(tài)差值圖像(t - e)由分離性原理-20別設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益與觀測(cè)器增益，下面先設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益，4后設(shè)計(jì)觀測(cè)器增益23456靜75曲楸妙懶椀澗落后0條同聞謔0帆系統(tǒng)的仿真圖像LxPart 1 .狀態(tài)反饋增益的設(shè)計(jì)由上從求得的仿真圖可知，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量都比較大，運(yùn)行 matlab時(shí)，系統(tǒng)還提示：Warning: Pole locations are mo

6、re than 10% in error.t - 1s 一因此很有必要通過(guò)限制超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間重新配置極點(diǎn)。設(shè)定系統(tǒng)的超調(diào)量為仃5%,調(diào)整時(shí)間為ts 。得=0.69-1-2.e 1- <5%到不等式 /,解不等式，取 八 A7QG4 : 1sn = 5.796(- -n所以6,2 =-亡。n + jag * =用±4.2 j ,將其作為主導(dǎo)極點(diǎn)，另外兩個(gè)極點(diǎn)可選為任意實(shí)部大于此處選擇-40 ±4.2 j 。在matlab中通過(guò)acker函數(shù)【附錄2】直接求得k和A-BK :求得狀態(tài)反饋增益為 k - -8.0871 -2.1906 45.1200 1.7600,反饋后

7、的系統(tǒng)矩陣為:Part 2設(shè)計(jì)觀測(cè)器增益首先判斷系統(tǒng)能觀性:Rank(Uo) =4 = n 系統(tǒng)完全能觀，可設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器。狀態(tài)觀測(cè)器為取得較為合適的特征值，根據(jù)Re ' A - EC = (3 5)Re肛A - BK的原則選擇觀測(cè)器的極點(diǎn)“2=_15±4.2j, s3,4 =65±4.2j。直接求得 E和A-EC :求得E =一75.710.4 1一-75.70-10.4-24.51836.5-75.5435.5 ,A-EC =075.5012.684.3-12.6-140.1-84.30出57.51298.7/57.50-1297.70 _附錄四畫出小球初試狀態(tài)

8、為r =0.3,9 =30時(shí)系統(tǒng)place函數(shù)【附錄3】O程序【的仿真圖像tx,見(jiàn)圖由分離性原理知 e =(A EC)e 在matlab中通過(guò)圖8.初試狀態(tài)為r = 0.3 ,6=30時(shí)系統(tǒng)的仿真圖像 t xSimulink搭建e = (A-EC)e系統(tǒng)圖如圖99simulink 搭建系統(tǒng)的觀測(cè)器輸出與系統(tǒng)狀態(tài)差值t-e初試狀態(tài)為r =0.3,日=30時(shí)系統(tǒng)觀測(cè)器輸出與系統(tǒng)狀態(tài)差值t-e見(jiàn)圖10。圖10初試狀態(tài)為r =0.3 5 =30時(shí)系統(tǒng)的觀測(cè)器輸出與系統(tǒng)狀態(tài)差值圖像t - ep把上面程序中的x0=0.3 0 pi/6 0改為x0=-0.3 0 -pi/6 0即為小球初試狀態(tài)為r = -0

9、.3,9 = 一30時(shí)系統(tǒng)的仿真圖像t -x ,見(jiàn)圖11。圖11小球初試狀態(tài)為r = -0.3,6 = -30C時(shí)系統(tǒng)的仿真圖像觀測(cè)器輸出與系統(tǒng)狀態(tài)差值圖像t -e,見(jiàn)圖11圖11球初試狀態(tài)為r = -0.3,9 = -30c時(shí)分析與總結(jié)：系統(tǒng)的觀測(cè)器輸出與系統(tǒng)狀態(tài)差值圖像t - e該系統(tǒng)搭建出來(lái)是一個(gè)非線性系統(tǒng)，需要用李雅普諾夫第一方法將系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處線性化為四階線性系統(tǒng)；用能控性判據(jù)判斷出該系統(tǒng)是完全能控的，可進(jìn)行狀態(tài)反饋，第二問(wèn)中給出了兩對(duì)目標(biāo)極點(diǎn)，可利用matlab求得狀態(tài)反饋增益 K,我們得到了反饋后的系統(tǒng)。然后利用 simulink仿真，題目中給出了球棒的兩種初始狀態(tài)， 我們通過(guò)仿

10、真圖可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)性能很不理想，超調(diào)量過(guò)大，調(diào)整時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，實(shí)際上是由于極點(diǎn)選擇不當(dāng)造成的， 這樣才有了第三問(wèn)中全維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)。對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行能觀性判斷，可知系統(tǒng)完全能觀測(cè)，可進(jìn)行觀測(cè)器設(shè)計(jì)。由分離性原理，可分開(kāi)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋增益與觀測(cè)器增益，兩者互不干擾，我們自己設(shè)定了超調(diào)量（5%）和調(diào)整時(shí)間（1s）,然后求出一對(duì)極點(diǎn)，我們運(yùn)用主導(dǎo)極點(diǎn)的思想，設(shè)計(jì)了另外一對(duì)極點(diǎn)，這樣狀態(tài)反饋增益k就得到了；然后為狀態(tài)觀測(cè)器選取特征值， 進(jìn)而用matlab求得觀測(cè)器增益 E,我們用m程序畫出t-x仿真圖，用simulink 畫出t-e仿真圖，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)性能得到了很大提高，符合設(shè)計(jì)要求。M程序附錄：程序一：>&g

11、t; A=0 1 0 0;0 0 -140.14 0;0 0 0 1;-24.52 0 0 0;>> B=0;0;0;50;>> C=1 0 0 0;0 0 1 0;» D=0;» P=-1-2*j,-1+2*j,-2-j,-2+j;» K=acker(A,B,P)» A1 =A-B*K» u=0;» G=ss(A1,B,C,D);» x0=0.3 0 pi/6 0;» y,t,x=initial(G,xO);» plot(t,x)程序二：»A=0 1 0 0;0 0 -

12、140.143 0;0 0 0 1 ;-24.523 0 0 0;»B=0;0;0;50;»C=1 0 0 0;0 0 1 0;»D=0;»p=-4-4.2*j,-4+4.2*j,-40-4.2*j,-40-4.2*j;»K=acker(A,B,P)»A-B*K程序三：»A=0 1 0 0;0 0 -140.14 0;000 1 ;-24.52 0 0 0;»B=0;0;0;50;»C=1 0 0 0;0 0 1 0;»D=0;»P=-15+4.2*j -15-4.2*j -65+4.

13、2*j -65-4.2*j;»C=C;»A=A'»E=place(A,C,P);»E'»A=A-(E')*(C)程序四» A=0 1 0 0;0 0 -140.14 0;000 1 ;-24.52 0 0 0;» B=0;0;0;50;» C=1 0 0 0;001 0;» D=0;» P=-15+4.2*j -15-4.2*j -65+4.2*j -65-4.2*j;» C=C;» A=A'» G=place(A,C,P);»A=A'-(G')*(C