中級奧數(shù)教程1

1、博師堂國際教育 bostedu 中級奧數(shù)教程分數(shù)的計算一 、知識要點和根本方法分數(shù)計算是小學數(shù)學的重要內(nèi)容，也是數(shù)學競賽的重要內(nèi)容之一。分數(shù)計算同整數(shù)計算一樣既有知識要求又有能力要求。法那么、定律、性質(zhì)是進行計算的依據(jù)，要使計算快速、準確，關(guān)鍵是掌握運算技巧。對算式認真觀察，剖析算是的特點及個數(shù)之間的關(guān)系，巧妙、靈活的運用運算定律，合理改變運算順序，使計算簡便易行，這對啟迪思維，培養(yǎng)綜合分析、推理能力和靈活的運算能力，都有很大的幫助。大家都非常熟悉德國著名數(shù)學家高斯十歲時巧算前100個自然數(shù)的故事吧！從某種意義上說，計算方法的巧妙，在一定程度反映一個人智商的上下。就這個問題給同學們提供些幫助，

2、愿你能較好地掌握巧算妙解的方法。二、例題精講 例1 計算： 例2 計算： 分析 可以清楚地看到分子的括號局部與分母 分析 假設(shè)按部就班計算的復雜性是可想而知，通過觀察可以通過乘法意義轉(zhuǎn)換成同一個算式，使計算簡便 找到分子、分母的共同點變形以后計算過程就簡單多了解 原式=2006× 解 原式= =2006× = × =2006× =3 =2006 例3計算：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19分析 先分別把整數(shù)局部的數(shù)、分數(shù)局部的數(shù)合并，然后把整數(shù)局部的和加上分數(shù)局部的和。 解 原式= 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+ =10

3、0+1 =100+ =100例4計算：1×2×3-×(4-)×(5- )×(6- )×(7-)×(8- )×(9-) 分析 把每一個括號里的結(jié)果計算出來,解這道題的方法可能就產(chǎn)生了,第一個括號的差是.第二個括號的差是,第三個括號的差是. 解 原式=×××××××× =×××××××× =3×4×6×7×8×9

4、=36 288例5 計算: + 分析 先把分子分解質(zhì)因數(shù),約分后就可以獲得結(jié)果.解 原式=+ = + =1例6 解 原式= =+ = = =課后練習題1. 35×+137× 2. 18×+0.65×- ×18+×0.653. 425÷3+4×4×2-10 4. 1- - -5. 7.0875-4×0.72+÷2.85 6.84-2-0.35÷(1-)×60%×7.1992-1+2-3+4-5+1990-1991 8. ×2.96÷2&#

5、247;(1×1.48) ×49.( )+.+ )-(+ +.+ )10.1.25×88×8+8××1-125%×78×8+×3111+1+×21+×.1+×10+1+×111271×+61×+51× +41×+31×13+14. +×2+(1-)×8+1÷7 ÷3÷(3-2.4×)×2.515. +2 16.42÷(+0.4) 

6、5;60÷(3-2)17.5-3÷(1+2×)÷ 18.(9-×4)+(8-×5)+(4-×9)19.0.1÷0.001-(39×3÷39+3.6×5+0.36×33.75)20. + 21. 2×(1-)×(1-)×(1-)×.×(1-)22. 1949×(-)+47×(-)-1996×(+)+100323. (+ )2+×(+ + + )-(1+ + + )×(+ + +

7、+ )24. (96÷4-4×5) ×(3-3.875) ×49.5÷0.8÷25. 0.12 +0.23+0.34+0.45+0.56+0.67+0.78+0.8926. 1÷(2÷3)÷(3÷4)÷(4÷5)÷(5÷6)÷(6÷7)÷7÷8÷8÷927. 6÷1-(1-)×-1-1-××281+ + + + + 29. +30. (+)+(+)+(+)+

8、(+)+中級奧數(shù)教程分數(shù)的大小比擬一 、知識要點和根本方法比擬兩個分數(shù)的大小，數(shù)學課本中介紹了兩種根本方法。第一種是如果兩個分數(shù)的分母相同，分子大的分數(shù)較大；第二種是如果兩個分數(shù)的分子相同，分母小的分數(shù)較大。如果分子、分母都不相同，那么或者統(tǒng)一分母，或者統(tǒng)一分子，再進行比擬。有時進行比擬。有時就需要另辟蹊徑，例如相減比擬，如果差大于零，減數(shù)就??；相除比擬，假設(shè)商是真分數(shù)，那么被除數(shù)小于除數(shù) ，假設(shè)商是假分數(shù)，那么被除數(shù)大于除數(shù)；交叉相乘比擬，分數(shù)和，如果adcb,那么；倒數(shù)比擬，倒數(shù)大的分數(shù)小于倒數(shù)小的分數(shù)；化為小數(shù)或循環(huán)小數(shù)比擬等等。在解題中必須認真分析。要學會多角度、多側(cè)面思考問題，靈活運

9、用解題方法，不斷開拓解題思路，提高解題能力。二、例題精講 例1 分數(shù)、中，哪一個最大？ 分析 先把和化簡，=，=。這五個分數(shù)的分子和分母都不相同，如果統(tǒng)一分母，顯然計算量大，統(tǒng)一分子，可以看出分子的最小公倍數(shù)是5，15，4，10，1=60。統(tǒng)一分子后各分數(shù)分別為： =，=、=、=、= 解 根據(jù)分數(shù)的性質(zhì)，分子相同的分數(shù)分母小的分數(shù)大，所以這五個分數(shù)中最大的分數(shù)是 例 2 在內(nèi)填上相同的自然數(shù)，是不等式成立。 + ，此時內(nèi)的數(shù)的最大值是幾？ 分析 因為原不等式左端，當內(nèi)的數(shù)大于6時，原不等式左端，所以內(nèi)的數(shù)不大于6。由枚舉知，當=3時，左端等于。 解 使不等式成立的內(nèi)的數(shù)的最大值是2。例 3 假

10、設(shè)A=，B=，比擬A與B的大小。 分析 由于兩個數(shù)分數(shù)的分子都是1，只要比擬這兩個分數(shù)分母的大小就可以了，分數(shù)B的分母為： 20062-2005×2006+20052 =20062-2005×2006-2005 =20062-2005 =20062-2006+1 與分數(shù)A的分母相同，所以分數(shù)A與分數(shù)B的大小相等。解 A=B例4不求和，比擬2005+2004與2006+2003的大小。分析 不求和比擬，是否嘗試求這兩個數(shù)的差呢。這也是一個很有效的方法。解 2005+2004-2006+2003 =2005+2004+-2006+2003+ =2005+2004-2006+20

11、03- +-+ =0-0 =0所以 2005+2004=2006+2003例5 在以下內(nèi)填兩個相鄰的整數(shù)，使不等式成立：1+分析 因為1+=2，所以 1+ =2+ =2+ =2+2+ = 2+=3因此上面兩個方框內(nèi)應(yīng)分別填2和3 3 2 解 1+例 6A= ,求A的整數(shù)局部是多少？分析 先估算分母的大小，因為 + + + + = 又 + + + + + = 所以A即120A120解 A的整數(shù)局部是120 課后練習題：1 用“和“填空 2 用“把以下分數(shù)連接起來： ，3 比擬和的大小 4. 比擬與的大小5. 比擬和的大小 6. 將, , 這三個數(shù)按從大到小的次序排列出來7. 比擬下面四個算式的大

12、小 + + + + 8. 用“和“填空 9比擬下面三個分數(shù)大小 ，10比擬 與 的大小11分數(shù)、中，哪一個最大？12比擬與的大小13如果，那么，內(nèi)應(yīng)填的整數(shù)是 。14有七個數(shù)，15求 的整數(shù)局部是多少？16將以下每組三個分數(shù)按從小到大的次序排列起來：1、和應(yīng)為： 2、和應(yīng)為 17用“把以下分數(shù)連接起來: , 18.適合下面的不等式的條件，在里可以填的自然數(shù)一共有 個，這些自然數(shù)的平均數(shù)是 219比擬與的大小。 20. 比擬和的大小21. 將,這四個數(shù)從小到大排列出來22. 比擬下面四個算式的大小: + ,+ ,+ ,+23. 用“和“填空： ， 24比擬下面五個分數(shù)大?。?，25：A=×

13、;9.86, B= ×8.75 .A與B較大的是 。26在，和中，最小的一個數(shù)是 。27A=,B=,A與B 比擬， 比 大28比擬與的大小。292001年是中國共產(chǎn)黨建黨80周年，是個有特殊意義的分數(shù)如果下式大于，那么n最小是多少?+ + + 30. 有一些最簡單真分數(shù)，滿足以下條件：(1)分子與分母都是兩位的質(zhì)數(shù)；2分母正好是分子這個質(zhì)數(shù)逆序排列所成的質(zhì)數(shù)，如。請找出所有滿足條件的最簡單真分數(shù)，并按從小到大的順序?qū)⑺麄兣帕谐鰜?。中級奧數(shù)教程分數(shù)數(shù)列求和一、 知識要點和根本方法異分母分數(shù)相加減，通常先通分，把異分母分數(shù)變成同分母分數(shù)后在相加減。有一些分數(shù)計算題如果按照常規(guī)方法計算就會

14、十分復雜，必須運用某些技巧，尋找簡單計算的方法。當分母之間存在某種特殊規(guī)律時，運用這些規(guī)律，就能使計算簡化。如果分母是相鄰的兩個自然數(shù)的乘積，可以通過拆向的方法 ，使得其中一局部分數(shù)可以相互抵消，從而簡化計算過程。一般的，可利用下面的等式，巧妙的計算一些分數(shù)求和的問題。=- , = +二、；例題精講 例 1 計算：+ + + + 解 原式=- +- + +(- ) = - + - + - + - =1- = 例 2 計算: + + + 解 原式=(- )+ (- )+ (- )+ (- ) = (- + - + - + - ) = (- ) = × = 例3 計算：+ + + 解 因

15、為 = ×(- ), = ×(- ),=×(- ) 所以 原式= (- + - + - ) = (- ) = 例 4計算: 1+ + + + 解 原式=1+ + + + = 1+ + + + = 2×(+ + + + ) = 2×(1- + - + - + - + - ) = 2×(1-) = 1例 5 計算: + + + + 解 原式= + + + + = + + + + = + 2×(+ + + ) = + ×(- + - + - + - ) = + ×(+ + + )-(+ + + ) = + &#

16、215;(+ + - - - ) = + ×(+ + ) = 1例6 + + + 解 原式= + + + = + + + = 2×(+ + + ) = 2×(-+ - + - + - ) = 2×(- ) = 課后練習題：1. 計算: + + + + + + 2. 計算：+ + + 3. 計算: + + + + 4. 計算: “!表示以一種運算符號它的含義是2!= 2×1；3!= 3×2×1;求 ×2!+ ×3!+ ×4!+ ×9的值5. 計算: + + + + + + 6. 計算:

17、(-)+(-)+(-)+(-)+(-)7. 計算: + + + 8. 計算: 1+ + + 9. 在()中填上適當?shù)臄?shù)，使等式成立：- + - + - +- + =23×(+)10. 計算: + + + + + + 11. 計算: 1+2+3+4+5+6+712. 計算:1- - - - - - 13.計算: + + + + + + 14. 計算: + + + + + + + 15. 計算: 1- - - - - - - - - 16. 計算: (+ + + + + + )×6417計算：1+3+5+7+9+11 18. 計算：+ + + + + 19計算：1+ + + +

18、 + + + + + + + + + 20. 計算：+ + + + + + + 21計算：+ + + + + + 22計算：+ + + + 23. 計算: + + + + + 24. (1-)(1-)(1-)(1-)25. (1-)×(2-)×(3-)×(4-)×(5-)×(6-)×(7-)×(8-)×(9-)26. + + + + + 27. + + + + + 28. + + + + 29. 試求+ + + 誤差小于0.006的近似值.30. 計算 : + + + + + + 中級奧數(shù)教程繁分數(shù)運算一、 知識要

19、點和根本方法分子和分母中還含有分數(shù)或四那么混合運算的分數(shù)叫做繁分數(shù)，通常無法應(yīng)用運算定律和運算性質(zhì)進行計算，因此繁分數(shù)的運算過程就是簡化的過程，要分別對分子和分母逐步進行運算，其間需要扎實的根本功：概念清楚，運算迅速正確，而且還需要探索和掌握一些靈活的解題方法，化“繁為“簡二、例題精講例 1 ÷ 解 原式= ÷ = ÷ = ÷1 = 例 2 計算： 解 原式 = = = = =例3 規(guī)定表示選擇兩數(shù)中比擬大的數(shù)的運算，表示選擇兩數(shù)中比擬小的數(shù)的運算，例如21=2，35=3。計算下式： 解 原式= 0.25例 4 1+ = 1.619 047,那么= ? 解 用倒推的方法.由于1.619 047=1