直線上地相遇與追及問題

1、第一講 直線上的相遇與追及問題教學目的：1、 學會行程的中，速度、時間、路程三個量的關系2、 掌握相向、背向、同向等概念3、 會運用追及和相遇解決簡單行程問題基本知識點行程三個量的關系公式：路程=速度x時間；路程一時間=速度；路程+速度=時間三個概念：相向而行：面對面而行（如圖）。甲乙 AB同向而行：面朝的方向相同而行（如圖）甲乙 AB背向而行：背靠背方向，方向相反而行（如圖）。 甲乙IAB相遇和追及問題1、相遇問題含義：兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。數量關系：總路程=（甲速+乙速）x相遇時間相遇時間=總路程+ （甲速+乙速）2、追及問題 含義：（甲

2、速+乙速）=總路程+相遇時間兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）作同向運動，在后面的，行進速度要快 些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這 類應用題就叫做追及問題。數量關系：追及路程=（快速慢速）X追及時間追及時間=追及路程+ （快速-慢速）(快速慢速)=追及路程+追及時間3、注意點： 在處理相遇與追及問題的時候，一定要注意公式的使用時二者發(fā)生關系那 一時刻時候所處的狀態(tài)。 在行程問題里面所用的時間都是時間段，不是時間點(非常重要) 。 無論在哪一類行程問題里面，只要是相遇，就與速度和有關，只要是追及， 就

3、與速度差有關。相遇例題：例1南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過 幾小時兩船相遇？解 392 + (28+21) =8 (小時)答：經過8小時兩船相遇。例2小李和小劉在周長為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米,小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到 第二次相遇需多長時間？解“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400X2相遇時間=(400X 2) + ( 5+3) =100 (秒)答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時間。例3甲乙二人同時從兩地騎自

4、行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。解”兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是(3X2)千米，因此，相遇時間=(3X2) + (1513) =3 (小時)兩地距離=(15+13) X 3=84 (千米)答：兩地距離是84千米。追及例題：例1好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解 (1)劣馬先走12天能走多少千米？75 X12=900 (千米)(2)好馬幾天追上劣馬？900 + (120 75)

5、=20 (天)列成綜合算式75 X12+ ( 120 75) =900+ 45=20 (天)答：好馬20天能追上劣馬。例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用 40秒，他們從同一地 點同時出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即 200米，此時小亮跑了( 500 200)米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用:40X (500+ 200)秒，所以小亮的速 度是(500-200) + 40X (500+ 200) =300+100= 3 (米)

6、答：小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人， 敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上 22點接到命令，以每小時30千米的 速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距 60千米，問解放軍幾個小時可以追上 敵人？解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22-16）小時，這段時間敵人 逃跑的路程是10X （22-6）千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知 追及時間=10X （226） +60 + （ 3010） =220+ 20=11 （小時）答：解放軍在11小時后可以追上敵人。例4一輛客車從甲站開往乙站，每小時行 48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時

7、行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的 品E離' o解 這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16X2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為16 X2+ （4840） =4 （小時）所以兩站間的距離為（48+40） X 4=352 （千米）列成綜合算式（48+40） X 16X2+ （48-40） = 88X4 = 352 （千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。例5兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走 90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發(fā)現忘記帶課本， 立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹 妹相遇。問他

8、們家離學校有多遠？解 要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時 問（從出發(fā)到相遇）內哥哥比妹妹多走（180X 2）米，這是因為哥哥比妹妹每分 鐘多走（ 90 60）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為180X2+ （90 60） =12 （分鐘）家離學校的距離為90 X 12180= 900 （米）答：家離學校有900米遠。例6孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了 1千米時，發(fā)現手表慢了 10分鐘，因此立即跑步前進，到學 校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早 9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。解 手

9、表慢了 10分鐘，就等于晚出發(fā)10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到 （105）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了（10-5）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少 9分鐘，由此可知，行1千米， 跑步比步行少用9- （10 5）分鐘。所以步行1千米所用時間為1 + 9 （10-5） =0.25 （小時）=15 （分鐘）跑步1千米所用時間為15 - 9 （10-5） =11 （分鐘）跑步速度為每小時1 + 11/60=1X60/11 = 5.5 （千米）答：孫亮跑步速度為每小時5.5千米。第二講 環(huán)形跑道的相遇與追及教學目的：1、 了解什么是環(huán)形跑道問題2、 掌握環(huán)形跑道上相

10、遇與追及的特點基本知識點1、環(huán)形跑道相遇問題：如上圖，我們可以看到甲、乙兩人背向而行會在圓周上一點相遇， 相遇的 時候他們剛好走過一個圓周的周長，如果在進行多次相遇的時候，與第一次相遇 的情況一樣，新的起點，再次相遇。重點：因此，圓周上的相遇告訴我們，每相遇一次，他們兩個人的路程和為 一個圓周的周長。相遇幾次，就是幾個圓周的周長。由此，也可以建立等量關系， 來進行解題公式：一個圓周的周長=（快速+慢速）X相遇時間2、環(huán)形跑道上的追及問題如上圖，我們可以看到甲、乙兩人同向而行，快的會再一次在圓周上追上 慢的，當追上的時候，快的剛好比慢的多走一個圓周的周長， 如果在進行多次追 及的時候，與第一次相

11、遇的情況一樣，新的起點，再次追及。重點：因此，圓周上的追及告訴我們，每追及一次，快的就應該比慢的多走 一個圓周的周長。追及幾次，就是幾個圓周的周長。由此，也可以建立等量關系， 來進行解題公式：一個圓周的周長=(快速一慢速)X相遇時間1.在400米的環(huán)形跑道上，A、B兩點相距100米，。甲、乙兩人分別從 A、B 兩點同時出發(fā)，按照逆時針方向跑步，甲每秒跑 5米，乙每秒跑4米，每人每跑 100米，都要停10秒鐘。那么，甲追上乙需要的時間是多少秒？答案：假設沒有休息 那么100/ (5 4) =100秒鐘 在100/5=20秒 100/20-1=4 (次)100+4*10=140 秒2 .小明在36

12、0米的環(huán)形跑道上跑一圈，已知他前半時間每秒跑5米，后半時 間每秒跑4米，為他后半路程用了多少時間？答案：x + 4= (360-x) +5X=160 (360+ 2-160) +5+160+4= 44分3 .林琳在450嗎長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知她前一半時間每秒跑 5米，后 一半時間每秒跑4米，那么她的后一半路程跑了多少秒答案：設總時間為X,則前一半的時間為X/2,后一半時間同樣為X/2X/2*5+X/2*4=360X=80總共跑了 80秒前40秒每秒跑5米，40秒后跑了 200米后40秒每秒跑4米，40秒后跑了 160米后一半的路程為360/2=180米后一半的路程用的時間為(200-18

13、0) /5+40=44秒4 .小君在360米長的環(huán)形跑道上跑一圈。已知他前一半時間每秒跑 5米，后 半時間每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒？答案：設時間 X秒5X=360-4X 9X=360 X=40后一半時間的路程=40*4=160 米 后一半路程=360/2=180米 后一半路程用每秒跑5米路程=180-160=20米 后 一半路程用每秒跑5米時間=20/5=4秒 后一半路程時間=4+40=44秒 答：后一半 路程用了 44秒5 .小明在420米長的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑8米，后一半時間每秒跑6米.求他后一半路程用了多少時間？答案：設總用時X秒。前一半時間和后一

14、半時間都是X/2。然后前一半跑8*(X/2)米，后一半跑 6*(X/2)米，總共加起來等于420米。所以列下方程8*(X/2)+6*(X/2)=420. 解得X=60=所以后一半跑了 30秒。又因為后一半為6M/S, 所以后一半跑了 6*30=180M6 .二人沿一周長400米的環(huán)形跑道均速前進，甲行一圈 4分鐘，乙行一圈7 分鐘，他們同時同地同向出發(fā)，甲走 10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面 相遇時二人都要擊掌。問第十五次擊掌時，甲走多長時間乙走多少路程？答案：前10圈甲跑一圈擊掌一次，即10下 此時已跑了 5+5/7圈；后面2 人跑了 2/7時擊掌 一次，然后2人共一圈擊掌1次 耗時(

15、4+2/7) / (1/4+1/7 ) =30/7* (11/28) =165/98; 甲共總走了 40+165/98 H 已走了 (40+165/98) * (400/7) M第三講多人相遇與追及問題教學目的：1、 了解多人相遇與追及的解題技巧。2、 會運用一些其他應用題手段來解決問題?；局R點多人相遇與追及問題，與之前我們所接觸的行程問題有所不同，因為它是三個人或者三個人以上的行程問題，這樣發(fā)現多了很多關系，整體處理起來就比較 難以入手。解決技巧：數學思想就是把復雜問題簡單化，因此，我們可以把多人的看成是兩 個人兩個人的行程關系。對于行程關系，我們前面已經說過了，除了有相遇與追及之外，有

16、時還會出現， 超越與背向而行產生距離。超越的關系：路程公式：（快速-慢速）X超越的時間=拉開的距離 會發(fā)現，超越與追及的公式一樣，因此可以把它們歸為一類背向而行產生距離：公式：（快理+慢速）X相遇時間會發(fā)現，背向而行產生距離與相遇的公式一樣，因此可以珈它們歸為一類。例題解析1、從甲市到乙市有一條公路，它分為三段。在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時 90千米，在第三段上，汽車速度是每小 時50千米。已知第一段公路的長恰好是第三段的 2倍。現有兩輛汽車分別從甲、 乙兩市同時出發(fā)，相向而行，1小時20分后，在第二段的1/3處（從甲到乙方 向的1/3處）相遇。問：甲、乙

17、相距多少千米？2、當兩只小狗剛走完鐵橋長的1/3時，一列火車從后面開來，一只狗向后 跑，跑到橋頭B時，火車剛好到達B;另一只狗向前跑，跑到橋頭 A時，火車也 正好跑到A,兩只小狗的速度是每秒6米，問火車的速度是多少？3、小明沿著向上移動的自動扶梯從頂向下走到底，他走了 150級，他的同 學小剛沿著自動扶梯從底向上走到頂，走了 75級，如果小明行走的速度是小剛 的3倍，那么可以看到的自動撫梯的級數是多少？4、一輛車從甲地開往乙地，如果把車速提高 20%,可以比原定時間提前一 小時到達；如果以原速行駛120千米后，再將原速提高25%,則可提前40分鐘 到達，求甲乙兩地相距多少千米？5、一只狗追趕一

18、只兔子，狗跳躍 6次的時間，兔只能跳躍5次，狗跳躍4 次的距離和兔跳躍7次的距離相同，兔跑了 5.5千米以后狗開始在后面追，兔又 跑了多遠被狗追上。6、三種動物賽跑，狐貍的速度是兔子的 4/5,兔子的速度是松鼠的2倍， 一分鐘松鼠比狐貍少跑12米，問：半分鐘兔子比狐貍多跑幾米？7、A、B分別以每小時160千米和20千米的速度，在長為210千米的環(huán)形 公路上同時、同地、同向出發(fā)。每當 A車追上B車一次，A車減速1/3而B車增 速1/3.問：在兩車速度剛好相等的時候，它們分別行駛了多少千米？8、A、B兩地相距125千米，甲、乙兩人馬$自行車分別從 A、B兩地同時出 發(fā)，相向而行。內騎摩托車每小時 63千米。與甲同時從A出發(fā)，在甲乙二人問 穿梭（與乙相遇立即返回，與甲相遇也立即返回），若甲車速為每小時9千米， 且當內第二次到甲處時（甲、丙同時出發(fā)的那一次為內第 0次回到甲處），甲、 乙兩人相距45千米，問：當丙第四次回到甲處時，甲乙相距多少米？第八講多次相遇與追及問題教學目的：1、了解多次相遇與追及問題的特點。2、掌握多次相遇與追及問題與全程數的關系3、會