[理學(xué)]第一章線性空間與線性變換

1、. 第一章 線性空間與線性變換線性空間與線性變換是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論時(shí)經(jīng)常用到的兩個(gè)極其重要的概念本章先簡(jiǎn)要地論述這兩個(gè)概念及其有關(guān)理論，然后再討論兩個(gè)特殊的線性空間，這就是Euclid空間和酉空間§1.1 線性空間線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論的重要基礎(chǔ)，所考慮的數(shù)域是實(shí)數(shù)域(記為)和復(fù)數(shù)域(記為)，統(tǒng)稱數(shù)域一、線性空間的定義及性質(zhì)定義1 設(shè)是一個(gè)非空集合，是一數(shù)域如果存在一種規(guī)則，叫做的加法運(yùn)算：對(duì)于中任意兩個(gè)元素，總有中一個(gè)確定的元素與之對(duì)應(yīng)稱為的和，記為另有一種規(guī)則，叫做對(duì)于的數(shù)乘運(yùn)算：對(duì)于中的任意數(shù)及中任意元素，總有中一個(gè)確定的元素與之對(duì)應(yīng)，叫做與的數(shù)乘

2、，記為而且，以上兩種運(yùn)算還具有如下的性質(zhì)：對(duì)于任意，及，有1)；2)；3)中存在零元素，對(duì)于任何，恒有；4)對(duì)于任何，都有的負(fù)元素，使；5)；6)；(式中是通常的數(shù)的乘法)7)；(式中是通常的數(shù)的加法)8)則稱為數(shù)域上的一個(gè)線性空間，也稱向量空間中所定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算，其中數(shù)乘又稱數(shù)量乘法在不致產(chǎn)生混淆時(shí)，將數(shù)域上的線性空間簡(jiǎn)稱為線性空間需要指出，不管的元素如何，當(dāng)為實(shí)數(shù)域時(shí)，則稱為實(shí)線性空間；當(dāng)為復(fù)數(shù)域時(shí)，就稱為復(fù)線性空間線性空間稱為零空間例1 任何數(shù)域(作為集合)，對(duì)于通常的數(shù)的加法與乘法(作為數(shù)乘)運(yùn)算，都構(gòu)成此數(shù)域上的線性空間例2 實(shí)數(shù)域作為集合，對(duì)于通常的數(shù)的加法及乘

3、法(作為數(shù)乘)運(yùn)算，不能構(gòu)成復(fù)數(shù)域上的線性空間因?yàn)槔? 以數(shù)域上的數(shù)為系數(shù)的多項(xiàng)式稱為數(shù)域上的多項(xiàng)式數(shù)域上的、以為變量的全體多項(xiàng)式的集合記為；次數(shù)小于的全體多項(xiàng)式的集合記為可以證明，對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法及多項(xiàng)式數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成數(shù)域上的線性空間對(duì)于多項(xiàng)式，設(shè)，這里，于是，對(duì)于任何，有易證明線性空間定義中的八條性質(zhì)都成立，因此是上的線性空間類似可證對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法及數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域上的線性空間例4 數(shù)域上的維列(或行)數(shù)組向量的全體所構(gòu)成集合記為，它對(duì)于數(shù)組向量加法、數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成上的線性空間例5 數(shù)域上的矩陣的全體構(gòu)成的集合記為，它對(duì)于矩陣加法、數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成數(shù)域上的線性空間例6 定義在上的實(shí)函數(shù)

4、全體的集合，對(duì)于函數(shù)加法、數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間例7 常系數(shù)二階齊次線性微分方程的解的集合，對(duì)于函數(shù)加法及數(shù)與函數(shù)乘法有：若，則，當(dāng)時(shí)，則，即關(guān)于這兩種運(yùn)算是封閉的，且滿足定義中的八條性質(zhì)，故構(gòu)成了上的線性空間定理1 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，則1) 中零元素惟一；2) 中任一元素的負(fù)元素惟一；，用表示的負(fù)元素；3) ；特別有，；4) 如果，那么證 這里僅證明2)，其余的證明留給讀者去完成假設(shè)有兩個(gè)負(fù)元素與，則，從而二、向量的線性相關(guān)性在線性代數(shù)中，已討論了維數(shù)組向量的性質(zhì)：線性表示，等價(jià)性，線性相關(guān)性等，對(duì)于一般的數(shù)域上的線性空間也有類似結(jié)果定義2 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是中一組向量，是

5、數(shù)域中的數(shù)，如果中向量可以表示為，則稱可由線性表示(線性表出)，或稱是的線性組合定義3 設(shè)與是線性空間中兩個(gè)向量組，如果中每個(gè)向量都可由向量組線性表示，則稱向量組可以由向量組線性表示如果向量組與向量組可以互相線性表示，則稱向量組與向量組是等價(jià)的容易證明向量組之間的等價(jià)具有如下性質(zhì)：(1) 自反性 每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià)；(2) 對(duì)稱性 如果向量組與等價(jià)，那么向量組也與等價(jià)；(3) 傳遞性 若向量組與等價(jià)，而且向量組與等價(jià)，則向量組與等價(jià)定義4 設(shè)為數(shù)域上的線性空間，是中一組向量，如果存在個(gè)不全為零的數(shù)使得，則稱線性相關(guān)；如果向量組不線性相關(guān)，就稱為線性無關(guān)由定義4可得向量組線性相關(guān)定義的另

6、一說法定理 2 設(shè)為數(shù)域上的線性空間，中一個(gè)向量線性相關(guān)的充分必要條件是；中一組向量線性相關(guān)的充分必要條件是其中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合證 如果一個(gè)向量線性相關(guān)，由定義4可知，有，使 ，由定理1 的4)知反之，若，由對(duì)任意數(shù)都有由定義4知，向量線性相關(guān)如果向量組線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)，使得，因?yàn)椴蝗珵榱悖环猎O(shè)，于是上式可改寫為，即向量是其余向量的線性組合反過來，如果向量組中有一個(gè)向量是其余向量的線性組合，譬如說 ，上式可寫為 ，因?yàn)椴蝗珵榱?，由定義4知，向量組線性相關(guān) 例8 實(shí)數(shù)域上線性空間的一組向量(矩陣)是線性無關(guān)的事實(shí)上，如果，即，則因此，滿足的只能全為零，于是線性無關(guān)定理

7、3 設(shè)為數(shù)域上的線性空間，如果中向量組線性無關(guān)，并且可由向量組線性表示，則證采用反證法假設(shè)，因?yàn)橄蛄拷M可由向量組線性表示，即，做線性組合，考慮齊次線性方程組因?yàn)樯鲜鳊R次線性方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，從而有非零解，即我們可找到不全為零的數(shù)，使得因此，向量組線性相關(guān)，這與線性無關(guān)矛盾，于是由定理3直接可得如下結(jié)論推論1 兩個(gè)等價(jià)的線性無關(guān)向量組必含有相同個(gè)數(shù)的向量定理4 設(shè)線性空間中向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則可由線性表示，并且表示法是惟一的證向量組線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)，使，并且；否則向量組線性相關(guān)，這與條件矛盾從而，即可由線性表示假設(shè)可由線性表示為，則因?yàn)橄蛄拷M線性無關(guān)，

8、從而因此，可惟一的表示為的線性組合定義5 設(shè)是線性空間中一組向量，如果中存在個(gè)線性無關(guān)的向量，并且中任一向量都可由向量組線性表示，則稱向量組為向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，數(shù)稱為向量組的秩，記為一般說來，向量組的極大線性無關(guān)組不惟一，但是每一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)由等價(jià)的傳遞性可知，一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組都是等價(jià)的，并且任意兩個(gè)等價(jià)向量組的極大線性無關(guān)組也等價(jià)由推論1知，一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量，即向量組的秩是惟一的，并且等價(jià)的向量組具有相同的秩三、基與維數(shù)現(xiàn)在引入線性空間的基與維數(shù)的概念，它是線性空間的重要屬性定義6 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，如果中存

9、在個(gè)向量，滿足 1) 線性無關(guān)； 2) 中任何向量均可由線性表示即存在，使得，則稱為的一組基(或基底)，基中向量的個(gè)數(shù)稱為線性空間的維數(shù)，記為維或若，稱為有限維線性空間，否則，稱為無限維線性空間，本書主要討論有限維線性空間關(guān)于線性空間的基與維數(shù)，有(1) 維線性空間中任一向量必可由的基線性表示，并且表示法惟一(2) 線性空間的基(只要存在)必不惟一(3) 有限維線性空間的維數(shù)是惟一確定的定理5 維線性空間中任意個(gè)線性無關(guān)的向量均可構(gòu)成一組基證設(shè)是維線性空間，是的一組基，是中一個(gè)線性無關(guān)的向量組為證是基，只須證明中任一向量可由線性表示此時(shí)，向量組中每個(gè)向量都可由基線性表示這是個(gè)向量被個(gè)向量線性表

10、示的情況，即知，線性相關(guān)再由定理4，便知可由線性表示，定理得證例9 求實(shí)數(shù)域上線性空間的維數(shù)和一組基解 考慮中向量組顯然滿足 1) 線性無關(guān)； 2) 對(duì)于中任一向量，有由定義6知為的一組基，從而的維數(shù)為3例10 求數(shù)域上線性空間的維數(shù)和一組基解 中向量組 ，顯然滿足1) 線性無關(guān)，2) 對(duì)于中任一元素，有，于是知為的一組基，從而類似可知，線性空間的維數(shù)為，其一組基為 ，其中是矩陣，它的()元素為1，其余全為0例11 設(shè)是二階實(shí)對(duì)稱矩陣全體的集合，對(duì)于通常的矩陣加法、矩陣數(shù)乘兩種運(yùn)算構(gòu)成的實(shí)數(shù)域上的線性空間，求出的維數(shù)和一組基解 中一般元素可表示為，所在位置各體現(xiàn)一個(gè)自由度考慮中向量組 ，滿足

11、1) 線性無關(guān)； 2) 對(duì)中任一矩陣，有，可見為的一組基，四、坐標(biāo)與坐標(biāo)變換定義7 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是的一組基，對(duì)于中任一向量，有數(shù)域中惟一的一組數(shù)，使 ，稱有序數(shù)組為向量在基下的坐標(biāo)，記為如果借用矩陣乘法的形式，記，則的坐標(biāo)可以方便地用一個(gè)維列(數(shù)組向量)表示出來例12 中向量在基下的坐標(biāo)為 例13 設(shè)是二階實(shí)對(duì)稱矩陣全體的集合，對(duì)于矩陣加法與矩陣數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，求中向量在基 下的坐標(biāo)解 因?yàn)椋栽诨碌淖鴺?biāo)為引理1 在維線性空間中，對(duì)于任一組基，向量為零向量的充分必要條件是的坐標(biāo)為引理2 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，在基下，如果的坐標(biāo)記為，的坐標(biāo)記為，則1) 的坐標(biāo)為

12、；2) 的坐標(biāo)為證 設(shè)，便有，于是，可見的坐標(biāo)為對(duì)任意，有，故的坐標(biāo)為定理6 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，在的一組基之下，向量組線性相關(guān)的充分必要條件是它們的坐標(biāo)(作為數(shù)域上的維數(shù)組向量)線性相關(guān)證 利用引理1，2，便知以下四種說法等價(jià) 中向量組線性相關(guān) 有數(shù)域中不全為零的數(shù)，使 有數(shù)域中不全為零的數(shù)使 ，這里 數(shù)域上的維數(shù)組向量線性相關(guān)設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，及 是的兩組基，并設(shè) (1)若令，則中第列恰是向量在基下的坐標(biāo)，矩陣是惟一確定的，并且是可逆的，把(1)式形式地表達(dá)為 (2)把(2)式稱為基變換公式，其中的階矩陣稱為由基到基的過渡矩陣(或稱變換矩陣)在(2)式兩端同時(shí)右乘，便得 這說明由

13、基到基的過渡矩陣恰是由基到的過渡矩陣的逆矩陣下面研究同一向量在兩組基下的坐標(biāo)間的關(guān)系設(shè)基與之間的關(guān)系如(2)式，向量在這兩組基下的坐標(biāo)分別為，于是，有根據(jù)向量在取定基下坐標(biāo)的惟一性，得， (3)或?qū)懗?(3)(3)式或(3)式叫做坐標(biāo)變換公式定理7 在維線性空間中，設(shè)向量在兩組基及之下的坐標(biāo)分別為及，如果兩組基向量的變換公式如(2)，則坐標(biāo)變換公式為(3)或(3)例14 在線性空間中，求出由基到基的變換公式，并求向量在基下的坐標(biāo)解 首先容易得到由基到基的變換公式為 ，其中 ，可求得于是，由基到基的變換公式為又因?yàn)橄蛄吭诨碌淖鴺?biāo)顯然為，依坐標(biāo)變換公式便有例15 對(duì)于數(shù)域上的線性空間，證明是一組

14、基，并求在該基下的坐標(biāo)解 取基，則有即，過渡矩陣故是一組基因?yàn)樵谙碌淖鴺?biāo)為，則在下的坐標(biāo)為例16 已知矩陣空間的兩組基() ；() ，求由基()到基()的過渡矩陣解 為了計(jì)算簡(jiǎn)單，采用中介基方法引進(jìn)的簡(jiǎn)單基() ，直接寫出由基()到基()的過渡矩陣，即再寫出由基()到基()的過渡矩陣，即所以有 于是得由基()到基()的過渡矩陣§1.2 線性子空間一、線性子空間的概念在通常的三維幾何空間中，考慮過原點(diǎn)的一條直線或一個(gè)平面不難驗(yàn)證這條直線或這個(gè)平面上的所有向量對(duì)于向量加法及數(shù)乘運(yùn)算，分別形成一個(gè)一維和二維的線性空間這就是說，它們一方面都是三維幾何空間的一部分，另一方面它們自身對(duì)于原來的運(yùn)

15、算也都構(gòu)成一個(gè)線性空間針對(duì)這種現(xiàn)象，引入下面定義定義8 設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個(gè)非空子集合，且對(duì)中已有的線性運(yùn)算滿足以下條件(1) 對(duì)任意的，有，(2) 對(duì)任意的，有，則稱為的線性子空間或子空間例如，階齊次線性方程組的解空間是的子空間值得指出，線性子空間也是線性空間這是因?yàn)闉榈淖蛹?，所以中的向量不僅對(duì)線性空間已定義的線性運(yùn)算封閉，而且還滿足相應(yīng)的八條運(yùn)算律容易看出，每個(gè)非零線性空間至少有兩個(gè)子空間，一個(gè)是它自身，另一個(gè)是僅由零向量所構(gòu)成的子集合，稱后者為零子空間它們統(tǒng)稱為平凡子空間由于線性子空間也是線性空間，因此，前面引入的關(guān)于維數(shù)、基和坐標(biāo)等概念，亦可應(yīng)用到線性子空間中去由于零子空間不含

16、線性無關(guān)的向量，因此它沒有基，規(guī)定其維數(shù)為零因?yàn)榫€性子空間中不可能比整個(gè)線性空間中有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量，所以，任何一個(gè)線性子空間的維數(shù)不大于整個(gè)線性空間的維數(shù)，即有 (1) 例如，階齊次線性方程組當(dāng)其系數(shù)矩陣的秩為時(shí)，其解空間的維數(shù)小于的維數(shù) 下面討論線性子空間的生成問題 設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一組向量，其所有可能的線性組合的集合是非空的，而且容易驗(yàn)證對(duì)的線性運(yùn)算是封閉的，因而是的一個(gè)線性子空間這個(gè)子空間稱為由生成(或張成)的子空間，記為 (或 ) (2) 在有限維線性空間中，它的任何一個(gè)子空間都可以由式()表示事實(shí)上，設(shè)是的子空間， 當(dāng)然是有限維的，如果是的一個(gè)基，那么有 (3)特別地

17、，零子空間就是由零元素生成的子空間矩陣的值域和核空間(零空間)的理論，在線性最小二乘問題和廣義逆矩陣的討論中都占有重要地位，現(xiàn)定義如下定義9 設(shè)，以表示的第個(gè)列向量，稱子空間為矩陣的值域(列空間)，記為 (4) 由前面的論述及矩陣秩的概念可知，且有 還可以這樣生成：令，則，這表明為的列向量組的線性組合反之，若為的列向量組的線性組合，則可見所有乘積之集合與的列向量組的線性組合的集合相同，從而有 (5) 同樣可以定義的值域(行空間)為 ， (6)且有定義10 設(shè)，稱集合為的核空間(零空間)，記為，即 (7)顯見是齊次線性方程組的解空間，它是的一個(gè)子空間的核空間的維數(shù)稱為的零度，記為，即 例1 已知

18、，求的秩及零度解 記，顯然有，即的三個(gè)列向量線性相關(guān)但的任何兩個(gè)列向量均線性無關(guān)，故又由可求出為任意參數(shù)，從而有同樣可以求得由例1可見，的列數(shù)，而這一事實(shí)具有一般性，即若，則有下面的一般公式 ， (8) (9)事實(shí)上，因?yàn)榈慕饪臻g的維數(shù)為，從而式(8)成立；又因，由式(8)減去上式便得式(9) 值得指出的是，當(dāng)時(shí)，同樣有第一節(jié)中定義6和定義7，且式(8)與(9)仍成立 定理 設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個(gè)維子空間，是的基，則這個(gè)基向量必可擴(kuò)充為的一個(gè)基換言之，在中必可找到個(gè)向量，使得是的一個(gè)基證 對(duì)維數(shù)差作歸納法當(dāng)時(shí)，定理顯然成立，因?yàn)橐呀?jīng)是的基現(xiàn)在假定時(shí)定理成立，考慮的情形既然還不是的基，但它又

19、是線性無關(guān)的，則由定義6可知，在中至少有一個(gè)向量不能被線性表出，把添加進(jìn)去，必定是線性無關(guān)的(因?yàn)椋艟€性無關(guān)，但線性相關(guān)，那么可以被線性表出，且表示法惟一)由式(3)知子空間是維的因?yàn)?，由歸納法假定知的基可以擴(kuò)充為的基，歸納法完成二、子空間的交與和 前面討論了由線性空間的元素生成子空間的方法與理論這里將要討論的子空間的交與和，可以視為由子空間生成的子空間首先證明下面的定理 定理9 如果是數(shù)域上的線性空間的兩個(gè)子空間，那么它們的交集也是的子空間證 因?yàn)?，所以于是是非空的又若，則因都是子空間，故，即又因?qū)θ我獾?，故所以是的子空間稱為子空間的交 由集合的交的定義可以推知，子空間的交滿足交換律與結(jié)

20、合律，即有， 定義11 設(shè)都是數(shù)域上的線性空間的子空間，則所有這樣的元素的集合稱為的和，記為，即 定理10 如果都是數(shù)域上的線性空間的子空間，那么它們的和也是的子空間證 顯然非空又對(duì)任意向量，設(shè)，則有，這就證明了是的子空間 由子空間的和的定義可以推知，子空間的和適合交換律與結(jié)合律，即有 ， 例如，在線性空間中，表示過原點(diǎn)的直線上所有向量形成的子空間表示另一條過原點(diǎn)的直線上所有向量形成的子空間顯然是由與交點(diǎn)(原點(diǎn))形成的零子空間；是在由與所決定的平面上全體向量形成的子空間 子空間的交與和可視為子空間之間的兩種運(yùn)算 如果子空間，那么這就是說的子空間是的子空間；換言之，是包含在中的最大子空間如果子空

21、間，那么這就是說包含的子空間也包含；或者說是包含的最小子空間關(guān)于兩個(gè)子空間的交與和的維數(shù)，有如下的定理定理11 (維數(shù)公式)如果是數(shù)域上的線性空間的兩個(gè)子空間，那么有下面公式 (10) 證 設(shè)需要證明 當(dāng)時(shí)，由知，再由，可得，從而，故同理，當(dāng)時(shí)，式(10)亦成立當(dāng)，且時(shí)，設(shè)為的基由定理8，將它依次擴(kuò)充為的基 只要證明向量組是的一個(gè)基，這樣一來， 的維數(shù)就等于，則式(10)成立因?yàn)橹腥我幌蛄靠捎删€性表出，所以也可由線性表出同理中任一向量也可由它們線性表出于是有還須證明這個(gè)向量線性無關(guān)假定，令，則由第一等式有；由第二等式有，因此有，即可由線性表出，令，則有但是的基，因此它們線性無關(guān)，所以有，從而于

22、是又有 ，但是的基，故它們線性無關(guān)，從而又有 這就證明了線性無關(guān)，因而它是的基 式(10)表明，和空間的維數(shù)往往要比空間維數(shù)的和小 給出和空間時(shí)，只知道其任一向量均可表示為的和，即但是，一般說來這種表示法并不是惟一的例如，在中，若表示與所生成的子空間；表示與所生成的子空間則其和中的零向量，一方面可表示為，即中的零向量與中的零向量之和，另一方面，零向量又可表示為 ，這就說明零向量的表示法不惟一針對(duì)這種現(xiàn)象，作如下定義 定義12 如果中的任一向量只能惟一地表示為子空間的一個(gè)向量與子空間的一個(gè)向量的和，則稱為與的直和或直接和，記為 定理12 和為直和的充要條件是 證 充分性 設(shè)，對(duì)，若有；，則有，即

23、 也就是，于是的分解式惟一，為直和 必要性 假定為直和，如果不為零空間，則在中至少有一向量因是線性空間，故有今對(duì)中的零向量既有，又有這與是直和的假定矛盾 推論1 設(shè)都是線性空間的子空間，令，則的充要條件為 (11)由定理12知，為直和的充要條件是這與等價(jià)，也就是與等價(jià) 推論2 如果為的基，為的基，且為直和，則，是的基證 ，是的個(gè)向量，只需證明它們線性無關(guān)即可設(shè)一組數(shù)，使，則有 故，也就是，線性無關(guān) 子空間的直和概念可以推廣到多個(gè)子空間的情形：設(shè)是線性空間的子空間如果和中每個(gè)向量的分解式，是惟一的，則稱該和為直和，記為§1.3 線性變換及其矩陣 線性空間是某類客觀事物從量的方面的一個(gè)抽

24、象，而線性變換則研究線性空間中元素之間的最基本聯(lián)系，本節(jié)介紹線性變換的基本概念，并討論它與矩陣之間的聯(lián)系一、線性變換及其運(yùn)算 定義13 對(duì)于線性空間，如果存在一種規(guī)則：對(duì)于中每個(gè)元素，都有中一個(gè)確定元素與之對(duì)應(yīng)，則稱為線性空間的一個(gè)變換，并把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系記為， 稱為在變換下的象，稱為在變換下的一個(gè)原象1 中所有元素在變換下的象所成的集合稱為變換的象集(或值域)，記為顯然， 定義14設(shè)都是線性空間的變換，如果對(duì)于任意的，總有，則說變換與變換相等，記作 2 幾個(gè)特殊的變換 恒等變換：，； 零變換：，； 數(shù)乘變換：，3 設(shè)、都是線性空間的變換可定義與的和變換及乘積變換為：，；，4 如果是數(shù)域上的線性

25、空間，對(duì)于中的數(shù)及的變換，可定義的數(shù)乘變換為定義15 對(duì)于線性空間的變換，若有的變換，使，則稱為可逆變換，稱為的逆變換，記為定義16 設(shè)是數(shù)域上的線性空間，是的一個(gè)變換如果對(duì)于中任意元素以及數(shù)域中任意的數(shù)，總有 ， (1) ， (2) 則稱為線性空間的一個(gè)線性變換 如果線性空間的線性變換還是可逆變換，則稱為的一個(gè)可逆線性變換 5 (數(shù)域上的)線性空間的線性變換具有如下一些基本性質(zhì) 證， 線性變換保持線性組合關(guān)系不變，即對(duì)中任何向量及數(shù)域中任何數(shù)總有 線性變換把線性相關(guān)組化為線性相關(guān)組 證若中向量線性相關(guān)，則有中不全為零的數(shù)使，于是， 利用、，上式即為 說明是的一個(gè)線性相關(guān)組 若、都是線性變換，

26、則+，也都是線性變換證對(duì)任意的及任意的，有； 所以+為線性變換類似可以證明為線性變換再由，而是線性變換，可知亦為線性變換 線性變換滿足如下運(yùn)算律：對(duì)于線性空間的線性變換，及數(shù)域上的數(shù)，總有 若是可逆線性變換，則是可逆線性變換證只需證為線性變換，對(duì)于線性空間中的任意向量有以作用等式兩端得 又，對(duì)于中任意向量及數(shù)域中的任意數(shù)， ，以作用兩端得 于是知為線性變換，從而是可逆線性變換例1 在線性空間中，求微分是一個(gè)線性變換，這里用表示，即事實(shí)上，對(duì)任意的，及，有例2 定義在閉區(qū)間上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)的集合構(gòu)成上的一個(gè)線性空間，在上定義變換，即 則是的一個(gè)線性變換二、線性變換的矩陣表示設(shè)是數(shù)域上的維線性空

27、間，是的一組基首先說明線性空間的一個(gè)線性變換，可以由它對(duì)基的作用完全確定即已知將化為，則對(duì)中任意向量 ，必有 這說明被完全確定由的任意性，知線性變換被完全確定了 從另一個(gè)角度看，作為中向量，又可以由基惟一地線性表示，設(shè) (3)若記，則(3)式可表示為 (4)引進(jìn)記號(hào)用來表示，故()又可表示為 (5) (5)式中的階矩陣稱為線性變換在基下的矩陣 顯然，當(dāng)確定時(shí)，它在取定基下的矩陣是被惟一決定的事實(shí)上，的第列正是在基下的坐標(biāo)反過來，若給定數(shù)域上一個(gè)階矩陣，可以證明上存在惟一的線性變換，使得在基下的矩陣恰為證明過程如下：先構(gòu)造的一個(gè)變換，再證明它是線性變換，并且是滿足(5)式的惟一的線性變換記 對(duì)于

28、中向量 ，令 ，顯然是的一個(gè)變換還滿足1)對(duì)于中任意向量，若 ， ，按的定義應(yīng)有 ， ，而 ，于是又有 ，顯然滿足 2)對(duì)于任意的，及，便有 ， ， 可見由1)、2)即知是的線性變換下面證明線性變換在基下的矩陣恰為，即證(5)式成立事實(shí)上，因?yàn)?，故?即知(5)式成立由于線性變換對(duì)基的作用已經(jīng)由，完全確定，所以上述滿足(5)式的線性變換是惟一的 總之，在線性空間的取定基之下，的線性變換與數(shù)域上的階矩陣相互惟一決定也可以說，在取定基之下，的線性變換與上階矩陣一一對(duì)應(yīng)，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如(5)所示例3 對(duì)于線性空間，已知為求導(dǎo)數(shù)的線性變換：在基下，因?yàn)椋?所以在基下的矩陣為 即有 例4維線性空間的線性變

29、換為數(shù)乘變換的充分必要條件是在的任一基下的矩陣為階數(shù)量矩陣特別地，線性變換為零變換的充分必要條件是它在任一基下的矩陣為零矩陣；線性變換為恒等變換的充分必要條件是它在任一基下的矩陣為單位矩陣 證如果，則有，易知在基下的矩陣為 反過來，如有，即有 ，對(duì)于任意的，設(shè) ，則有 由的任意性，知零變換和恒等變換不過是數(shù)乘變換當(dāng)及時(shí)的特例例5在取定基下，維線性空間的線性變換與數(shù)域上的階矩陣是一一對(duì)應(yīng)的若設(shè)線性變換、在基下的矩陣分別為，證明+，及在基下的矩陣恰為+，及證 ， ，可知 說明在基下的矩陣恰為+ 類似可證，在基下的矩陣為， 定理13 設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，在取定基之下，的線性變換與上階矩陣一一對(duì)應(yīng)

30、，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系保持加法、保持乘法、保持?jǐn)?shù)乘 定理14 設(shè)線性空間的線性變換在基下的矩陣為，則可逆的充分必要條件是可逆并且，當(dāng)可逆時(shí)，在基下的矩陣恰是 證如果線性變換可逆，可設(shè)在基下的矩陣為，于是在基下的矩陣為因?yàn)?，由?知，故可逆，且，即說線性變換在基下的矩陣恰是反之，若線性變換在基下的矩陣是可逆的，可設(shè)在基下與矩陣相應(yīng)的線性變換為于是線性變換在基下的矩陣應(yīng)為再由例2知同理可證，故知可逆，且例6對(duì)線性空間，已知為求導(dǎo)數(shù)的線性變換，在基下，因?yàn)?，證明不是可逆線性變換；而是可逆的線性變換又，對(duì)于中的向量，求出 解 在基下的矩陣為，顯然不可逆，故由定理14知不是可逆的線性變換因?yàn)楹愕茸儞Q是線性變換

31、并且在任一基下的矩陣都是單位矩陣故知(作為兩個(gè)線性變換之和)為線性變換，根據(jù)定理13又知在基下的矩陣為 因?yàn)榭赡妫啥ɡ?4知為可逆線性變換故 經(jīng)計(jì)算得 由(6)式可得 ，故 定理15 設(shè)是線性空間的一組基，線性變換在該基下的矩陣為如果中向量在這組基下的坐標(biāo)為，則在該基下的坐標(biāo)為證設(shè)，即，于是 可見恰是在基下的坐標(biāo)例7利用定理15計(jì)算例6中的解在基下的坐標(biāo)為，則在該基下的坐標(biāo)為 故有 定理16 同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的具體地說，如果線性空間的線性變換在兩組基及下的矩陣分別是和，由到的變換矩陣為，則證 ， ，(7) ，此時(shí) 于是 與(7)式對(duì)照，注意到線性變換在取定基下的矩陣是惟一的

32、，即知三、特征值與特征向量線性變換的特征值與特征向量對(duì)于線性變換的研究，起著十分重要的作用，而且在物理、力學(xué)和工程技術(shù)中具有實(shí)際的意義定義17 設(shè)是數(shù)域上的線性空間的線性變換，且對(duì)中某一數(shù)，存在非零向量，使得 成立，則稱為的特征值，為的屬于的特征向量下面討論特征值和特征向量的求法設(shè)是數(shù)域上的維線性空間，是的一組基，線性變換在這組基下的矩陣為如果是的特征值，是相應(yīng)的特征向量，則 把它代入(8)， 由于線性無關(guān)，所以 ， 這說明特征向量的坐標(biāo)滿足齊次線性方程組 (11) 因?yàn)?，所以，即齊次線性方程組(11)有非零解方程組(11)有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣行列式為零，即 定義18 設(shè)是數(shù)域

33、上的階矩陣，是一個(gè)文字，矩陣稱為的特征矩陣，其行列式稱為的特征多項(xiàng)式方程稱為的特征方程，它的根稱為的特征根(或特征值)以的特征值代入齊次線性方程組(11)所得的非零解稱為對(duì)應(yīng)的特征向量設(shè)線性空間的線性變換在任意取定的某一組基下的矩陣為如果是線性變換的特征值，則是矩陣的特征值；反過來，如果是矩陣的特征值，即，則齊次線性方程組(11)有非零解，則以為坐標(biāo)的非零向量滿足(8)，即是線性變換的特征值，是的屬于特征值的一個(gè)特征向量因此，線性變換的特征值、特征向量的性質(zhì)可由矩陣的特征值、特征向量的性質(zhì)得到例8 設(shè)線性變換在基下的矩陣是，求的特征值與特征向量解 矩陣的特征多項(xiàng)式為 ，所以矩陣(即線性變換)的

34、特征值是(二重)和對(duì)應(yīng)于特征值，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為 因此，線性變換屬于特征值的兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量為，對(duì)應(yīng)于特征值，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為，因此線性變換屬于特征值3的一個(gè)線性無關(guān)的特征向量是例9 在維線性空間中，線性變換 在基下的矩陣是 的特征多項(xiàng)式為 所以矩陣(即線性變換)的特征值是(重)，相應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為因此，線性變換屬于特征值0的線性無關(guān)特征向量是任一非零常數(shù)對(duì)線性空間上的線性變換的任一特征值，所有滿足的向量所組成的集合，也就是的屬于特征值的全部特征向量再添上零向量所組成的集合，記為，即設(shè)對(duì)應(yīng)矩陣，則也是的一個(gè)特征值，我們也記，則是(或)的一個(gè)子空間，稱為(

35、或)的屬于的特征子空間顯然就是(或)的屬于的線性無關(guān)特征向量的最大數(shù)目，稱為特征值的幾何重?cái)?shù)例10 設(shè)線性空間，是的線性變換對(duì)于的一組基，有1)求在基下的矩陣；2)求的全部特征根及特征向量解1)易知在基下的矩陣為由基到基的變換矩陣為，即有經(jīng)計(jì)算可得 由定理16可得在基下的矩陣2)前面已求得在基下的矩陣再計(jì)算出的特征多項(xiàng)為因此的特征根(亦即的特征根)為 (三重)，對(duì)于，求解方程組得基礎(chǔ)解系所以，相應(yīng)于特征根的全部特征向量為 ， 為任意非零實(shí)數(shù)于是，線性變換相應(yīng)于特征根的全部特征向量為， 為任意非零實(shí)數(shù)對(duì)于，可求得相應(yīng)與特征根的全部特征向量為，為任意非零實(shí)數(shù)故，相應(yīng)于特征根的全部特征向量為， 為任

36、意非零實(shí)數(shù)四、不變子空間下面介紹線性變換的不變子空間概念，討論線性變換與子空間的關(guān)系定義19 設(shè)是數(shù)域F上的線性空間的線性變換，是的子空間，如果對(duì)任意，都有，則稱是的不變子空間例如，線性空間的任何一個(gè)子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間，這是因?yàn)樽涌臻g對(duì)于數(shù)量乘法是封閉的例11整個(gè)線性空間和零子空間，對(duì)于每個(gè)線性變換而言都是的不變子空間，稱和為的平凡不變子空間例12設(shè)是數(shù)域上的線性空間的一個(gè)線性變換，證明的象集(又稱值域)(或記)是的一個(gè)子空間證非空顯然對(duì)于中任意的向量，及數(shù)域中任意數(shù)，利用線性變換的條件可得：，便知為的子空間例13對(duì)于數(shù)域上的線性空間的線性變換，集合稱為線性變換的核，也記為或證明它

37、是的一個(gè)子空間證 因，故，非空及，則由，得，因此，可見，是的子空間例14試證線性空間上線性變換的值域與核Ker()都是的不變子空間證任取，因?yàn)椋允堑牟蛔冏涌臻g任取Ker ()，因?yàn)镵er()，所以Ker()是的不變子空間例15設(shè)是數(shù)域上的線性子空間，是的線性變換對(duì)于的特征根，記，則是的不變子空間證首先，因?yàn)?，并且?duì)加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉，所以是的一個(gè)子空間又對(duì)于，由的定義，有，而是子空間，即，所以，可見為的不變子空間稱為相應(yīng)于特征根的特征子空間由的關(guān)于的所有特征向量和0組成定理17 線性變換的不變子空間的和與交都是的不變子空間證設(shè)都是的不變子空間，則，都是的不變子空間在中任取一向量，其中，因此，是的不變子空間任取，則，則，所以，因此，是的不變子空間下面給出線性空間的有限維子空間是的不變子空間的一個(gè)判別法則定理18設(shè)線性空間的子空間，則是線性變換的不變子空間的充分必要條件是證必要性是顯然的充分性 對(duì)任意，則，從而，所以是的不變子空間習(xí) 題 一1、檢驗(yàn)下列集合對(duì)于指明的數(shù)域和指定的運(yùn)算，是否構(gòu)成線性空間：1) 集合：數(shù)域上的所有5次多項(xiàng)式；數(shù)域：；運(yùn)算：多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘2) 集合：階實(shí)矩陣的全體；數(shù)域：實(shí)數(shù)域；運(yùn)算：矩陣的加法及數(shù)