電磁學(xué)計(jì)算方法的比較

1、電磁學(xué)計(jì)算方法的比較| <<>>摘 要：介紹了電磁學(xué)計(jì)算方法的研究進(jìn)展和狀態(tài)，對(duì)幾種富有 代表性的算法做了介紹，并比較了各自的優(yōu)勢(shì)和不足，包括矩量法、 有限元法、時(shí)域有限差分方法以及復(fù)射線(xiàn)方法等。關(guān)鍵詞：矩量法；有限元法；時(shí)域有限差分方法；復(fù)射線(xiàn)方法1引言1864年Maxwell在前人的理論（高斯定律、安培定律、法拉第 定律和自由磁極不存在）和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建立了統(tǒng)一的電磁場(chǎng)理論， 并用數(shù)學(xué)模型揭示了自然界一切 宏觀(guān)電磁現(xiàn)象所遵循的普遍規(guī)律， 這就是著名的Maxwell方程。在11種可分離變量坐標(biāo)系求解Maxwel l方程組或者其退化形式，最后得到解析解。這 種方法可以得

2、到問(wèn) 題的準(zhǔn)確解，而且效率也比較高，但是適用范圍太窄，只能求解具有 規(guī)則邊界的簡(jiǎn)單問(wèn)題。對(duì)于不規(guī)則形狀或者任意形狀邊界則需要比較 高的數(shù)學(xué) 技巧，甚至無(wú)法求得解析解。20世紀(jì)60年代以來(lái)，隨著 電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，一些電磁場(chǎng)的數(shù)值計(jì)算方法發(fā)展起來(lái)，并得 到廣泛地應(yīng)用，相對(duì)于經(jīng)典電磁理論 而言，數(shù)值方法受邊界形狀的 約束大為減少，可以解決各種類(lèi)型的復(fù)雜問(wèn)題。但各種數(shù)值計(jì)算方法 都有優(yōu)缺點(diǎn)，一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題往往難以依靠一種單一方法解決，常 需要將多種方法結(jié)合起來(lái)，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，因此混和方法日益受到人 們的重視。本文綜述了國(guó)內(nèi)外計(jì)算電磁學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r，對(duì)常用的電磁計(jì)算方 法做了分類(lèi)。2電磁場(chǎng)數(shù)值方法的

3、分類(lèi)電磁學(xué)問(wèn)題的數(shù)值求解方法可分為時(shí)域和頻域2大類(lèi)。頻域技術(shù) 主要有矩量法、有限差分方法等，頻域技術(shù)發(fā)展得比較早，也比較成 熟。時(shí)域法主要有時(shí)域差分技 術(shù)。時(shí)域法的引入是基于計(jì)算效率的 考慮，某些問(wèn)題在時(shí)域中討論起來(lái)計(jì)算量要小。例如求解目標(biāo)對(duì)沖激 脈沖的早期響應(yīng)時(shí)，頻域法必須在很大的帶寬內(nèi)進(jìn)行多次采 樣計(jì)算， 然后做傅里葉反變換才能求得解答，計(jì)算精度受到采樣點(diǎn)的影響。若 有非線(xiàn)性部分隨時(shí)間變化，采用時(shí)域法更加直接。另外還有一些高頻 方法，如GTD, UTD和射線(xiàn)理論。從求解方程的形式看，可以分為積分方程法(IE)和微分方程法 (DE) °IE和DE相比，有如下特點(diǎn)：IE法的求解區(qū)域維

4、數(shù)比DE法 少一維，誤差限于求解 區(qū)域的邊界，故精度高；IE法適合求無(wú)限域 問(wèn)題，DE法此時(shí)會(huì)遇到網(wǎng)格截?cái)鄦?wèn)題；IE法產(chǎn)生的矩陣是滿(mǎn)的，階 數(shù)小，DE法所產(chǎn)生的是稀疏矩陣，但階數(shù)大；IE法難以處理非均勻、 非線(xiàn)性和時(shí)變媒質(zhì)問(wèn)題，DE法可直接用于這類(lèi)問(wèn)題1。3幾種典型方法的介紹有限元方法是在20世紀(jì)40年代被提出，在50年代用于飛機(jī)設(shè) 計(jì)。后來(lái)這種方法得到發(fā)展并被非常廣泛地應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題中。 目前，作為廣泛應(yīng)用于工程和數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種通用方法，有限元法已 非常著名。有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)的一種數(shù)值計(jì)算方法。其定解問(wèn)題為：應(yīng)用變分原理，把所要求解的邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問(wèn)題， 利用對(duì)區(qū)域D

5、的剖分、插值，離散化變分問(wèn)題為普通多元函數(shù)的極值 問(wèn)題，進(jìn)而得到一組多元的代數(shù)方程組，求解代數(shù)方程組就可以得到 所求邊值問(wèn)題的數(shù)值解。(1)時(shí)域有限差分方法時(shí)域有限差分(FDTD)是電磁場(chǎng)的一種時(shí)域計(jì)算方法。傳統(tǒng)上電 磁場(chǎng)的計(jì)算主要是在頻域上進(jìn)行的，這些年以來(lái)，時(shí)域計(jì)算方法也越 來(lái)越受到重視。他已在很多方面顯示出獨(dú)特的優(yōu)越性，尤其是在解 決有關(guān)非均勻介質(zhì)、任意形狀和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的散射體以及輻射系統(tǒng)的電 磁問(wèn)題中更加突出。FDTD法直接求解依賴(lài)時(shí)間變量的麥克斯韋旋度 方程，利用二階精度的中心差分近似把旋度方程中的微分算符直接轉(zhuǎn) 換為差分形式，這樣達(dá)到在一定體積內(nèi)和一段時(shí)間上對(duì)連續(xù)電磁場(chǎng)的 數(shù)據(jù)取樣壓

6、縮。電場(chǎng)和磁場(chǎng)分量在空間被交叉放置，這樣保證在介 質(zhì)邊界處切向場(chǎng)分量的連續(xù)條件自然得到滿(mǎn)足。在笛卡兒坐標(biāo)系電場(chǎng) 和磁場(chǎng)分量在網(wǎng)格單元中的位置是每一磁 場(chǎng)分量由4個(gè)電場(chǎng)分量包 圍著，反之亦然。這種電磁場(chǎng)的空間放置方法符合法拉第定律和安培定律的自然 幾何結(jié)構(gòu)。因此FDTD算法是計(jì)算機(jī)在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)空間中對(duì)連續(xù)的實(shí)際 電磁波的傳播過(guò)程在時(shí)間進(jìn)程上 進(jìn)行數(shù)字模擬。而在每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn) 上各場(chǎng)分量的新值均僅依賴(lài)于該點(diǎn)在同一時(shí)間步的值及在該點(diǎn)周?chē)?鄰近點(diǎn)其他場(chǎng)前半個(gè)時(shí)間步的值。這正是電磁場(chǎng)的感應(yīng)原理。這 些 關(guān)系構(gòu)成FDTD法的基本算式，通過(guò)逐個(gè)時(shí)間步對(duì)模擬區(qū)域各網(wǎng)格點(diǎn) 的計(jì)算，在執(zhí)行到適當(dāng)?shù)臅r(shí)間步數(shù)后，即可獲得

7、所需要的結(jié)果。在上述算法中，時(shí)間增量A t和空間增量Ax, A y和A z不是 相互獨(dú)立的，他們的取值必須滿(mǎn)足一定的關(guān)系，以避免數(shù)值不穩(wěn)定。 這種不穩(wěn)定表現(xiàn)為在解顯式 差分方程時(shí)隨著時(shí)間步的繼續(xù)計(jì)算結(jié)果 也將無(wú)限制的67增加。為了保證數(shù)值穩(wěn)定性必須滿(mǎn)足數(shù)值穩(wěn)定條件：用差分方法對(duì)麥克斯韋方程的數(shù)值計(jì)算還會(huì)在網(wǎng)格中引起所模 擬波模的色散，即在FDTD網(wǎng)格中數(shù)字波模的傳播速度將隨波長(zhǎng)、在 網(wǎng)格中的傳播方向以及離散化的 情況而改變。這種色散將導(dǎo)致非物 理原因引起的脈沖波形的畸變、為的各向異性及虛擬的繞射等，因此必須考慮數(shù)值色散問(wèn)題。如果在模擬空間中采用大小不同的網(wǎng)格或 包含不同的介質(zhì)區(qū)域，這時(shí)網(wǎng)格尺寸

8、與波長(zhǎng)之比將是位置的函數(shù)，在 不同網(wǎng)格或介質(zhì)的交界面處將出現(xiàn)非物理的繞射和反射現(xiàn)象，對(duì)此也 應(yīng)該進(jìn)行定量的研究，以保證正確估計(jì)FDTD算法的精度。在開(kāi)放問(wèn) 題中電磁場(chǎng)將占據(jù)無(wú)限大空間，而由于計(jì)算機(jī)內(nèi)存總是有限的，只能 模擬有限空間，因此差分網(wǎng)格在某處必將截 斷，這就要求在網(wǎng)格截 斷處不引起波的明顯反射，使對(duì)外傳播的波就像在無(wú)限大空間中傳播 一樣。這就是在截?cái)嗵幵O(shè)置吸收邊界條件，使傳播到截?cái)嗵幍牟ū贿?界吸 收而不產(chǎn)生反射，當(dāng)然不可能達(dá)到完全沒(méi)有反射，目前已創(chuàng)立 的一些吸收邊界條件可達(dá)到精度上的要求，如Mur所導(dǎo)出的吸收邊界 條件。(2 )復(fù)射線(xiàn)方法復(fù)射線(xiàn)是用于求解波場(chǎng)傳播和散射問(wèn)題的一種高頻近

9、似方法。他 根據(jù)幾何光學(xué)理論和幾何繞射理論的分析方法和計(jì)算公式，在解析延 拓的復(fù)空間中求解復(fù)射線(xiàn)軌跡和 場(chǎng)的振幅和相位，從而直接得出局 部不均勻波(凋落波)的傳播和散射規(guī)律。復(fù)射線(xiàn)方法是包括復(fù)射線(xiàn) 追蹤、復(fù)射線(xiàn)近軸近似、復(fù)射線(xiàn)展開(kāi)以及復(fù)繞射線(xiàn)等處 理技術(shù)在內(nèi) 的一系列處理方法的統(tǒng)稱(chēng)。其共同特點(diǎn)在于：通過(guò)將射線(xiàn)參考點(diǎn)坐標(biāo) 延拓到復(fù)空間而建立了一個(gè)簡(jiǎn)單而統(tǒng)一的實(shí)空間中波束/射線(xiàn)束(B undle ofrays )分析模型；通過(guò)費(fèi)馬原理及其延拓，由基于復(fù)射線(xiàn)追 蹤或復(fù)射線(xiàn)近軸近似的處理技術(shù)，構(gòu)造了射線(xiàn)光學(xué)架構(gòu)下有效的鞍點(diǎn) 場(chǎng)描述方法等。例如，復(fù)射 線(xiàn)追蹤法將射線(xiàn)光學(xué)中使用的射線(xiàn)追蹤 方法和場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算公

10、式直接地解析延拓到復(fù)空問(wèn)，利用延拓后的復(fù)費(fèi)馬 原理進(jìn)行復(fù)射線(xiàn)搜索，從而求出復(fù)射線(xiàn)軌跡和復(fù)射線(xiàn)場(chǎng)。 這一方法 的特點(diǎn)在于可以基于射線(xiàn)光學(xué)方法有效地描述空間中波束的傳播，因 此，提供了一類(lèi)分析波束傳播的簡(jiǎn)便方法。其不足之處是對(duì)每一個(gè)給 定的觀(guān)察點(diǎn)必須進(jìn) 行一次二維或四維的復(fù)射線(xiàn)軌跡搜索，這是一個(gè) 十分花費(fèi)時(shí)間的計(jì)算機(jī)迭代過(guò)程。4幾種方法的比較和進(jìn)展將有限元法移植到電磁工程領(lǐng)域還是二十世紀(jì)六七十年代的事 情，他比較新穎。有限元法的優(yōu)點(diǎn)是適用于具有復(fù)雜邊界形狀或邊界 條件、含有復(fù)雜媒質(zhì)的定解問(wèn)題。這種方法的各個(gè)環(huán)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)標(biāo) 準(zhǔn)化，得到通用的計(jì)算程序，而且有較高的計(jì)算精度。但是這種方法 的計(jì)算程序復(fù)雜

11、冗長(zhǎng)，由于他是區(qū)域性解法，分割的元素?cái)?shù)和節(jié) 點(diǎn) 數(shù)較多，導(dǎo)致需要的初始數(shù)據(jù)復(fù)雜繁多，最終得到的方程組的元數(shù)很 大，這使得計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)，而且對(duì)計(jì)算機(jī)本身的存儲(chǔ)也提出了要求。對(duì) 電磁學(xué)中的許多問(wèn)題，有 限元產(chǎn)生的是帶狀（如果適當(dāng)?shù)亟o節(jié)點(diǎn)編 號(hào)的話(huà)）、稀疏陣（許多矩陣元素是0）。但是單獨(dú)采用有限元法只 能解決開(kāi)域問(wèn)題。用有限元法進(jìn)行數(shù)值分析的第一步是 對(duì)目標(biāo)的離 散，多年來(lái)人們一直在研究這個(gè)問(wèn)題，試圖找到一種有效、方便的離 散方法，但由于電磁場(chǎng)領(lǐng)域的特殊性，這個(gè)問(wèn)題一直沒(méi)有得到很好的 解決。問(wèn)題的關(guān) 鍵在于一方面對(duì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，一般的剖分方法難于 適用；另一方面，由于剖分的疏密與最終所形成的系數(shù)矩陣的存

12、貯量 密切相關(guān)，因而人們采用了許多方法來(lái)減少存 儲(chǔ)量，如多重網(wǎng)格法， 但這些方法的實(shí)現(xiàn)較為困難6。網(wǎng)格剖分與加密是有限元方法發(fā)展的瓶頸之一，采用自適應(yīng)網(wǎng)格 剖分和加密技術(shù)相對(duì)來(lái)說(shuō)可以較好地解決這一問(wèn)題。自適應(yīng)網(wǎng)格剖分 根據(jù)對(duì)場(chǎng)量分布求解后的結(jié)果對(duì) 網(wǎng)格進(jìn)行增加剖分密度的調(diào)整，在 網(wǎng)格密集區(qū)采用高階插值函數(shù)，以進(jìn)一步提高精度，在場(chǎng)域分布變化 劇烈區(qū)域，進(jìn)行多次加密。這些年有限元方法的發(fā)展日益加快，與其他理論相結(jié)合方面也有 了新的進(jìn)展，并取得了相當(dāng)應(yīng)用范圍的成果，如自適應(yīng)網(wǎng)格剖分、三 維場(chǎng)建模求解、耦合問(wèn)題、開(kāi)域問(wèn)題、高磁性材料及具有磁滯飽和 非線(xiàn)性特性介質(zhì)的處理等，還包括一些尚處于探索階段的工作

13、，如擬 問(wèn)題、人工智能和專(zhuān)家系統(tǒng)在電磁裝置優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用、邊基有 限元法等，這些都使得有限元方法的發(fā)展有了質(zhì)的飛躍。矩量法將連續(xù)方程離散化為代數(shù)方程組，既適用于求解微分方 程，又適用于求解積分方程。他的求解過(guò)程簡(jiǎn)單，求解步驟統(tǒng)一，應(yīng) 用起來(lái)比較方便。然而77他需要一定的數(shù)學(xué)技巧，如離散化的程度、 基函數(shù)與權(quán)函數(shù)的選取，矩陣求解過(guò)程等。另外必須指出的是，矩量 法可以達(dá)到所需要的精確度，解析部分簡(jiǎn)單，可計(jì)算量很大，即使 用高速大容量計(jì)算機(jī)，計(jì)算任務(wù)也很繁重。矩量法在天線(xiàn)分析和電磁 場(chǎng)散射問(wèn)題中有比較廣泛地應(yīng)用，已成功用于天線(xiàn)和天線(xiàn)陣的輻射、 散射問(wèn)題、微帶和有耗結(jié)構(gòu)分析、非均勻地球上的傳播及人體

14、中電 磁吸收等。FDTD用有限差分式替代時(shí)域麥克斯韋旋度方程中的微分式，得 到關(guān)于場(chǎng)分量的有限差分式，針對(duì)不同的研究對(duì)象，可在不同的坐標(biāo) 系中建模，因而具有這幾個(gè)優(yōu) 點(diǎn)，容易對(duì)復(fù)雜媒體建模，通過(guò)一次 時(shí)域分析計(jì)算，借助傅里葉變換可以得到整個(gè)同帶范圍內(nèi)的頻率響 應(yīng)；能夠?qū)崟r(shí)在現(xiàn)場(chǎng)的空間分布，精確模擬各種輻射體和散射 體的 輻射特性和散射特性；計(jì)算時(shí)間短。但是FDTD分析方法由于受到計(jì) 算機(jī)存儲(chǔ)容量的限制，其網(wǎng)格空間不能無(wú)限制的增加，造成FDTD方 法不能適用于較大尺寸，也不能適用于細(xì)薄結(jié)構(gòu)的媒質(zhì)。因?yàn)檫@種細(xì) 薄結(jié)構(gòu)的最小尺寸比FDTD網(wǎng)格尺寸小很多，若用網(wǎng)格擬和這類(lèi)細(xì)薄 結(jié)構(gòu)只能減小 網(wǎng)格尺寸，

15、而這必然導(dǎo)致計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量的加大。因 此需要將FDTD與其他技術(shù)相結(jié)合，目前這種技術(shù)正蓬勃發(fā)展，如時(shí) 域積分方程/ FDTD方法，F(xiàn)DTD/ MOM=?。FDTD的應(yīng)用范圍也很廣闊， 諸如手持機(jī)輻射、天線(xiàn)、不同建筑物結(jié)構(gòu)室內(nèi)的電磁干擾特性研究、 微帶線(xiàn)等7。復(fù)射線(xiàn)技術(shù)具有物理模型簡(jiǎn)單、數(shù)學(xué)處理方便、計(jì)算效率高等特 點(diǎn)，在復(fù)雜目標(biāo)散射特性分析等應(yīng)用領(lǐng)域中有重要的研究?jī)r(jià)值。典型 的處理方式是首先將入射平面波離散化為一組波束指向平行的復(fù)源 點(diǎn)場(chǎng)，通過(guò)特定目標(biāo)情形下的射線(xiàn)追蹤、場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算和疊加各射線(xiàn)場(chǎng)的貢獻(xiàn)，可以得到特定觀(guān)察位置處散射場(chǎng)的高頻漸進(jìn)解。目前已 運(yùn)用 復(fù)射線(xiàn)分析方法對(duì)飛行器天線(xiàn)和天線(xiàn)罩（雷達(dá)艙）、（加吸波涂層） 翼身結(jié)合部和進(jìn)氣道以及涂層的金屬平板、角形反射器等典型目標(biāo)散 射特性進(jìn)行了成功的分析。盡管復(fù)射線(xiàn)技術(shù)的計(jì)算誤差可以通過(guò)參 數(shù)調(diào)整得到控制，但其本身是一種高頻近似計(jì)算方法，由于入射波場(chǎng) 的離散和只引入鞍點(diǎn)貢獻(xiàn)，帶來(lái)了不可避免的計(jì)算誤 差?？偟膩?lái)說(shuō) 復(fù)射線(xiàn)方法在目標(biāo)電磁散射領(lǐng)域還是具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，尤其是對(duì)復(fù)雜 目標(biāo)的處理。5 結(jié) 語(yǔ)電磁學(xué)的數(shù)值計(jì)算方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止以上所舉，還有邊界元