高考三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯編

1、4.1 任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)1.角的概念角的概念角可以看成是角可以看成是_射線的端點(diǎn)叫做角的射線的端點(diǎn)叫做角的_;旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的旋轉(zhuǎn)開(kāi)始時(shí)的射線叫做角的_;旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)終止時(shí)的射線叫做角的終止時(shí)的射線叫做角的_.(1)正角、負(fù)角和零角正角、負(fù)角和零角按按_叫做正角叫做正角;按按_叫做負(fù)角叫做負(fù)角;_叫做零角叫做零角.由一條射線繞著它的端點(diǎn)由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)而成的項(xiàng)點(diǎn)項(xiàng)點(diǎn)始邊始邊終邊終邊逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而成的角當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)而成的角當(dāng)一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)而成的角(2)象限角象限角在

2、平面直角坐標(biāo)系下在平面直角坐標(biāo)系下,使角的項(xiàng)點(diǎn)與使角的項(xiàng)點(diǎn)與_重合重合,角的始邊與角的始邊與_重合重合,角的終邊落在第幾象限角的終邊落在第幾象限,就把這個(gè)角就把這個(gè)角稱做第幾象限角稱做第幾象限角,若角的終邊落在坐標(biāo)軸若角的終邊落在坐標(biāo)軸上上,稱為稱為_(kāi),這個(gè)角不屬于任何象限這個(gè)角不屬于任何象限.坐標(biāo)坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn)x軸的正半軸軸的正半軸軸線角軸線角(3)終邊相同的角終邊相同的角._),(,表示表示子子可以用式可以用式而且只有這樣的角而且只有這樣的角在內(nèi)在內(nèi)角角連同連同角終邊相同的角角終邊相同的角所有與所有與 Zkk ,360 ._2_,| )1( 2.角的度量角的度量rl 360._;,),(,)

3、2( Slrradl的的面面積積為為扇扇形形則則半半徑徑為為圓圓心心角角大大小小為為設(shè)設(shè)扇扇形形的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)為為 r | lr212|21r 3.三角函數(shù)的定義三角函數(shù)的定義).0(|),(,22 ryxrOPyxP它它與與原原點(diǎn)點(diǎn)的的距距離離坐坐標(biāo)標(biāo)的的的的終終邊邊上上任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)為為任任意意角角 ._cos_,sin 則則._cot_,tan 則則._csc_,sec 則則.,在在終終邊邊上上的的位位置置無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)與與點(diǎn)點(diǎn)有有關(guān)關(guān)終終邊邊的的位位置置三三角角函函數(shù)數(shù)值值只只與與角角P ryrxxyyxxryr4.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律及三角函數(shù)線三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律及三角函數(shù)線象限象限符號(hào)符號(hào)函數(shù)

4、函數(shù) csc,sin sec,cos cot,tan+-三角函數(shù)線是表示三角函數(shù)值的有向線三角函數(shù)線是表示三角函數(shù)值的有向線段段,線段的方向表示了三角函數(shù)值的正負(fù)線段的方向表示了三角函數(shù)值的正負(fù)線段的長(zhǎng)度表示了三角函數(shù)值的絕對(duì)值線段的長(zhǎng)度表示了三角函數(shù)值的絕對(duì)值.TPMA(1,0)Oxy 正弦線正弦線余弦線余弦線正切線正切線即即為為正正弦弦線線有有向向線線段段點(diǎn)點(diǎn)于于直直軸軸垂垂作作過(guò)過(guò)終終邊邊與與單單位位圓圓交交于于如如圖圖_,MxPMPP 即即為為余余弦弦線線有有向向線線段段點(diǎn)點(diǎn)于于軸軸垂垂直直作作過(guò)過(guò)終終邊邊與與單單位位圓圓交交于于如如圖圖_,MxPMPP 即即為為正正切切線線有有向向線

5、線段段點(diǎn)點(diǎn)反反向向延延長(zhǎng)長(zhǎng)線線于于終終邊邊的的的的終終邊邊或或交交軸軸的的垂垂線線作作過(guò)過(guò)如如圖圖_,)0 , 1(,TxA MPOMAT4.2 同角三角函數(shù)基本同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式關(guān)系式與誘導(dǎo)公式1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)_;(2)_(3)_.其中其中(1)是平方關(guān)系是平方關(guān)系;(2)是商的關(guān)系是商的關(guān)系;(3)是倒數(shù)關(guān)系是倒數(shù)關(guān)系.1cossin22 tancossin 1cottan 利用上述基本關(guān)系式利用上述基本關(guān)系式,可以根據(jù)一個(gè)角可以根據(jù)一個(gè)角的正弦、余弦、正切中的一個(gè)值求其作的正弦、余弦、正切中的一個(gè)值求其作兩個(gè)值兩個(gè)值,還可以進(jìn)行化簡(jiǎn)

6、與證明還可以進(jìn)行化簡(jiǎn)與證明.提示提示:教材對(duì)于同角三角函數(shù)只有這三個(gè)教材對(duì)于同角三角函數(shù)只有這三個(gè)基本關(guān)系式基本關(guān)系式,而除此之外而除此之外,還有如下五個(gè)關(guān)還有如下五個(gè)關(guān)系式系式:_;tan12 _;cot12 _;cot ; 1_cos . 1_sin 2sec 2csc sincos sec csc若能掌握補(bǔ)充的這五個(gè)關(guān)系式若能掌握補(bǔ)充的這五個(gè)關(guān)系式,對(duì)做題肯對(duì)做題肯定是有幫助的定是有幫助的,這五個(gè)關(guān)系用定義容易給這五個(gè)關(guān)系用定義容易給予證明予證明,在此略在此略.2.誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式:._:,)(36036027090180本步驟是本步驟是化為銳角三角函數(shù)的基化為銳角三角函數(shù)的基的三角函數(shù)

7、轉(zhuǎn)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)利用誘導(dǎo)公式把任意角利用誘導(dǎo)公式把任意角憶規(guī)律是憶規(guī)律是其記其記極易混淆極易混淆其內(nèi)容相似其內(nèi)容相似間的關(guān)系間的關(guān)系等同角三角函數(shù)之等同角三角函數(shù)之的三角函數(shù)與諸如的三角函數(shù)與諸如誘導(dǎo)公式是指角誘導(dǎo)公式是指角Zkk， 奇變偶不變奇變偶不變,符號(hào)看象限符號(hào)看象限任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)正角的三角函數(shù)正角的三角函數(shù)的的角角的的三三角角函函數(shù)數(shù) 3600銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)口訣口訣:_負(fù)變正、大化小、誘導(dǎo)公式變銳角負(fù)變正、大化小、誘導(dǎo)公式變銳角4.3兩角和與差的三角函數(shù)兩角和與差的三角函數(shù)1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式兩角和與差的正弦、余弦、正切公式_)sin()1(

8、 _)cos()2( _)tan()3( _cossin)4( xbxa2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式._2sin)1( sincoscossin sinsincoscos tantan1tantan )sin(22 xba cossin2_2cos)2( 22sincos 1cos22 2sin21 _2tan)3( 2tan1tan2 3.3.常用公式的變形常用公式的變形_;_cos)1(2 ._sin2 _tan1tan1)2( 22cos1 22cos1 )4tan( _tan1tan1 _)4tan(1)tan1)(3( _sincos1 )4( 公公成

9、成積積的的形形式式 _sincos1 )5( 公公成成積積的的形形式式 )4tan( )2cos2(sin2cos2 )2cos2(sin2sin2 24.4 三角函數(shù)的圖象三角函數(shù)的圖象1.1.正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx的圖象特征的圖象特征五點(diǎn)作圖法簡(jiǎn)圖五個(gè)點(diǎn)通常是平衡點(diǎn)與五點(diǎn)作圖法簡(jiǎn)圖五個(gè)點(diǎn)通常是平衡點(diǎn)與最值點(diǎn)，最值點(diǎn)，y=sinx的的最值點(diǎn)最值點(diǎn) , ,平平衡點(diǎn)為衡點(diǎn)為_(kāi), _, 是正是正弦與弦與x x軸的交點(diǎn)，也是對(duì)稱中心軸的交點(diǎn)，也是對(duì)稱中心, ,過(guò)過(guò)_ _ _ 且平行且平行_ _ _ _的直線都是它的對(duì)稱軸的直線都是它的對(duì)稱軸. .)0 ,2(),0 ,(),0 , 0( ) 1

10、,23(),1 ,2( 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)最值點(diǎn)最值點(diǎn)y y軸軸54321-1-2-3-4-4-224681012yx02 23 2余弦曲線可以由余弦曲線可以由y=sinx的圖象向的圖象向_平移平移_個(gè)單位得到個(gè)單位得到. .左左2 2 2、余弦函數(shù)圖象、余弦函數(shù)圖象54321-1-2-3-4-4-2246810122 23 2) 1 ,2(),1,(),1 , 0() 0 ,23(),0 ,2(五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：對(duì)稱軸方程：對(duì)稱軸方程：) 0 ,2(kkx 與與x x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)過(guò)最值點(diǎn)且與過(guò)最值點(diǎn)且與y y軸軸平行的直線平行的直線03、正切函數(shù)的圖象、正切函數(shù)的圖象

11、對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：對(duì)稱軸： 無(wú)無(wú))0 ,2( k平移、伸縮兩個(gè)程序平移、伸縮兩個(gè)程序y=sinxy=sinx)sin()sin( xyxy)sin()sin( xyxy)sin( xAy4.4.圖象變換圖象變換: :平移、伸縮變換平移、伸縮變換8642-2-4-6-8-10-55102 23 2 23 20y=sinxy=sinx)sin()sin( xyxy)sin( xAy路徑路徑:先將正弦曲線平移先將正弦曲線平移_個(gè)單位個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)再將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)_ 或或_ 到原來(lái)的到原來(lái)的_(縱坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)不變),再將圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)再將圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)伸長(zhǎng)(A1時(shí)

12、時(shí))或或縮短縮短(0A1時(shí)時(shí))到原來(lái)的到原來(lái)的_倍倍. )1(時(shí)時(shí) )10(時(shí)時(shí) | 縮短縮短伸長(zhǎng)伸長(zhǎng) 1A A路徑路徑:先伸縮后平移先伸縮后平移,注意平移量注意平移量為為_(kāi))( xxx| ._,0_,0即即兩兩路路徑徑中中的的平平移移均均貫貫徹徹 左移左移右移右移左加右減左加右減)sin()sin( xyxyy=sinxy=sinx)sin( xAy若按若按y y軸平移軸平移, ,按按“_”_”法法則則. .上加下減上加下減_,_,2_,21_,:), 0),0, 0)(sin(. 5叫叫做做叫叫做做叫叫做做叫叫做做叫叫做做在在物物理理中中的的應(yīng)應(yīng)用用 xTTfAxAxAy振幅振幅頻率頻率周

13、期周期相位相位初相初相.,2,23,2, 0,:,)sin(:再再描描點(diǎn)點(diǎn)作作圖圖值值值值及及對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的來(lái)來(lái)求求相相應(yīng)應(yīng)的的取取設(shè)設(shè)五五點(diǎn)點(diǎn)取取法法是是的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)圖圖時(shí)時(shí)五五點(diǎn)點(diǎn)法法作作提提示示yxXxXxAy 6.6.三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性:.)0, 0)(sin(具具體體如如下下稱稱象象具具有有軸軸對(duì)對(duì)稱稱和和中中心心對(duì)對(duì)的的圖圖函函數(shù)數(shù) AxAy_)1( kkxxx其其中中對(duì)對(duì)稱稱軸軸方方程程為為_(kāi))0 ,()2( iixx其其中中對(duì)對(duì)稱稱中中心心為為Zkk ,2 Zkk , 例例1 已知函數(shù)已知函數(shù) 的的一段圖象如圖所示一段圖象如圖所示求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式求它

14、的振幅、周期、初相求它的振幅、周期、初相求它的對(duì)稱中心、求它的對(duì)稱中心、對(duì)稱軸方程對(duì)稱軸方程 4321-1-2-3-224682-28 83 ), 0)(sin( AxAy例例2 如何由函數(shù)如何由函數(shù) 得出函數(shù)得出函數(shù) 的圖象的圖象如何由函數(shù)如何由函數(shù) 得出得出 函數(shù)函數(shù) 的圖象的圖象 xycos 42cos3 xy 42cos xy xy2cos 4.5 三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx定義定義域域值域值域周期周期性性奇偶奇偶性性單單調(diào)調(diào)性性最最值值RR ZkkxRxx,2,| 且且-1,1-1,1R 2 2 奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)上上遞

15、遞增增22 ,22 kk上上遞遞減減232 ,22 kk遞遞減減上上2 ,2 kk遞遞增增上上2 ,2 kk 上上遞遞增增2,2 kk最大值最大值1,最小值最小值-1最大值最大值1,最小值最小值-1無(wú)最大值和無(wú)最大值和最小值最小值1.1.三角函數(shù)定義域的求法三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域求三角函數(shù)的定義域, ,一般轉(zhuǎn)化為解三角不等式一般轉(zhuǎn)化為解三角不等式( (組組),),而解三角不等式可用單位圓中的三角函數(shù)線而解三角不等式可用單位圓中的三角函數(shù)線或三角函數(shù)的圖象來(lái)解或三角函數(shù)的圖象來(lái)解. .2.2.求三角函數(shù)值域的常用方法求三角函數(shù)值域的常用方法求三角函數(shù)的值域求三角函數(shù)的值域, ,除了前面函數(shù)一章介紹的判別除了前面函數(shù)一章介紹的判別式、重要不等式、單調(diào)性等方法外，結(jié)合三角函式、重要不等式、單調(diào)性等方法外，結(jié)合三角函數(shù)的特點(diǎn)，還有如下常用方法：數(shù)的特點(diǎn)，還有如下常用方法：(1)(1)將所給的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)通過(guò)配方法將所給的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)通過(guò)配方法求值域求值域. .,),sin(sincos,cos,sin)2(222222222babaybayRxxbaxbxayxx 則則如如的的有有界界性性